Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 98
Текст из файла (страница 98)
денс ~ельно, подставляя (!0.72), (10.73) в выражения (10.64), получаем Лп, 3,!И!Тг! Л„+Л„ г — — — 2в с!Н(Т!) — - г„. Лп ев сщ (ТП вЂ” — Ли ! Ех Для определения коэффициента ослабления а и коэффициен а фазы линии () перейдем в (10.73) от гиперболического тангенса к пока.
зательным функциям (п(у1)=-(ет — е «') (е"- 1 е "-") =(е -'' — 1),(е~т' . 1)= ] Я„у и разрешим полученное выражение относительно езт: е т' =(1+ ! 2, 1'„)1(! — ) Х„У,) = Ае'~~. (10 74) Используя (10.74), выражаем а и р через модуль А и аргумент фа комплексного числа (1 + УУ„У„)!(1 — У2'„У,): а !пА!(2/); р (ф, ~ 2йп) (2!).
Здесь Ф вЂ” коэффициент, равный целому числу длин волн, укладывающихся вдоль длины исследуемого отрезка. По результатам измерения Т и Яв можно определить погонные параметры линии !с„1, С„С,. Разрешая выражения (10.12), (10.13) относительно Р, ' !ы7, и О, ° 7юС, и приравнивая вещественные и мнимые части получаемых равенств: !7, ~ !юЬ, Еву, б, ' !юС, Т/Яв, находим п1= ие(~в~!! ю7-, 1п11хву!; б, --.Ке!Т Ев); ыС !п1!7~2в!. 5 10.4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Задачи анализа переходных процессов в цепях с распределенными параметрами Различают два типа задач, связанных с исследованием переходных процессов в одномерных цепях с распределенными параметрами: 1) определение токов и напряжений на зажимах линии или в более общем случае токов и напряжений внешних по отношению к линии ветвей при произвольном внешнем воздействии; 2) определение напряжений и токов в различных сечениях линии при произвольном внешнем воздействии.
Эти задачи обычно решают операторным методам. При решени~ задач первого типа операторные изображения искомых токов и напри жений находят с помощью рассмотренных ранее методов анализа схож ных цепей, причем линшо рассматривают как четырехполюс""к' ения первичные параметры которого считаются известными. При решени задач второго типа операторные пюбражеиия токов и напряжений ий в различных сечених линии определяют из выражений (10.7), (!О- )' причем входящие в эти выражения постоянные интегрирования долж„ы быть найдены исходя из значений токов и напряжений на внешних зажимах линии. В отличие от цепей с сосредоточенными параметами операторные изображения токов и напряжений в цепях с распре- „ленными параметрами, как правило, выражаются в терминах трансцендентных функций и обладают бесконечно большим числом полюсов, что в ряде случаев усложняет переход от изображений токов и напряжений к оригиналам.
Напряжение на выходе линии без потерь при согласованной нагрузке. Понятие а линиях без искажений Пусть при Е.с 0 напряжение па входе однородной линии без потерь и, 0„ а при Е ) О изменяется по произвольному закону иг((): 1 (Е) и, (Е). (10.75) Найдем напряжение на выходе линии и,для случая, когда сопротивление нагрузки линии равно волновому сопротивлению Еси. Операторные изображения напряжений на входе и, (р) и выходе линии и, (р) связаны соотношением и.
(Р) Км(р) и,(р), где К„(р) — операторный коэффициент передачи линии по напряжению прн согласованной нагрузке. Рассматривая линию как симметричный пассивный проходной четырехполюсник, первичные параметры которого определяются выражениями (10.55), получаем и, (р) 1 и,(р) =.. — и,(р). (/Агг (Р) Агг (Р) -г 3/Агз(Р) Азг (Р) ДлЯ линии без потеРь У (Р) = Р )г'1.,С,, поэтомУ ие (Р) е-згь ь с и (р).
