Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Комплексная схема замещения пары связанных нндуктивностей приведена на рис. 2.44, б (другие варианты комплексных схем замещения связанных индуктивностей будут рассмотрены в следукицем подпараграфе). Если индуктивной связью охвачено и индуктивностей, то комплексные действующие значения напряжений на их зажимах определяются системой уравнений й, =г„, 1, -~ г „1, ~ ... ~ г,„. 1„; и', = ~ г „1, + г„1, ~- ... + г,„„1„; и„=~г „, 1,~г „,1+...+г,„1„. Падения напряжения на сопротивлениях связи гмы = гм„берут со знаком плюс при согласном включении индуктивностей и со знаком минус — при встречном.
Система уравнений электрического равновесия цепи с взаимными индуктнвиостями так же, как и системы основных уравнений ранее рассмотренных цепей, не содержащих взаимных индуктивностей, формируется из компонентных уравнений (уравнений ветвей), а также уравнений баланса токов и напряжений, составленных на основании законов Кирхгофа. При произвольном внешнем воздействии соответствующие уравнения составляются для мгновенных значсшгй токов и напряжений, при гармоническом воздействии — для пх комплексных изображений. Напомним, что вид и количество уравнений, составлясмых на основании законов Кирхгофа, определяются только топологией цепи н не зависят от входящих в нее элементов.
В связи с этим уравнения баланса токов и напряжений цепи, содержащей связанные индуктивности, имеют точно такой же вид, как и уравнения соответствующей цепи в отсутствие связи между индуктивностями, т. е. при М вЂ” — О. ФФФФФ Пример 2. (3. Составим опшвную систему уривнений электрического равновесияя цели, эквивалентния схема которой для мгновенных значений приведена на рис. 2.45, а. Мм=ыл 2ьз Рис. 2Л5. К примеру 2. (3 На основании первого и второго законов Кирхго(уа для цепи может быть со. ставлено три независимы» уравнения — (з+ ! ! зз=о; иь! Ц иьз Рис'- е' и«+иьз ис -исз=-.О.
В сочетании с пяизью компонентными уравнениями и« = зс(з! з ! .= с(о)+ — 1 ..; й(з и !:;Š— ' — М вЂ” "4-Мз М М й! йгз йЕз йгз 1 из = — М (1 з+М вз ' зз ~г .з и! зз й(з ат Жз иуз™зз +Мчз ! Сз йг ' й! и! получаем восемь уравнений для определения восьми ненимстных величин: ((! (е! зз: и«,' ис,' ил!! исз! иьз. (36 Вквивалентная схема рассматриваемой цепи для комплексных аюпов и напрякений изображена на рис. 2.4б, б, а основная система уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме имеет следующий вид: — 1,эс1'„-1, -О; и' =В1';, !)ха+~/ьа.) !Iс=Е; 1)с- — -1а!(!юС); Вн )-!)ьэ — !)с — !),и=-О; а)ьа =!ю1- 11 )юМ 1а Р!ОМ 1М 1) — — ! Мт 1~+!юй ! +! М и' =;юМ„1', т !ыМ„1а+ !ю1., 1', Выражая падения напряжений на вых элементах через соответствующие токи, получаем систему иэ уравнений 1а ) 1а-г !э==О !ю)а 1а '!ыМаз 1з+)еоМаз1з !юМаа 1а ! !ы!а!а ) !ыМяз1я 1-1з1(!юс) =В Й1з+!ыМза1а1 !юМзз1з+)юаз1з — 1а'(!юС)6 !ыМю1а — !зйа1з — )юМаз1з=е для определения неизвестных токов 1а, 1а.
1з. Эквивалентные преобразования участков цепей со связанными иидуктивностями а и ьэк 2 а) о! б) Рис. 2.4Ц Последовательное соединение связанных иидуктивностей (рис. 2.47, а, б). В этих случаях участок цепи, содержащий связанные индуктнвности, имеет два внешних вывода, т.
е. представляет собой двухполюсник. Определим его комплексное входное сопротивление и схему замещения. При последовательном соединении связанных индуктивностей их токи равны„а напряжение на входе рассматриваемого участка цепи есть сумма напряжений на каждой из индуктивностей: я = иа ~ из. (2.166) )Зт Рассмотрим эквивалентные преобразования участков цепей, содержащих связанные индуктивности. В частности, покажем возможность замены их участкамн, не содержащими связанных индуктивностей.
Начнем с наиболее простых случаев, когда связанные нндуктнвности включены последовательно (рнс. 2.46, а, б) или параллельно уг и Ез» Рнс 2.47. Г!араллельиое соединение связанных нилуктнвно- стей Используя выражения (2.166) и компонентные уравнения связанных индуктивностей (2.158), определяем зависимость между током и напряжением на зажимах рассматриваемого участка цепи: (2.!67) и =(Аз+ 1., -Ь 2М) — -=-Еа„— оГ ' Н Как видно нз выражения (2.167), участок цепи, содержащий последовательно включенные связанные индуктивности, может быть заменен эквивалентной индуктивностью (см.
