Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 27
Текст из файла (страница 27)
2.30, г. Таким образом, любой участок злсктрнчсской цепи, представлиющсй собой паРаллельное соединение произвольного количсства идеализированных пассивных двухполюсников, может быть заменен одним пассивнмм двухполюсннком, комплскснаи проводимость которого 1;~и Равна сумме комплекснык проводимостей всех параллельно включенных двукполюсииков. Произвольное количество параллельно включсннмк идеализированных источников тока может быть заменено одним источником, комплексное действующее значение тока которого Хзи равно сумме комплексных действующих значений токов всех параллельно включенных источников. Переходя в (2.129) от комплексных проводимостей к комплексным сопротивлениям, найдем эквивалеитиое комплексное входное сопро- !15 тивление Ль„группы параллельно включенных идеализированных пассивных двухполюсников: Ъ ' +Ъ +~.
— '. (2,130) и хяг 'в хсс 'в р,г ' Выражения, подобные (2.129) н (2.130), можно получить для комплексной проводимости и комплексного сопротивления любого участка цепи, являющегося параллельным соединением произвольного количества идеализированных пассивных двухполюсников с заданным комплексным входным сопротивлением Я; или комплексной входной проводимостью г';: (2.131) Еэк 2~ где Ж вЂ” число параллельно включенных двухполюсников.
Используя (2.13!), найдем выражение для комплексного входного сопротивления участка цепи, представляющего собой параллельное соединение двух элементов с комплексными сопротивлениями Е, и с.э: Уэ„= Л,Л~/(Л~ + Л ). (2.132) Участки цепей со смешанным соединением элементов Правила преобразования участков цепей с параллельным или последовательным соединением элементов могут быть применены и для преобразования пассивных участков цепей со смешанным соединением элементов.
Преобразование таких участков, представляющих собой сочетание групп параллельно или последовательно включенных элементов, обычно производят в несколько этапов, на каждом из которых группу параллельно включенных элементов заменяют одним двухполюсннком, комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимостей параллельно включенных элементов, а группу последовательно включенных элементов — одним двухполюсником, комплексное сопротивление которого равно сумме комплексных сопротпв.
лений всех последовательно включенных элементов. ° ФФ1 ° Пример 2.8. Рассмотрим преобраэование участка идеалиэированноа цепи со смешанным соединением элементов (рис. 2.81, а), содержащего группу пираллельно включенных элемгнтов (Лг, сг! и группу последовагпельно включенных элементов (Хь хь).
Заменяя параллельно включенные элементы хэ и Лг одним вле. мЕнпюм с комплексным сопротивлением х,„,=х,х,((хэ+х,), получим преобраэовонную схему цепи (рис, 2,81, б) с тремя последовательно включенными элементами Л, Лг и 2,„,. Заменяя эти элементы одним с комп.еексным сопротивлением Лэкг=-Ег+Лг-)-Лэнг=-Хг-(-Лг-) ЛэХг!(Лэ+Еь) 116 Лак! а) Рис 2.31 К примеру 2.8 приходим к просомйшей преобразованной схеме рассматриваемого участка цепи с одним элеменпюм Л к (рис.
2.31, в). ° ФФФФ Пример 2.9. Определим эквивалентную индуктивность цели с параметрами элементов Ьэ — "- Еэ = 1 э = Ев =- 300 мкГи, схема которой приведена на рис. 2.32. Участок цепи с тремя параллельно включенными одиниковыми индуктнвнастями 1., =- Е, = Е«обладает эквивалентной индуктивностью, в три раза меныией, чем казвдоя из параллельно включенных индуктивностей, Еьщ = = 100 мкГн. Эоют участок включен последовательно с индуктивностью Ем поэтому исколгая эквивалентная индуктивность 1.эк — 'Ес+Еэк~'=400 мкГн.
° ФФФФ Пример 2.10. Определим комплексное входное сопротивление участка цепи с параметрами элементов П:- 1,5 кОм, С, = 40 пФ, Сэ = 10 пФ, Сэ = 50 пФ частотой внешнего воздействия / =- 1,2 МГц (рис. 2.38). Пираллелвно включенные емкости С, и Сг могут быть заменены одной эквивалентной емкостью Сзкс — -Сг+Сь=60 пФ. Емкости Сэ и Сзк,, включенные последовательно, заменим одной емкостью Сэнэ= Сэ Сэкь/(Сс+Сэнд — -24 пФ. Получаем преобразованную цепь (рис.
