Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В дальнейшем будем считать, что аналитические выр )кения для характеристик элементов известны. ра Синтез электрических цепей — один из наиболее сложных, практи„ски важных и интенсивно развивающихся разделов теории цепей. Заачительный вклад в создание современных методов синтеза цепей „если советские ученые М. М. Айзинов, А.
Д. Артым, А. Ф. Белецкий, П. А. Ноннин, Н. С. Кочанов, А. А. Ланне, П. Н. Матханов и др. й ЗЗЬ ОСНОВНЫЕ СВОИСТВА И КРИТЕРИИ фИЗИЧЕСКОИ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ ВХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕИНЫХ ПАССИВНЫХ ЦЕНЕН Понятия о положительных вещественных функциях Ранее (см. гл. 6) было установлено, что любые операторные характеристики линейных электрических цепей, не содержащих независииых источников энергии, в том числе операторные входные характеристики линейных пассивных цепей, могут быть представлены в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами. Возникает вопрос, всякая ли рациональная функция Н (р) с вещественными коэффициентами физически реализуема в качестве операторной входпой характеристики линейной пассивной цепи, или, другими словами, всякой ли функции Н (р), представляющей собой отношение двух поли- помов с вещественными коэффициентами Н(р) М(Р) вая"+в —.Р" '+" +" Р+ва (и (р) ь„я~+ ь„, р~-'+...
+ь, р+ь, иожно поставить в соответствие линейный пассивный двухполюсник, составленный из элементов с положительными вещественными параметрами„операторное входноесопротивление или операторная входная проводимость которого равны Н (р). Строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что необходимое и достаточное условие физической реализуемости рациональной функции Н(р) в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы Н(р) являлась полозсительной веи(ственной функцией комплексной частоты р.
Положительной вещественной функцией комплексного переменного р называется функция Н(р), действительная часть которой неотрицательная при неотрицательных значениях действительной части р: Ке (Н (р)) - О при Ке (р) > О; (9. 1) а мнимая часть равна нулю при мнимой части р, равной ичлю: 1ш (Н (р)1 = О при 1ш (р) = О. (9.2) 417 )4 заа. $65 Непосредственно по выражениям (9.1), (9.2) определить, являет, лн заданная рациональная функция Н (р) положительной веществен ной функцией комплексной частоты р, трудно, поэтому обычно пров ряют выполнение следующих условий, которые полностью вытекаю, из этих выражений: 1) все коэффициенты а, и Ь; полиномов Н (р) и М (р) должны быть вещественны и неотрицательны; 2) наибольшие и соответственно наименьшие степени полиномоа )У (р) и М (р) не могут отличаться более чем на единицу (любой пас.
сивный двухполюсник при р- О и при р-ь- оо ведет себя либо ках емкость 2с (р) = нр-', либо как индуктивность 2, (р) = йр, либо как сопротивление )ерь); 3) нули ро! и полюсы р,; функции Н (р) не могут располагаться правой полуплоскости: ке (рш) = О, Ве (ркс) ( О (в противном слу чае в пепи не будут выполняться условия затухания свободных прс цессов); 4) нули и полюсы функции Н (р), расположенные на мнимой оси должны быть только простыми (некратными), причем производные функции Н (р) в нулях и вычеты в полюсах должны быть вещественны и положительны.
Если бы среди нулей или полюсов функции Н (р) имелсЯ хотЯ бы один коРень Рь = )ьоь с кРатностью т, то этомУ коРню соответствовала бы нарастающая во времени свободная составляющая решения у!ь> = (А, + А,г+... +А„(ч т) соз сан(; 5) вещественная часть функции Н (р) должна быть неотрицательна на мнимой оси: Ке (Н (р)] ) О при йе (р) = О (при гармоническом воздействии (р = )са) вещественная часть комплексных входного со. противления или входной проводимости линейной пассивной цепи не может быть отрицательной).
