Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 89
Текст из файла (страница 89)
9.3, а, б). Параллельная /.С-цепь является дуальной по отношению к последовательной /.С-цепи, поэтому операторное входное сопротивление Я (р) = р/С (р' + в',) и операторная входная проводимость У (р) =— = С(р' + вй)/р параллельной х'.С-цепи обладают такими свойствами, как и соответствующие им характеристики последователь- х(в) Ь (в) ной / С-цепи. Многоэлементные реактивные двухи ол ю с н и к и.
Анализируя операторные входные характеристики пронзволь- ' а) иых реактивных двухполюс- Рис. взй Зависимости от частоты мнимых ников, нетрудно убедиться составляюпхнх комплексного входного со- противления (а) н комплексяой входной что общее число нулен н по проводимости (и) последовательности (,слюсов соответствующих функ- цепи ций на положительной мнимой полуоси, включая и внешние (в начале координат и на бесконечности), равно А/+ 1, где А/ — число независимо включенных реактивных элементов.
В зависимости от расположения нулей и полюсов на положительной мнимой полуоси различают операторные характеристики реактивных духполюсников: 1) типа Π— О (нуль прн в = О и нуль при в = оо); 2) типа Π— х (нуль при в = О и полюс при в = оо); 3) типа х — О (полюс при в = О и нуль при в = оо); 4) типа х — х (полюс при в =. О и полюс при в = оо). Для того чтобы определить, к какому типу относятся операторные характеристики заданного произвольного реактивного двухполюсника, достаточно установить, имеются ли между внешними выводами 42! этого двухполюсника пути, проходящие только через индуктнвиости и только через емкости.
Если между выводами двухполюсника можно найти путь, проходящий только через индуктивностн (сопротивление двухполюсника постоянному тону равно нулю), то операторное вход нос сопротивление имеет нуль в начале координат. Если между вы. водами двухполюсника отсутствует путь, проходящий только через индуктивности (сопротивление двухполюсника постоянному току бес конечно велико), то операторное входное сопротивление имеет полюс в начале координат. Соответственно, если между выводами двухполюсника имеется путь, проходящий только через емкости, то сопротнвле. ние имеет нуль на бесконечности, в противном случае сопротивление б) а) Рис.
9.4. К примеру 9.4 на бесконечности имеет полюс. Зная особенности операторных характеристик реактивных двухполюсников, можно качественно, по виду схемы, построить частотные характеристики произвольного реактивного двухполюсиика. ° 1ФЭФ Пример 9.4. Определим типы частотных характеристик и простроим качественно зависимости от частоты мнимых состаеляющик комплексных входного сопротивления и входной проводимости реактивного двухполюсники, схема которого изображена на рис.
9.4, а. Непосредслшенно по схеме находим, что мезкду внешними выводами двухполюсника имеется путь, проходящий только через индуктиеносгпи, и отсутствует путь, проходящий только через емкости. Следовательно, частотная характеристика входного сопротивления относится к типу Π— х, а частотная характеристика входной проводимости — к типу х — О. Общее число нолей и полюсов, включая внешние, на единицу больше числа реактианых элеменоюе и равно 4. Зависимости от частоты мнимых составляющи~ комплексных входного сопротивления и входной проводимости рассматриваемого двукполюсника приведены на рис. 9.4, б, в соответственно. Операторные входные характеристики безыидуктивных и безъемностных цепей В отличие от реактивных цепей, полюсы и нули операторных входных характеристик которых расположены только на мнимой оси плоскости комплексного переменного р, полюсы и нули операторных входных характеристик б е з ы н д у к т и в н ы х, илн )(С-цепей, и без ъ ем к ос т н ы х, или )сс.-цепей, РасполагаютсЯ только на ,прпцательной вещественной полуоси.
Нули и полюсы операторных входных характеристик чередуются и являются простыми (некратными). Исходя из физических представлений, нетрудно прийти к выводу, что при частоте, равной нулю, сопротивление )сЬ-цепи может быть равно нулю или иметь конечное действительное значение; на бесконечно большой частоте сопротивление Н.-цепи либо бесконечно велико, либо имеет конечное действительное значение. Следовательно, оператор- а) сг г) Рис 9.5.
Схемы простейших беземкостных пеней и соответствующие полшсно-нулевые диаграммы операторных вход. ных сопротивлений нос входное сопротивление безъемксстной цепи не может иметь полюса в начале координат н нуля на бесконечности. Соответственно операторная входная проводимость этой цепи не может иметь нуля в начале координат н полюса не бесконечности.
Если операторное входное сопротивление (операторная входная проводимость) безъемкостной цепи на нулевой частоте имеет конечное действительное значение (между входными зажимами цепи отсутствует путь, проходящий только через индуктивности), то ближайшим к началу координат окажется нуль операторного входного сопротивления (полюс операторной входной проводимости). Примеры полюсно-нулевых диаграмм операторных входных сопротивлений простейших И,-цепей приведены на рис. 9.5, а — г.