Согласно теореме запаздывания (6.54) умножению изображения произвольной функции времени на е — зг» соответствует смещение функции времени на Ее. Следовательно, из и, (Š— 1 (/Е.гСз) — и, (Š— Ез). Здесь время запаздывания, равное времени распространения падающей волны вдоль линии, Š— Е ! Е- Сг — Егцз 110.75) Таким образом, напряжение и, на выходе линии без потерь при согласованной нагрузке представляет собой смещенное во времени на (е напРЯжение и, на входе линии. Ток Ез на выходе линии повтоРЯет по форме выходное напряжение из и равен смещенному во времени на ~е току на входе линии: 1; = изЕ)хв = (иг (Š— Ео))ЕЙв = — гг (Š— Ео) Следовательно, линна без потерь, работающая иа согласованную нагрузку, осуществляет ненскажающую передачу колебаний с входа линни на вмход с задержкой на время, требуемое для распространенна падающей волин вдоль линни.
1Гг * 467 Это свойство линии без потерь обусловлено тем, что фазовая сь рость, волновое сопротивление и коэффипиент ослабления линии „ зависят от частоты. Если сложное воздействие на входе такой лини„ представить в виде суммы гармонических колебаний различных „а стот, то условия распространения колебаний всех частот будут одина. ковы. Поэтому суммы гармонических колебаний иа входе и выхо линии также будут одинаковы.
Можно убедиться, что условия неискажающей передачи будут вы полняться и в линии с потерями, погонные параметры которой удоя. летворяют условию Л,/., а,с, (10.77) Комплексныс волновое сопротивление и коэффициент распростра. неиня такой линии у = ) ' Ь, С (И, (,, -!- /ы) (6,, С, з /ы) =- 1 /., С, Я, (.~ -+ /ы)— )/ /., С, (6, С, + /ьц, причем волновое сопротивление линии, фазовая скорость и коэффициент ослабления не зависят от частоты; 7з - ) 1.,~С, — йв; па ыф -- 1 ')~ Е,С,; сс — /7~Ив — /7вО~. Если к входу линии, параметры которой удовлетворяют условию (10.77), приложено произвольное напряжение и, — - и, (/) 1 (/) ~ (/, (р), то операторное напряжение на выходе линии при согласованной нагрузке (/,(р) =-е-т<гп(/,(р) — -е э ~/"в(/, (р) е- м, где /„— время распространения падающей волны вдоль линии, определяемое выражением (10.76).
Переходя от операторного изображения напряжения (/, (р) на выходе линии к оригиналу и,= е ' ви,(/ — /), устанавливаем, что напряжение на выходе линии с ослаблением а '/лв в е раз и задержкой на /„ повторяет напряжение на ее входе. Линии без потерь, а также линии, погонные параметры которых удовлетворяют условию (10.77), называются л и н и я м и б е з и с к а ж е н и й. Рассмотренные свойства линий без искажения испол' ~аются на практике для построения устройств задержки сигнала (л и н и й з а д е р ж к и), назначение которых — сдвинуть сигнал ио времени без искажения.
Подключение разомкнутого на конце отрезка линии к источнику постоянного напряжения Пусть в момент времени 1 0 к входу однородной длинной линии „ез потерь подключается источник постоянного напряжения Е. Найдем напряжение на выходе линии, если сопротивление нагрузки линни бесконечно велико (линия разомкнута на выходе). от Принимая во внимание, что опера- кг торный коэффипиент передачи линии по напряжению в режиме холостого хода на выходе Кег, (Р) — 1гА„(Р) — Р 5 7 у П туес — 1 АУ (Р) 11 ! с(а! Р1 ) ' (.тСг 1, а опеторное изображенгте напряжения на Рнс (и !з !(аннккг~ннс на "и Е, пол чаем коде ра 1омкнутого отрезка дан оюа аннин Пса нотсрь, нод- К (,)() ( ) .
Е (,,1 (Рг )1 кнючаемон к нсгочнньт 11ог ~ ясного якоря ясная где )ч 1) Е1Со Используя табтнцы обратного преобразования Лапласа (см. притожение 1), находим напряжение на выходе рассматриваемой линии (рис. )О 13) ( 2Е при (Е ! (4й — 3) (а; (4/е--1)1ч (, иа ) 0 пРп 1ф)(4)г- 3)(с; (4)е — 1)гк). где А -1,2,3,. „ которое представляет собой бесконечную последовательность прямо- угольных импульсов длительностью 21,, удвоенных по высоте по срав- нению с напряжением источника энергии. Таким образом, переход- ной процесс в пепи носит колебательный характер Подключение короткозамкнутого отрезка линии к источнику постоянного напряжения Определим ток г) на выходе короткозамкнутого отрезка однородной линии без потерь, к входу которой в момент времени 1 -- 0 подключают источник постоянного напряжения Е. Операторное изображение тока на выходе рассматриваемого отрезка линии может быть найдено из основных уравнений четырехполюсника с распределенными параметрами в форме А (10.54): ) (г (Р) ЯВ (Р) аа!7 (Р) 1! РРВ ~Ь (Р) 1' 1., С,) Р ь(1 (РГч) Используя таблицы обрат ного преобразования Лапласа переходим от изображения то', ка к оригиналу: с/1п 2' -- — -- — -- —— 1 0 д ! 5 ! и --2 ! ! 1 0 ! 3 5 7 5 !! !д с/1а 0 при 1Е 10, 1о(' г2 = ( 2й1а при 1 Е 112й — !)1„.