Перечисленные условия являются необходимыми и достаточныли! для того, чтобы заданная рациональная функция комплексного переменного Н (р) являлась положительной вещественной функцией р, и поэтому могут рассматриваться как критерии физической реализуемости этой функции в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи.
Следует отметить, что не все приведенные условия являются независимыми, в частности условия ! н 2 вытекают из условий 3 и 4. Такая избыточность является вполне оправданной. так как позволяет в ряде случаев определять физически нереализуемую функцию непосредственно по ее виду, без трудоемких операций. связанных с нахождением корней полииомов гч'(р) и М (р). ° ФФФФ Пример З.!. Определим, являются ли функции Нь (р) = (Зр -- 2)1(зрч+ р + !], Н, (р) =- Ь(р'+ р Ь 2) и Нв (р) = Зрв1(рь+ р ц- 2) полояситель. ными вещественными функциями коМплексного переменного.
Непосредственно по виду функций устиновливогм, что функция Нь(р) не удав летвоРЯет Условию ! !козффпЦиент аь ( О), и фУнкции Н, (Р) и Н, не Удоолетво ряют условию 2 (ризность нанвипиия степеней числителя и знаменателя функции Н, (р) и ризность наименьшие степеней числителя и знамгносчеля функции Нв(р) превышают единицу]. Следовательно, заданные функции не являются полояси. тельными вещеспюеннышг функцилмн р. 4!8 ° ФФФФ Пример 9.2. Определим, является ли функция Н» (р) = (р» + 4)у(рз+ 9р) физически реализуемой в качестве операторной входной функции линейной пас„ввпой цели.
Непосредственно по виду функции Н,(р) устанавливаем, что все «озффициенюи позанимав М(р) = рг+ 4 и М (р) =- рз + 9р вещественны и положительны, а наибольиьиг и соответственно наименьшие степени зтих полиномов отличаютиь на единицу. Все нули рч, = у2, р»г = — (2 и все полюсы рхг = О ркч ..
)З р г —— - — уЗ функции расположены на мнимой оси и являются простыми. Нроизиюные функции в нуляк йи,(р) рг+Зр +Зб -=0,4 йр (» аут рг (р. '+9)» (с=-муз и вычеты функции в полюсак ур+4 ( 4 ЗР»+9 (р=о 9 рг+4 ( 5 Зр»-)-9 )и=муз 18 Кез Н, (р) = р=о К ° Н,(р) = р= уз вещественны и положительны. Вещественная часть на мнимой оси 4 — юг Ке (Нг (р)) = Ке, = О. 'с ую(9 — ю') 1 Таким образом, рассматриваемая функция Нг (р) является физически реализуемой в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цели. Аналнзнруя крнтернн фнзнческой реализуемости н рассматривая прнведеняые примеры, прнходнм к вмводу, что еслн некоторая рацнанальная функция Н (р) относятся к положительным вещественным функциям я, следовательно, является фнзнческн реализуемой в качестве операторной входной характернстнкн линейной пассивной цепи, то обратная ей функция Н ' (р) также является фнзнческн реалязуемой, причем нули функция Н (р) соответствуют полюсам функции Н г (р) н наоборот.
Условия физической реализуемости и основные особенности операторных входных характеристик реактивных цепей ° ФФФФ ПРимеР 9.З. ОпРеделим, ЯвлЯетсЯ Ли фУнкциЯ Нг (Р) .. (Рг + 4)У(Р» + 9Р) физически реализуемой в качестве операторного вкодного сопротивления или операторной входной проводимости реактивного двукполюсника. 14» 419 Цепи, составленные только из реактивных элементов (емкостей и индуктивностей), представляющие собой частный случай линейных пассивных электрических цепей, называются р е а к т и в н ы м и цепямн, УСцепямн, нли цепями без потерь. Необходимое и доопаточное условие того, чтобы заданная рациональная функция Н (р) могла быть реализована в качестве входной функции реактивной цепи заключается в том, чтобы Н (р) представляла собой положительную вещественную функцию р и, кроме того, либо полинам Ау (р) должен бьипь четным, а полинам М (р) — нечетным, либо наоборот.
