Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Для получения основных уравнений и первичных параметров этого четырехполюсника воспользуемся уравнениями (10.10), (10.11), вы разин входящие в них постоянные интегрирования через ток гт и напРЯжение От в конце линии (10.37) и пеРейдЯ от показательных к ги- 466 перболическим функциям с помощью соотношений (8.95). В результате имеем: О(х) =(), сЬ(ух') +Ев Г~ зй (ух'); 1(х) = (), зЬ (ух')~Яв+ 7! сЬ (ух'). (10.53) Полагая в уравнениях (10.53) х' =- 1, У (х) = Уп .( (х) =.
У„находим основные уравнения четырехполюсника с распределенными параметрами в форме А: ()~ = О~СЬ (у!) -[ Я~ (з 5Ь (т!); 1,=0~зЬ(у!)Яв+ 7! сЬ(у!) и его А-параметры Ам =сЬ (у1)' Ам =Яв зЬ (у!)' Ам=зЬ(Я(Хв', Ам=сЬ(у!), (10.54) (10.55) Далее, используя формулы перехода (см. приложение 2), получаем выражения для любых других первичных параметров рассматриваемого четырехполюсника, в частности выражения для г'-параметров: Уп —— Ум = А~/А =сЬ(у!)/[Ув зЬ(у!)]; Ум =- Ум —— — 1/Агч = — 1![Ев зЬ (Р1)]. (10.56) зЬа=а П [1+а'!(п'и')]; сЬа= П (1+4аз7[(2п !)зпз]) л=! ч=~ 457 Сравнивая выражения (10.55) и (8.99), убеждаемся, что отрезок однородной длинной линии можно рассматривать как симметричный пассивный проходной четырехполюсник, характеристическое сопротивление которого ровно волновому сопротивлению линии Лв, а характеристическая постоянная передачи — произведению коэффициента распространения у на длину отрезка 1.
С другой стороны, волновое сопротивление и коэффициент распространения линии можно определить как характеристические сопротивление и постоянную передачи отрезка линии, имеющего единичную длину. Следует отметить, что понятия характеристических сопротивления и постоянной передачи были первоначально введены в теории цепей с распределенными параметрами, а затем их стали использовать и применительно к четырехполюсникам с сосредоточенными параметрами.
Рассмотрим особенности расположения нулей и полюсов первичных параметров четырехполюсников с распределенными параметрами в плоскости комплексного переменного р. Используя формулы для разложения гиперболических функций в бесконечные произведения преобразуем выражения (10.56) к виду П (1+ 47! (Р) (тЛ(2л — 1)' л" Ц 1' (Р)=)' (Р)= т (Р) 12в (Р) П [! + т' (р) 1'!(л' л')] (10.57) а 1 1 ! 1 тв(Р) =Ум(Р)— т (р) 12 (р) П [1-! 1'0!) Р1(л! л')1 (10.58) а где у (Р) и Ув (р) — операторный коэффициент распространения и операторное волновое сопротивление линии, определяемые выражения ми (10.6) и (!0.9) соответственно.
Ив выражений (10.87) и (10.88) следует, что первичные параметры четырехполюсников с распределенными параметрами в отличие от первичных параметров четырехполюсников с сосредоточеннмми параметрамн имеют бесконечно большое число нулей н полюсов в плоскости комплексного первненного р. Представляют интерес два частных случая — линии без потерь и резистивно-емкостные линии. В первом случае ()т, = 6! - О) выражения (10.57), (10.58) преобразуются к виду ~0 П (1+4р' 1,, С,(Ч[(2л — 1)т лтц (Р) = 1 ю(Р)— р()! а~ П [!+Рв(.! С, И!(лтл')] а=! — 1 1 )'гт(Р) = У'м(Р)- РС! 1 П 1!+ РЧ.