(2й + 1) 1а (, Рнс 1014. Ток на выходе короткоаанк петого огрсака дачнной лннпн асч по гера, подключаемой к источнику посто янного напряженна где11 1,2,3, ... Ток !',,' можно рассматривать как результат наложения бес. конечно большого числа конечных скачков тока высотой 21„сдвинутых во времени на 21, (рис. 10.14). Как и в предыдущем случае, переходной процесс в линии носит колебательный характер. распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии Пусть напряжение иг на входе однородной длинной линии без потерь изменяетси во времени по произвольному закону (!0.75).
Найдем распределение напряжения и тока в липни, если сопротивление нагрузки линии равно волновому. Для определения операторных изображений напряжений и токов в произвольном сечении линии воспользуемся выражениями (10.7) и (!0.8). Очевидно, что первое и второе глагаемые, входящие в каждое из этих выражений, представляют собон операторные изображения падающей и отраженной волн напряжения или тока. Постоянные интегрирования А, (р) и А, (р) в рассматриваемом режиме могут быть найдены из условий (1 (О, р) - (1, (р); 11 (1, р) Я~ 1 (1, р), (10.78) где операторные изображения напряжения в начале линии, напряже-. ния в конце линии и тока в копне линии, определяемые из выражений (!0.7), (10.8) при х = 0 и х = 1, соответствснно равны: (1(0, р) ==А,(р)+А,(р); (1(1, р) ==-А,(р) е — т!а!!+Аа(р) ет!р!г! 1(1, р) =-- ' р) е 'т!р!г- е(р! ет!р!О (10.79) '»в те в Подставляя (!0.79) в (10.78) получаем А, (р) = 11, (р); Ая(Р) О, откуда (1(х )т) — (1 (р) е — у!а!» — (1 (р) е — ргс,с, » 1( р) — ~' (р! е — тгд!» — 1 ( !) е — аУйьгс» (10,80) нв а7О и(хд) и(л, () Е Е "ааа в „а со скоростью оф и через про- межуток времени 1, достигнет конца линии, после чего напряжение во всех се- чениях линии будет равно Е Если сопротивление на Рис 10 1о Раеироетраиение еааяка иаиря- грузкн линии не равно волне.
игеиия вдаль линии оез потерь при еогласо- вому, то падающая волна, ивиной нагрузке: достигнув конца линии, поли - 1=1а,н1,. О . з> К ностью или частично отразится от него н начнет распространяться в направлении убывания х. Если линия не согласована с внутренним сопротивлением источника (7; ~ Яв), то прн х О волна повторно отразится, и новая волна нач- нет распространяться в направлении возрастания х. Таким образом, если линия не согласована с нагрузкой и источником энергии, то рас- пределение напряжения и тока в линии (в частности, на выходе ли- нии) будет определяться как результат наложения волн, распростра- няющихся в линии после многократных отражений, Рассмотрим распределение напряжения и тока 'в разомкнутом на конце отрезке однородной линии без потерь, к входу которого в момент времени 1- 0 подключают источник постоянного напряжения Е. Постоянные интегрирования А, (Р) и Аа (Р) в этом случае определяют- ся из условий и(О, р) и,(Р) Е,1Р; / (1,,) = О, (10.81) Полагая в выражении (10.7) х =- О, а в выражении (10.8) х =- 1 н подставляя полученные значения в (10.81), получаем А, (Р) г А, (р) -- Е1 р; — ' е — '1л11-- — ее1л" ==.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
