Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(2. 22) Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее проводить в показательной форме: А.В=-(А (е~ 4 ( В (е н=(А( ( В(е А(В:=) А(е 4/((В)е н)=.((А(1(В)) ее(" Аа.=-() А е ~) =1 А )" е~ (2. 23) еА=т ( А(е (ил 72 Из выражений (2.23) следует, что прн умножении вектора А = — )А(е на (ил действительное число т получается новый вектор, модуль которого в ш раз больше модули вектора А; при умножении вектора А = (А!е на вектор е и, модуль которого равен /ол /чн единице, получается новый вектор, повернутый относительно вентора А на угол против часовой стрелки; А е/Чн [ А[ /( Я"! )и) (2.24) Из (2.24) и формулы Эйлера следует также, что умножение вектора А = (А[е на вектор /ад /=/ з!п (и/2) =-е/ч/з равносильно повороту вектора А на угол и/2 против часовой стрелки; /А Ае/и/з [ А [ е/ [ил+ !и/з![ а умножение вектора А иа вектор (2. 25) — /=- — /и!п (и/2) =е /и/з приводит к повороту вектора А на угол я/2 по часовой стрелке: — / == е =! )е А А — /и/з ! / [ А !и/з!] (2.26) — -- соз (~п) Ф / з!п (~п) = е~/" ран~и: — !.А =.
Аек/ж = [А[е чисел можно производить также и в ал- Наконец, умножение вектора А на — ! посильно изменению аргумента А на Умножение и делевие комплексных гебраической форме: А.В=.(А +/А«) [В !.;В )=[А А'+!А" (А' -(-/А") (В' — /В") В' — А" В")+/(А' В" +А" В'), А' В' -~;А" В" А" В' — А' В" -!- / В'+/В" (В'+/В") (В' — [В") ( В (' ) В [з причем при выполнении деления учитывается, что произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное число ВВ = (В' + /В") (В'— — )В") -- (В')з + [В") — [В[з.
б=д,+Аз А г г г/ а б) в) рис, 2.4 Графическое определение суммы трех (а, б) н двух (а), а также разности двух (г) векторов уз Суммирование комплексных чисел во многих случаях бывает удобно производить графически, используя правила действий над векторами. Вектор 5, равный сумме векторов А,, А, ..., Ааь может быть построен следующим образом: из начала координат строят вектор А,, из его конца, как из начала координат, стРоЯт вектоР А,, из конца вектоРа Аз стРоЯт вектоР Аз и т.
д. ВектоР, замыкающий ломаную линию, образованную из слагаемых векторов, представляет их сумму Б. Так, вектор В, равный сумме векторов А, В, и С (рис. 2,4, а, б), равен замыкающей ОС = О ломаной линии ОАВС, построенной из векторов А =- ОА, В = АВ, С = ВС. Вектор В, равный сумме двух векторов А, и Аз, — диаго- йаль параллелограмма, построенного на сторонах А, и Аз (рис.
2.4, в). Разность О = А, — Аз может быть найдена как сумма векторов А, н — А, (рис. 2.4, г). Комплексные изображения гармонических функций времени Каждой гармонической функции времени а (!) можно поставить в соответствие комплексное число а, называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции: а=А е! (ив+а! =Ат [соз(оз!+зр)+/з[п(оз!+гр)1, (227) модуль которого равен амплитуде гармонической функции А, а аргумент — ее фазе О = ю/+ф.
Как видно из выражения (2.27), ве. щественная часть мгновенного комплекса а равна исходной гармони ческой функции йе [а) = А соз (ьз! + зр). ° ФЭ11 Пример 2.1. Мгновенныг компгвкси гармонического токо й = 50 1О " З( Х сов [10в/+(л/З)1 [А[ и гармонического напряжения и = кг2 !00 соз [314 — (л/6)1 [В) равны соответственно. гь = 50 10 з е/!го г+(л/з[! н и, = .[,г2 100 /1334 г — !и/зп Вгщественнмг чисти этих комплексов есть исходнмв гармонические функции: йе = [гь) =- йе(50.10 з соз [10' г+ (л/З)1 + /50-10 з з!п [10вг -[- + (л/3)1) = 50 1О з соз [!ОЙ+ (л/3)1 = й; йе [из) =- йе [[/2.100 соз [314/ — (л/6)1+ /!/2 !00 з[п [3!4!в — (л/6)1) = [г 2-100 соз [314! — (л/6)1 = из.
Геометрически мгновенный комплекс а может быть представлен в виде вектора а =- [а[е/"!'1, длина которого [а[ в определенном масштабе равна амплитуде А соответствующей гармонической функции, а аргумент а (!) изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции л (!) = ю! + зР, Для того чтобы обеспечить этот закон изменения аргумента, вектор а должен вращаться в комп лексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью со (рнс. 2.5, а). В момент времени / = 0 вектор а должен образовывать с положительным направлением вещественной осн угол зр, равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции.