! С, Р!(л'л')] л=! л=! — 1 ! )'гт (Р) =1 м (Р) П [1+РР! С>!'"'/(л' лтц а=! 488 откуда видно, что все нули и все полюсы операторных входных характеристик линии без потерь расположены на мнимой оси, причем нули и полюсы чередуются (рис. 10.9, а). Во втором случае (~.! =- С, =- О) выражения для )'-параметров имеют вид ОО П (1 +4рр! С, (т1[(2л — 1)в л'Ц У'м(Р) = У-(Р) П [1-]-р)7,С, (в!'(и' л'и т. е, нули и полюсы операторных входных характеристик резистнвно-емкостной линии чередуются на отрицательной вещественной полуоси (рис.
10.9, б). Для описания четырехполюсников с распределенными параметрами можно использовать не только основные уравнения, связывающие токи н напряжения на его зажимах, но и уравнения другого типа, так называемые в о л н о в ы е уравнения, связывающие напряжения падающей н отраженной волн на входе и выходе четырехполюсника. Для 2/Щ получения волновых уравнений выразим напряжения и токи в начале и в конце линии через напряжения падающей и отраженной волн в начале 4с 01 „д, (.)1 „р и в конце Ут оах, Уа „„ линии: и, =-и,„„+и..т„; ~, =((),,— и,„„),гв; гС22 а) (~тпад ~ 11()асад+) 12("аотр) с)1отр Тм ('апад + ~ 22 )астр н в форме о: ('1отр ~11('1дад+ ~12("астр с'апад ~21(У1пад+ ~22 ()2отр В матричной форме эти уравнения можно записать следующим образом: 1пад = Т влад (10.60) 1отр = $1пад (!0.61) 22 и, =-(),.„+ и,„„; 1, ==- (и,п„д- и„„), К,.
(И.69) бг Подставляя выражения (10.59) в ос- рнс. ~ось полюсно-нулевые ионные уравнения четырехполюсника, анаграммы операторной вход- получаем два уравнения, связывающие "ой "роводнмост" "п (Р) лн ннн бев потерь (а) н реанстнвнапряжения 01 п,д, 01 отр ()2 пад но.емностной линии (о) 02 „р. Очевидно, что в зависимости от того, какие из указанных величин рассматривать в качестве независимых, можно получить шесть различных вариантов записи волновых уравнений.
Наиболее часто применяют волновые уравнения в форме Т: Матрицы Т и $ называются волновой матрицей и м а т р и не й р а с се я н н я соответственно. Их элементы могут быть выражены через любые первичные параметры четырехполюсника. Например, подставляя (10.59) в уравнения (8.32) и преобразуя их к виду (10.60) или (10.6! ), получаем ~ (А„+ АмЯв+ Лв А„+ А ); (Ам — АмЯв + Ув А„— А ) ] т ~ (Ап-, 'А„Яв.— Ув А — А ); (А„— А /2 — 2 А„+А )~' ) ] (А11+А22!Лв Яв А — А )' 2ЛА ') — А1,+А1, Лв+Лв А„ЬА„] 2; — (А„— Ам!2в -~-ЛвАм — А )! Нетрудно также установить связь между элементами матриц Т и 3.
~т„; т„т — т„т„ т„~ 1 — Т„ 1 ] 1 ~22 Т= — ] ~21 ] ~11 (~11 ~22 ~12 ~21) Используя полученные соотношения, находим волновую матрицу Т и матрицу рассеяния 5 отрезка однородной линии длиной 1: т=~'- ' „], (10.62) '=[.-' '."] (10.63) Как видно из выражений (10.62), (10.63), у рассматриваемого четырехполюсника с распределенными параметрами не равны нулю только два элемента Т„, Т22 волновой матрицы и два элемента 512, 521 матрицы рассеяния. В общем случае у четырехполюсников с распределенными параметрами, не равными нулю, могут оказаться вее четыре элемента волновой матрицы или матрицы рассеяния. Используя выражения для первичных параметров (10.55), (10.56), можно рассмотреть любые частотные характеристики отрезков однородных длинных линий, а также построить сосредоточенные П-образные и Т-образные схемы замещения отрезков линий на произвольной фиксированной частоте 22.
Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии (10.64) 460 Найдем комплексное входное сопротивление У отрезка однородной длинной линии, нагруженного со стороны зажимов 2 — 2' на произвольное сопротивление Л„: 111 н ~" (т )+ в(т ) 3 1 хи 2ь(т!)+ев с)2 (тг)— Из выражения (10.64) непосредственно следует уже известное свойство однородной линии, заключающееся в том, что при согласованной нагрузке Л„=- Яа входное сопротивление линни равна волновому и не зависит от длины линии.
При Еп им лв входное сопротивление линни сложным образом зависит от ее длины, частоты внешнего воздействия н соотношения между Лп и Лв Рассмотрим наиболее важные для практики случаи, когда сопротивление нагрузки линии со стороны зажимов 2 — 2' равно нулю(режим короткого замыкания на выходе) илн равно бесконечности (режнм хх хх а) Рис.
10.10. Зависимость мнимой составляющей комплексиого входного сопротивлеиия линии без потерь от электрипеской длины ликии: а — режим короткого замыкания; я — режим холостого хода холостого хода на выходе). Полагая в (10.64) Е„=- О, находим выражение для комплексного входного сопротивления линии в режиме короткого замыкания на выходе 2„=2), =.=гв!й(у/). (10.66) Для линии без потерь (у = /() = /2п/7~, 2в =- Лв = УЕт/Сх имеем (10.66) 5 = йв 16 (/()1) =Ив (а(()1) =/" Из выражения (10.66) видно, что вещественная составляющая комплексного входного сопротивления отрезка длинной линии без потерь в режиме короткого замыкания на выходе равна нулю, а мнимая составляющая х„= Кв 1и (Щ = йв (д (2п1%) является периодической функпией зле к т р и ч е с к о й д л и н ы линии 1/Ли может принимать любые значения от — оо до оо (рис.!0,10„ а).
При 0 ( 1/Х ( 1/4 входное сопротивление линии имеет индуктивный характер; прн 1/Х =- 1/4 оно бесконечно велико; при 1/4 ( 1/1. е (!/2 входное сопротивление линий имеет емкостной характер, а при 1/г = 1/2 оно равно нулю. Как видно из рис. 10.10, а увеличение 1/)ь на длину, кратную 1/2, не изменяет входного сопротивления отрезка однородной линии без потерь. Электрическая длина линии зависит как от физической длины линии 1, так и от частоты внешнего воздействия /. Для линии без потерь электрическая длина прямо пропорциональна частоте; 1/Л =в!)/Е.~С,/(2п) =!!)/ Ц,С,, поэтому вид зависимостей мнимой составляющей комплексного входного сопротивления от электрической длины и частоты одинаков и отличается только масштабом изображения по оси абсцисс.
Так, входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии без потерь имеет индуктивный характер на частотах 0 ( / = 1/(41 УХ,С,), при которых электрическая длина линии меньше 1/4, и емкостной характер на частотах 1/(41 М!' С,) =/(1,/(21УЕ,СД, при которых электрическая длина лежит в пределах от 1/4 до 1/2. В окрестностях частот /„=- (2и 4 1)/41 У!.,См где и = — О, 1, 2, ..., на которых длина отрезка линии кратна нечетному числу четвертей длин волн, АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления короткозамкнутога отрезка длинной линии подобны соответствующим характеристикам параллельного колебательного контура, а в окрестностях частот /ь =. = й/21 УХ7,, где я — 1, 2, 3, ..., на которых длина отрезка линии кратна четному числу четвертей длин волн, короткозамкнутый отрезок ведет себя подобно последовательному колебательному контуру.
В режиме холостого хода на выходе комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии Л,. определяется выражением ~, =-Ягя= =Лвс(п(у!). (10.67) Как и в режиме короткого замыкания на выходе, комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии без потерь в режиме холостого хода на выходе имеет чисто мнимый характер 2„= — !)1в с1я Ф/) = — /йв с(и (2а!/Л) = /х, и является периодической функцией электрической длины линии (рис. 10.10, б). Из сравнения рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