2.88, о/. В результате комплексное входное сопротивление цепи на частоте / = 1,2 МГц Л вЂ” /! — //(2п/Сьиэ) = 1 5 15,53, кОм. Из рассмотрепиыи примеров следует, что в резулыпате объединения групп последовательно и параллельно вклгоченных элементов про исходит постепенное «сворачивание» цепи, причем участок со смешан чэкг а) Рис. 2.33. К примеру 2.!О Рис. 232.
К примеру 2.9 !17 Заменяя в этом выражении сопротивление элемента Яь его проводимостью 1', = 1/У,, получаем окончательно Я=Лт+ 1 У~+! /ез Таким образом, входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть представлено в виде конечной цепной дроби, элементы которой а„а,, а, равны соответственно Я„У„Л,.
Используя аналогичные преобразования, можно представить в виде цепной дроби н входное сопротивление лестничной цепи более общего вида (рнс. 2.35, а): Я =Ят+ 1 1 !в+ г,+...+ +1/Л ! (2.133) Таким образом, число элементов цепной дроби равно числу идеализированных двухполюсных элементов, образующих лестничную цепь, причем элементами цепной дроби являются комплексные сопротивления двухполюсников, образующих продольные ветви лестничной цепи (ь„Я~,..., Ун), и комплексные проводимости двухцолюсииков, входящих в поперечные ветви (К Тл " )'н-~) !!8 ным соединением пассивных элементов, имеющий два внешних вывода (пассивный двухполюсник), в конечном счете, мажет быть заменен одним элементом, комплексное сопротивление которого равно входному сопротивлению исходного участка цепи. К цепям со смешанным соединением элементов относятся ц е п н ы е или л е ст н и ч н ы е це и и, входное сопротивление или входная проводимость которых могут быть представлены в виде ц е п н о й (непрерывной) дроби, т.
е. с 2! еэ помощью выражения типа 1 а,+ Й и,+1 аэ.!- .. + Коэффициенты а,, аю ..., ан называются элементам и цепной дроби. Число элементов дроби /ч' может быть конечным (конечная цепная дробь) или бесконечным (бесконечная цепная дробь). Рассмотрим простейшую лестничную цепь (рнс. 2.34). Нетрудно установить, что входное сопротивление этой цепи 2, гз гз уг уз г г 7 — з Ъ -"з 2'ге а) Рис. 2.35. Схемы лестничных цепей обшего вида Если лестничная цепь содержит поперечную ветвь, подключенную непосредственно к внешним зажимам цепи (рнс.
2.35, б)„то в виде цепной дроби может быть представлена входная проводимость )' =)г,+ (2,134) Е*+ Уз+ + — У„, +1)г, Таким образом, для того чтобы выражения для входных сопротивлений или входных проводимостей лестничных цепей могли быть записаны в виде цепных дробей типа (2.133), (2.134), необходимо элементы, образующие продольные ветви, представить их комплексными сопротивлениями, а элементы, входящие в поперечные ветви, — их комплексными проводимостями. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование Найдем условия эквивалентности двух участков электрической цепи (рис.
2.36, а, б), которые представляют собой соединение пассивных идеализированных двухполюсников треугольником и звездой. По определению, этн участки цепи эквивалентны, если при замене одного участка другим токи выводов 1„1„1з и напряжения между выводами ()ми (/зз, О останутся неизменными. Учитывая, что из трех напряжений между выводами только два являются независимыми (третье может быть найдено из уравнения баланса напряжений), для экви- а) ф б) 1 Рис. 2.36. Эквивалентные преобразовании треугольник — звезда н звезда — треугальиик ыз (2. )36) 120 валентности треугольника сопротивлений звезде достаточно потребовать, чтобы любая пара из трех напряжений между выводами одной цепи была равна соответствующей паре напряжений другой цепи (прн одинаковых значениях токов внешних выводов).