Функция, обладающая такими свойствами, называется реактансной нлн реактивной. В примере 9.3 было показано, чтг такая функция является нолохсительнои вещественной функцией комнлексного неременного р. В связи с тем что налило„ )ч'(р) = рь+ 4 четный, а полинам М (р) = — рг+ 9р — нечетный, функци Нь (р) относится к реактанснмм и мотет бать реализована в качестве оператор ной входной характеристики реактивного двухнолюсника. Реактансиая функция, обладая всеми свойствами положительных вещественных функций, имеет ряд дополнительных особенностен 1) нули и полюсы ее расположены только на мнимой оси; 2) нули и полюсы чередуются, причем как в начале координат (р = О), так и на бесконечности (р = -+ о) обязательно находится либо нуль, либо полюс; 3) значения реактансной функции на мнимой оси являются чисто мнимыми и растут с ростом со (в точках непрерывности).
Ь„(со) г х (ю) а) б) Рнс, 9.1, Зависимости от частоты минных составляющая комплексного входного сопротивления (а) н комплексной входной проводимости (б) нндуктнвно. стн Рнс 9,2 Полюсно-нулевые диаграммы операторного входного сопрогнв. ленни (а) н оператораой входной проводимости (б) последовательной (.С-пенн Рассмотрим операторные входные характеристики некоторых реактивных двухполюсников. Од н о э л ем е н т н ы е р е а к т н в н ы е д в у х и о л ю си и к и. Операторное входное сопротивление индуктивности Ль (р) =- = рг' имеет нуль в начале координат.
При р- оо функция Яс (р) принимает бесконечно большое значение (функция Яс (р) имеет полюс на бесконечности). Нули и полюсы Ль (р) лежат на мнимой оси (помпе или нуль, находящийся на бесконечности, счияиется расположенным на мнимой оси). Нули и полюсы чередуются, причем при р = )го значение функции Ль (р) является чисто мнимым: Яс Цго) = )т(.
=- = /хх (т), и растет с ростом нк с(х (со)/с(го = г'. ) О (рис. 9.1, а). Операторная входная проводимость индуктивностн Ун (р) =- 1! /(рЬ) имеет полюс при р == О и нуль при р = о, т.е. нули функции Уь (р) соответствуют полюсам функции Уь (р) и наоборот. Значения функции Уь (р) на мнимой оси являются мнимыми: Уь (рщ) == = 1/(~охи) — )ЬЛ(ю), и растут с ростом оп йЬ, (ьь)!Йо = 1((та).) ) ) О (рис. 9.1, б), Поскольку емкость н индуктивность являются дуальными элементами, операторные входные характеристики емкости обладюот такими же особенностями, как н операторные входные характеристики индуктивности. 420 Двухэлементные реактивные двухполюси и к и. Операторное входное сопротивление последовательной 1.С- цепи Я (р) = рЕ + 1/(рС) = /. (р' + ва)/р имеет полюсы в начале координат и на бесконечности и нули, расположенные на мнимой оси: р, = /в„р„= — /в„где в, = 1/УХС (рис.
9.2, а) (полюсы н нули, находящиеся на бесконечности, на полюсно-нулевых диаграммах не изображают). Нулям операторного входного сопротивления последовательной .(.С-цепи соответствуют полюсы операторной входной проводимости этой цепи (рис. 9.2, б) У(р) = ( р и(.+ (/(РС) й (и +мо) а полюсам операторного входного сопротивления Я (р) — нули У (р). Йа мнимой оси значения функций я (р) и у (р) являются чисто мнимыми У (/в) --- //. (в' — вй)/в = — /х (в); 'г'(/в) =- — /вЫ (вх — во)) = — /Ь (в) и растут с ростом в (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