Операторное входное сопротивление безындуктивной цепи на нулевой частоте может быть бесконечно большим или иметь конечное действительное значение, а на бесконечно большой частоте может быть Равно нулю или иметь конечное действительное значение. Таким образом, операторное входное сопротивление РС-цепи не может иметь нули в начале координат и полюса на бесконечности (операторная входная проводимость не может иметь полюса на нулевой частоте те н нуля на бесконечности). Если сопротивление НС-цепи на нулевой час.
тоге имеет конечное действительно значение (между внешними выво. дами пепи имеется путь, проходящий только через сопротивления) то ближайшим к началу координат окажется полюс операторного д с и) Рис. 9.6. Схемы простейших бевындуктивных цепей н соответствующие полюсно-нулевые диаграммы операторных входных сопротивлений входного сопротивления цепи (нуль операторной входной проводимости).
Полюсно-нулевые диаграммы операторных входных сопротивлений простейших НС-цепей изображены на рис. 9.6, а — г. й 93. МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСИИКОВ Метод выделения простейших составляющих (метод Фостера) М е т о д Ф о с т е р а основан на представлении заданной физически реализуемой функции Н (р) в виде суммы простейших функций: Н (Р) == Нх (, ) + Н, (Р) + ...
+ Н (уг) + ... + Нв (р), каждую из которых можно рассматривать как операторную входную характеристику некоторого элементарного одно- или двухэлементного двухполюсника. Если функция Н (р) представляет собой операторное входное сопротивление, то искомая цепь может быть реализована в виде последовательного соединения элементарных двухполюсников. соответствующих каждой из простейших функций На (р). Если Н (аг) представляет собой операторную входную проводимость, то искомая цепь реализуется в виде параллельного соединения элементарных двухполюсников, соответствующих каждой из простейших функций Нг (р).
424 ь(етод Фостера применим для реализации положительных веществе нных функций, нули н полюсы которых расположены только на мни„ои оси и отрицательной вещественной полуоси. Этому ограничению овлетворяют операторные входные функции реактивных, беэыин„ктивных и беэъемкостных двухполюсников, а также операторные входные функции некоторых ЛЕС-цепей. Рассмотрим применение „етода Фостера к синтезу реактивных двухполюсников. Пусть реактансная функция 2 (р) =- М (р).'М (р) должна быть реализована в качестве операторного входного сопротивления линейной пассивной цепи. Разложим функцию Е (р) на простые дроби 7.(р) = а р+а,(р+ '~', 2а;р,'(р'+ыэ).
1=1 Здесь У вЂ” число пар комплексно-сопряженных полюсов функции 3(р); а, а, а; — постоянные действительные положительные коэффициенты, причем а„р является целой частью функции 2 (р): а„ = 1пп У (р)!р; а~~ а, определяется как вычет функции Я (р) в полюсе р = 0: (9.3) аэ =-Кеэл(р) = М (р) аз в ~ ЫМ (р) 'Ир 1и=э а; — как вычеты функции 2 (р) в полюсах р, =- ~/е;: а; = Кеэ Е(р) = 1 ам(р)Ир Очевидно, что первый член разложения (9.3) можно рассматривать как операторное входное сопротивление индуктивности й — а (9.4) второй член — как операторное входное сопротивление емкости Сэ = 1/ао, (9.5) а каждое из слагаемых вида Е; (р) = 2а;р/(р'+ м ) — как операторное входное сопротивление параллельной ЕС-цепи, составленной нз элементов С; =.
1,'(2а~); Е„-- 2а,1оз). Таким образом, разложению (9.3) можно поставить в соответствие двухполюсннк, представляющий собой последовательное соединение индуктивности Е , емкости Сч и Ф параллельных Е.С-цепей. Схема двухполюсника, реализующего разложения (9.3), называется п е рвой канонической схемой Фостера (рис. 97). Анализируя различные виды реактансаых функций Я (р) = А~ (р)! 1М (р), можно прийти к заключению, чтч первый член разложения (9.3) не равен нулю, если функция 2 (р) нмерт полюс на бесконечности у таких функций степень полинома, стоящ го в числителе, на едини- 425 с» Рис.
9,7. Первая каноническая схема Фостера цу выше степени полинома, стоящего в знаменателе), а второй член разложения не равен нулю, если Л (р) имеет полюс при р = О (у таких функций множитель р в знаменателе может быть вынесен за скобки). Следовательно, реактивный двухполюсиик, реализующий заданную функцию Л (р) по первой канонической схеме фостера, будет содержать индуктивность Вьг только в том случае, если степень полинома Лг(р) превышает иа единицу степень полинома М(р), и емкость Сь только тогда, когда в миогочлеие М (р) множитель р может быть вынесен за скобки.
° ФФФФ Пример 9.8. Методом Фостера иостроим двухполюсник, входное сопротивление которого Е (р) =- (р'+ 9р)((рь + 4), Ом. Заданная 'функция является реахтанс)гой. поскольку реактансной является обратная ей функция, рассмотренная в йредыдущем иримере. Неиосредственно по виду функции Я(р) усошнавливаем, что искомый двухполюсник должен иред- Рис. 9.(0. К при- меру 9.7 Рис. 9.8. К приме- ру 9.5 при- 426 ° ФФФФ Пример 9.5. Методом Фостера построим двухиолюснпк, операторное входное сои рот ислен ие которого 2 (р) = (рь + 4)/(рз + 9р), Ом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
