Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2.15, в). Вследствие того что емкость и индуктивность являются дуальными элементами, процессы, имеющие место в этих элементах при гармоническом воздействии, описываются подобными по структуре аналитическими выражениями, а временные диаграммы для индуктивности подобны временным диаграммам для емкости и могут быть получены из последних путем замены напряжения на ток, а емкости на индуктивность. 90 Комплексный ток /ь и комплексное напряжение (/ь нндуктивности определяются выражениями /, =/ьР*.; (2.76) (2.77) (),=(/, е/е.= // е/!е+"" и изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины которых в определенном масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктнвности, причем вектор (/ь повернут относительно вектора /ь на угол и/2 против часовой стрелки (рис. 2.16, а).
тт е О ге а/ а! а а! Рис. 2.!б Векторные диаграммы для тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) н комплексной проза. димости (в) нидуктивиости Используя выражения (2.76), (2.77), находим комплексное сопротивление Еь н комплексную проводимость Уь индуктивности: я„= (/ь//„= в/. е(ие т = /в/.; (2.78) У„= — = е — /" (т/(вь) = 1/(/в/.) = — //(в/.). (2.79) ! — х ь Сравнивая (2.78) и (2.79) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивления и проводимости: ьь = (вь . (о = гье "= гь+ /хь! Уь = уье = йь +!Ьь получаем ввцественную н мнимую части, модули и аргументы комплексного сопротивления и комплексной проводимости нндуктивностн: ег =/аг/ аь = в/-; уь = 1/ (вЕ); грь = и/2; ()ь = — и/2; йь — — гь — — 0; хг.
= — в/.; Ьь = — 1/ (вЕ). На комплексной плоскости Ль и Уь изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительного нли отриная схема замещения чательного направления мнимой осн (рис. 2 16, б, в). Комплексная схема замещения индуктивности приведена на рнс. 2 17. таким образом, комплексные сопротивления и проводимости идеализированных пассивных алементов линейных цепей не зависят от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрамн соответствующих злемеитов и частотой внешнего воздействия.
9! й 2.4. АНАЛИЗ ПРОСТЕИШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Последовательная 141.-цепь рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления )т и индуктивности 1. (рис. 2.18, а). Пусть напряжение и, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону и = ) 2У соз (от1+ ф„), "я 1я Я гяая 1 (а 0 г~=,уго1, И Я*я+)ы Б ф д 1т ) гоЬ а 1а7 0 0 хя Я Яе Яе 8) л Рвс. 2.18. Схемы и векторные днаграммы последова- тельной Ят.-цепн Искомый ток 1 является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение: 1= 'Р 2)сов (оП+тРг), где 1, ф, — неизвестные действующее значение и начальная фаза тока 1.
Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения н переходя от тока 1 и напряжения и к их комплексным изоб- ражениям ;=,1=-1 14; и=и ()ег", (2.80) где У, от, $„— заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока 1 в цепи. (2.81) (2.82) (2.83) (2.84) Ил=Ха!е', У~=А.А.. получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи и=и,+Ь),; 1=Я=(„; Здесь 2в -— — Я и Яь = )ыЬ вЂ” комплексные сопРотивлениЯ входЯщих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов.
Величины Я, Ь и ы заданы. Подставляя (2.82) — (2.84) в уравнение (2.81), находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения: 0 =(г„+ г„)1=гЬ (2.85) Выражение (2.85) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Х = Л„+ Яь = Я + (ыЬ есть комплексное входное сопротивление этого участка цепи. Выражению (2.85) можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, а). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления Я и индуктивности Ь, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов.
В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов. Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора 2, равного геометрической сумме векторов Лв и Л~ (рис.
2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи = У'й'+( Ь)'. (2.86) а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его аргументу ф = агс1и (оэЬЯ). (2.87) Отметим, что при конечных значениях в, Ь и Й угол ч~ лежит в пределах О ( ~р < яг2. (2.88) Когда аргумент комплексного входного сопротивления ф какого- либо двухпалюсника равен ну,лю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют ч и с т о р е з и с т и в н ы й (вещест- венный) характер, когда (<р! = я/2 — ч и с т о р е а к т н в н ы й (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен и/2, та его входные сопротивление и проводимость имеют и н д у к т н в н ы й х а р а к т е р, если у= — п/2— е м к о с т н о й.