Как видно из рис. 2.5,а, проекция вектора а на вещественную ось в выбранном масштабе времени равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени а (!) = йе [а1. Используя понятие комплексных сопряженных чисел и выражение (2.22), мгновенное значение гармонической функции а (!) можно оп- 74 л тлгмчег е „, гг -л Фг«пя«ео яя а> м вг Рис, 2.5. К определению понятия мгновенного комплекса и гармоииче- ской фуикиии а проекции на мнимую ось имеют различные знаки: 1гп [а) = А зш (юг+ ф), 1т(а) = — А з!и (юг+ Ф Значение мгновенного комплекса а в момент времени Г = 0 называется комплексной амплитудой А гармонической функции времени а (г) =- А соз (юг + ф): А„= а!г-е =- А„еге.
(2.29) Из выражения (2.29) следует, что комплекснал амплитуда гармонической функции времени а (() =- А соз (юг + ф) пэедсгпавляет собой «омплексное число, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе тр. Геометрически комплексная амплитуда может бьипь представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом чаек вещественной оси (рис. 26, а), длина которого в определенном масштабе равна А гм ог Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (2.27) для мгновенного 0 комплекса а может быть пре- йе 0 спеют Яе образовано к следующему .! виду: о!« а) лм б) А ~е уиг А умг (2.30) Рис. 2.6. К определеиию поиятий комивекс- иой амплитуды и оператора прещения его г'ег ределнть так же, как полусумму мгновенного комплекса а = А еди'+Ег н сопряженного ему комплексного числа а = А е — де'+Ф>: а (т) =(а+ ае)/2 = (А е~ им+ ег+ А е — т гиг+еЦ/2.
(2.28) Векторы а н а имеют одинаковую длину, противоположные по знаку начальные фазы н вращаются в комплексной плоскости в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью ю (рнс. 2.5, б). Проекции этих векторов на действительную ось равны Йе (а) = гге (а) =- А соз (юг + ф), Вектор е!и', называемый опер а тор ам в р а ще н и я, имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью са (рис. 2.6, б). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения ерос, начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью оз.
В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цепи а (с) может быть поставлен в соответствие текущий комплекс а. Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый нз текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды А на оператор вращения е("с. Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.
Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому информация о них при известной частоте ьо содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов илн напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и, обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.
° ФФФФ Пример 2.2. )(омплексная амплитуда гирмонического тока й = 5 соь [10е!+ + (и!6)1 [А1 есть 1 с .=. 5 еп™, а комплексная амплитуда гармонического напряжения иь = ЗО соз 10ьг[В[ равна ать = ЗОеуь = 30. Чри со =5 10ь рад/с комплексным амплитудам тока уть = рс2 30 10 ьХ зсе 'и!~ 1А[ и з.д.с.
й =- )с 2.10 [В[ соответствуют мгновенные значения тока и з. д. с. сь = 'ус2 30 соз 1(5 !ОЧ вЂ” п/4)1 [мА1; ел = [/2.10 соз 5 10ег [В[, Итак, установлено, что каждой гармонической функции времени а (1) можно единственным образам поставить в соответствие комплексное число А (комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции в комплексной плоскости (по Г. Е. Пухову — к о м п л е к с н о е и 3 о б р а ж ение или К-изображение): (2.31) А = К [а (1)1. Символом К будем обозначать операцию перехода от оригинала (исходной функции времени) к ее изображению в комплексной плоскости. Переход от гармонической функции времени а (1) к ее комплекс- 76 ной амплитуде А может быть выполнен с помощью преобразования [3[ г К[а(С))= — ( е — рта(г)Ф, (2.32) Т,) о которое в дальнейшем будем называть и р я м ы м К-и р е о б р а з он а н н е м нлн просто К-преобразованнем гармонической функции.
В справедливости выражения (2.32) можно убедиться путем непосредственной подстановки в него а (г) = Ат соз (Ы+ ф ) н Т = 2Ыт. Используя выражения (2.28), (2.29) н (2.30), найдем формулу для обратного перехода от комплексной амплитуды к исходной гармонической функции времени: а(с) =(А,„еды+А,„е — рт)/2, (2,33) где А = А е — гч — комплексное число, сопряженное с комплексной амплитудой (рнс. 2.6, а). Операцию перехода от К-нзображення гармоннческой функции к оригиналу (о бр а т н ое К-и р е об р а з ов а н н е) будем обозначать К-'. К-' (А ) = а (г). Выражения (2.31) н (2.34), устанавливающие связь между орнгнналом н его изображением, могут быть заменены соотношеннем а(с)=,' А в котором использован знак соответствия =', означающий взаимное соответствие между функциями, определенными в различных областях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