Выразим токи сопротивлений г„, г„, г ь образующих стороны треугольника сопротивлений, через токи внешних выводов 1„1„ 1,, Составляя на основании законов Кирхгофа систему уравнений электрического равновесия этого участка цепи 1е+1зе — 1и =О, 1е+1з+1з =О; 1,+1„— 1, =о; г 1„+г„1„+г„1„=о и решая ее относительно токов 1ьм 1гм 1„, находим 1м = (гм 1з — гзе 1д((гез + гзз + гзе); 1„=(г„1,— г„, 1,у(гм+ г„+ г„); (2. ! 35) 1„=-(г„1, гм 1,)1(г„+г„+гм). Используя выражения (2.(35), определим напряжения между внешними выводами треугольника сопротивлений (1„=г„1„= г„(г„1,— г„1,)~(г„+г„+г„); и„=г„1„= г„(г„1,— г„1,р(гм+г„+г,,). Соответствующие напряжения между внешними выводами звезды (рнс. 2.36, б) Уз -= г,1~ — г 1; У =- г 1 — г1 .
Приравнивая напряжения (еез и Узз между внешними выводами рассматриваемых участков цепи, находим ~1е гзе ~те ~ае — — 1,=г 1,— г 1„ е ее + е ее+ езе ~~е+ ~ез+езе Хзз Хез Хзз хзе 1з 1з =гз 1з гз 1з. Л„! Л,а+Хз, Е„-!- Е„+7„ В соответствии со сказанным равенства (2.!36) должны выполняться прн любых значениях токов внешних выводов. Полагая в (2. )36) сначала 1, = О, а затем 1, =- О, определяем соотношения между сопротивлениями, при которых рассматриваемые участки цепей (рис. 2.36, и, б) будут эквивалентными: гз = гзз гзе1(гез+ гзз+ газ); г,=-гм г 1(г„+г„+гм); (2.
(37) г, ==я„г„1(г„+г„+ г„). Рассчитав сопротивления г„гз, г, по заданным ге„г„„гз„можно осуществить эквивалентную замену треугольника сопротивлений звездой (преобразование треугольник — звезда). Из рис. 2.36 видно, что 2„=-2, +2, +21 2,?Л,; 2 =2 +2„+2 2,?2,; У 1 = Я, + 2, + 2, 2~/У~. (2.138) Преобразование звезда-треугольник приводит к уменьшению числа узлов преобразуемой цепи (за счет устранения узла, являющегося местом соединения сопротивлений Е,, лз, Я,), однако при этом появляется новый контур, образуемый сопротивлениями Лзз, Л,з, 231. Заменим в выражениях (2.138) комплексные сопротивления элементов их проводимостями.
Проведя преобразования, установим, что выражения для комплексных проводимостей элементов, образующих стороны треугольника ! 12 =) 1 1 2?(~ 1+ У2+ ! 2)1 1 23 1 2 ! 3'(' 1т~ 2+ ! З)1 )зз=)з)1?( 1 ~ Уг+)з) имеют такую же структуру, как н выражения для комплексных сопротивлений,.входящих в лучи звезды (2.13?). Подобным образом можно получить выражения для комплексных проводимостей лучей звезды У„У„)'„которые оказываются аналогичными выражениям для комплексных сопротивлений сторон треугольника (2.
!38). Учитывая, что рассматриваемые участки обладают дуальными графами (рнс. 2.36, в), приходим к заключению, что эти участки цепей яиляются дуальными. Выражения (2. !39) могут быть обобщены и для преобразования У-лучевой звезды (см. рис. 1.23, б) в ?3'-угольник (см. рис. ! .23, а): ! ы = 3 3 1 1?(~ 1+ ) 2 + " + ! и). Здесь )'11 — проводимость стороны М-угольника, соединяющей узлы й и 1; )'„'гз,..., Ун — проводимость элементов„образующих лучи з везды. Обратное преобразование полного М-угольника в йцлучевую звезду в общем случае невозможно. Применение преобразований треугольник — звезда и звезда — треугольник в ряде случаев позволяет существенно упростить анализ цепей, в частности иногда с помощью этих преобразований удаетса приводить сложные участии цепей к более простым (параллельное, последовательное илн смешанное соединение элементов). !2! при этом преобразовании из пепи устраняется контур, образуемый сопротивлениями 212, Л„, 231, и появляется новый узел — место соединения сопротивлений 2„ 2„ 2,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