рис. 2.46, в) Еан = Ет + Ея ~= 2М. (2.168) где знак плюс соответствует согласному включению, а минус— встречному. Таким образом, при согласном включении связанных индуктивностей эквивалентная индуктивность получается больше, а при встречном — меньше, чем эквивалентная индуктивность участка цепи, содержащего две последовательно включенные несвязанные индуктивностн. На использовании выражения (2П68) основан простой метод измерения взаимной иапуктнвности, в соответствии с которым сначала производят измерение эквивалентной индуктивности катушек при согласном Ез„. гога =- Е, + Ез -1- + 2М и встречном включении Еа„встр — Е, + Ез — 2М, а затем по формуле М = (Еон. гога — Еан.
встр)/4 рассчитывают М При параллельном соединении связанных индуктивностей к их зажимам прикладывается одинаковое напряжение и, а входной ток рассматриваемого участка цепи складывается из токов обеих индуктивносгей: (2.
169) и = и, = и;, 1 == 1, + (з. Используя (2.169) и компонентные уравнения связанных индуктивностей (2.!58), составляем систему уравнений и= — ń— ~-М вЂ”; й, ач сп Ж и =1.,— ~ М— опз гн ~ о) Ш из решения которой находим зависимость между напряжением и током на зажимах рассматриваемого участка цепи; Е,1. — Мз си сп 1.,-~1., ~ гМ щ '"" И ' (2. 170) В соответствии с (2.170) участок цепи, представляющий собой две параллельно включенные связанные индуктнвности, обладает эквивалентной индуктивностью (рис. 2.47, а) 7-зк = (~-ъ~-з — М')1(7.е т ).з -'Р 2М), (2.171) причем знак минус соответствует согласному включению, а знак плюс — встречному. При 7., =- Ее = 7. выражение (2.171) приводится к виду 7-з =.
Ь(1 — ййЦ2 (1 ~ йы)! = 7- (1 -+ йм)~2, откуда следует, что 1пп Ь,н =- С при согласном и)пп 7.,„== 0 при з ! з -~! встречном включении индуктивиостей. При коротком замыкании одной из связанных индуктивностей, например индуктивности й, (см. рис. 2.44, а), участок цепи, содержащий связанные индуктивности, также представляет собой двухполюсник, напряжение и ток на входе которого совпадают с напряжением и током на зажимах индуктивности Ь, (рис, 2А8, а).
Решая систему уравнений, описывающую процессы в данном участке цепи м 1=1, 1г аз 7., — '~М вЂ” '=и; и си / ьзк ~М ц =0; ю ас аеи е=с, 139 а) Ц находим 1., Дз — Ме нт сп Рнс. г.48, Короткое ззмыквнне одной нз и= зн ае свнззннык нндуктнвностей (2. 172) где Ез„= (т'.,Ьз — Мз)/Ьз — эквивалентная индуктивность участка цепи.
Таким образом, все рассмотренные идеализированные двухполюсники, содержащие связанные индуктивности, при любом воздействии могут быть заменены одной индуктивностью Ь = Ьз„. Комплексное сопротивление этих двухполюсников имеет чисто реактивный характер: 2 =1. 7.,„. Найдем схему замещения участка цепи, содержащего две связанные индуктивности, включенные таким образом, что они имеют одну общую точку (рис. 2.49, а, б). Используя в качестве исходных компонентные уравнения связанных индуктивностей (2.!58), добавим к первому из этих.
уравнений и вычтем из него член М вЂ”, а ко второму уравнению Н, бг ' добавим и вычтем член М вЂ”; бт'х бе. ~й, бта бй бй и, = 1., — -~- М вЂ” ~ М вЂ” т- М вЂ” '; бт бс б! Н вут Н, впе Ж, их=Ай — ~ М вЂ” ' ~ М вЂ” ~ М вЂ” '. б~ И бс После приведения подобных членов эти уравнения принимают вид и, = (1., ~ М) — ь М И! б (0+~а) (2.173) и,(Гв ~ М) 'т л- М (Ч+Ч) Ыт щ Здесь, как и в полученных ранее выражениях, верхний знак соответствует согласному, а нижний знак — встречному включению связанных индуктивностей.
Системе (2.173) может быть поставлена в соответствие эквивалентная схема участка цепи, не содержащая связанных нндуктивностей (рис. 2.49, в). Анализ уравнений (2.173) и эквивалентной схемы показывает, что только при согласном включении и достаточно малом коэффициенте связи (М ( 7 „М ( 7.х) все три индуктивностн этой схемы положительны. При встречном включении нли при согласном включении при большом коэффициенте связи (М ~ 7.т или М ) (.т) одна из С,, (г 1! - Вг Ц 'т 4 ат Ва и ' ° М йтМ Ь-М а) Рис.
9.49. Две свяааииме индуктивности с общей точкой: а-сатласное вклвченне; б — встречное вил~а~ение; а — аканвалентная схема беа свяаан- нмх нилтктивиостей индуктивностей оказывается отрицательной. Очевидно. что такой схеме нельзя поставить в соответствие моделирующую цепь, состоящую из идеализированных элементов — индуктивносгей. Эта схема является чисто расчетной: ее применение во многих случаях существенно упрощает анализ цепей со связанными индуктивностями В общем случае, если рассматриваемый участок цепи содержит связанные нндуктивности, не имеющие общих точек, его можно заменить участком цепи без взаимных индуктивностей, но с управляемыми источниками (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