В рассматриваемом случае значение аргумента определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеет р е з н с т и в н о-н н д у к т н в н ы й х а р а к т е р. Используя (2.85), найдем комплексное действующее значение искомого тока !=- У/Я = Уе'ч"/(ге~я) =- Уе~'ч ч' ~г, (2.89) где г и Ч~ определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно определить действующее значение и начальную фазу тока: Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем — и 1= 3Г2 — соз (а(+ ф„— ~р) .= г =~2 ~ ~+݄— ~д — ).
Я'-~( ей ( Р В связи с тем что при заданной частоте внешнего воздействия ы установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача анализа цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие значения соответствующих функций. Векторные диаграммы для тока и напряжений ЯЬ-цепи приведены на рис.
2,18, д. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор Ув совпадает по направлению с вектором ), вектор Уь повернут относительно вектора 1 на угол Ы2 против часовой стрелки (напряжение на нндуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы напряжения ф„вектор 1 повернут относительно вектора У =- Ув + УУа по часовой стрелке на угол ~р, т. е. ток отстает по фазе от напряжения на угол ср, равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами У, У„н Ух (рис. 2.18, д), подобен т р е у г ол ь н и к у с о и р от и в л е н и й (рис.
2.18, г), образованному векторамиЕ, Яа и Яь. Из векторной диаграммы видно, что действукицие значения напряжения иа входе цепи У, напряжения на сопротивлении Ув и напря- меняя на индуктивности (ль, которые определяют длину сторон треугольника напряжений, связаны соотношением (у = р'(у„'+ П, г. е.
действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгеб«аической сумме действующих значений напряжений на элементах влепи. ° ФФФФ Пример 2.3. Найдем комплексное входное сопротивление и ток последовапмльюй НЬ.цели (рис.
2,18, а), к зажимам которой приложено напряжение и = )/% 50 соз (Б,28 10ь!+ 60'), В и определим напряжения на элементах цели 'Н .= 5 кОм, Ь = 1 мгк). Комплексное входное сопротивление цепи Е равна сумме комплексных сопротивлений входящих в нее элементов: Е =- и 1 Уюс =- (5 4- !' 6,28) 1Оч, Ом. Лереходя от алтбраической формм записи к показательной 2.—. 8,03е! ', кОм, «пределяем модуль комплексного входного сопротивления г = 8,03 кОм и его аргумент ю =- 51,5'. Находим комплекснмй ток цели ) =-()я)2-- бое во =6,23е ', мА 8,03.)оь е!в'э и комплексные напряжения на сопротивлении и индуктивности У - = )с У=- 5.
1Оь 6,23 1О-ь еув'э - -. 31,2е!з' ~ В; и () =(юИ =6,28 10ь 1.10-ее)ьв 6,23.!Π— ее)~'~ =39, !е!зе'в, В, !. Мгновеннне значения соответствующих величин (=1(2 6 23. !Π— ь сов(Б,28 10ь 1-~-8,5ь) А и = $/2 31,2соэ(6,28 !О'!+8,5'), В; и =- 1/2 39,!сов(6,28.10ь !+98,5'), В, Последовательная )сС-цепь (2.90) Рассмотрим последовательную )сС-цепь (рис. 2.19, а), к зажимам которой приложено напряжение и, изменяющееся по гармоническому закону. Найдем комплексный ток цепи и ее комплексное входное сопротивление. Переходя к комплексной схеме замещения цепи (рнс.
2.19, б) и используя законы Ома н Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи: (э=(У„+()с; (У„=2„У'„; У =-Уц=-Ус, Ус — 2с(с где Ев = Я и Лс = 1) (риС) — комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему уравнений (2.90) относительно комплексного действующего значения искомого тока, получаем ) = и)(л„+.у = и)к.
(2.91) Здесь Л = Я„+ Лс — комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи, которое равно сумме комплексных сопротивлений по- с 1 с 4 х=А" Я)ыс) ге=(фмг)ь а) Б) 1т а в 1м -(фъг))1 У/1сог) г = г„+2, = )1 — )У( С) = = гезв, (2,92) где г =- )Г)ев + 11/ (соС))в; ср = — агс1д (1!' (со)хС)1 Как видно из выражения (2.92), прн конечных значениях со, )с и С угол ~р лежит в пределах — и/2( ср ( О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
