Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Дифференциальное уравнение цепи содержит фундаментальную информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации .электрических цепей. Тип дифференциального уравнения цепи полностью определяется ее топологией и характером входящих в нее идеализированных элементов. ° ФФФ ° Пример 1.8. Применяя указанные пргобризования к основной системе уравнений электрического равновесия цепи (рис.
!.39, а), по сучим дифференциильное уравнение втой цепи, составленное относительно напряжения из. ап из йи Здесь иь = 1((ЬС); а, = (!. + Из)чзС)((й,СЬ); аз = (Яз + РьУйз — постоянные козффициенты, определяемые параметрами пассивнык злементов цепи; ап!'(!) Йв бз е(!) 1 йе [!) ! (!) = зз „з -(- „+ ц . функция времени, определяе- 1 з мая параметрами независнмыл источников напряжения и тока. Таким образом, уравнение цепи, изобразслнной на рис. !.39, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными козффицигнтами Классификация электрических цепей Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, могут быть классифицированы по ряду признаков: по топологическим особенностям: планарные (плоские) и непланарные (объемные), разветвленные н неразветвленные, простейшие (одноконтурные, двухузловые) и сложные (многоконтурные, многоузловые); по энергетическим свойствам: активные (содержащие идеализированные активные элементы) и пассивные (не содержащие идеализированных активных элементов); по числу внешних выводов:двухполюсиикиимногополюсники; и др.
Классификация цепей 'по этим признакам не носит принципиального характера и используется, в основном, с целью упорядочения терминологии. Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи. Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновеннымн дифференциальными уравнениями, называются ц е п я м и с сосредоточеннымн параметрами. Цепитакоготипа используют в качестве упрощенных моделей реальных электрических цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно болыпе размеров исследуемого устройства. При этих условиях в исследуемых уст.
ройствах н их элементах удается выделить конечное число участков, в которых преобладает какой-то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или магнитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии илн преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой реальной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значения в пределах каждого из выделенных участков. Заменяя эти участки идеализированными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конечны.
Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из основных электрических эффектов сосредоточен в конечном числе пространственно локализуемых областей. Когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства или его элементов, пространственно локализовать области, в которых сосредоточены только эффекты одного типа, не удается.
Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них имеют место одновременно несколько из перечисленных основных эффектов, причем значения токов в пределах выделенных участков изменяются от одного сечения к другому. При этих условиях цепи, моделирующие реальные ", н ° н »', з устройства или их элементы, содержат я:. м ° ° н, бесконечно большое число идеализи» в» рованных элементов, параметры кото- рых имеют бесконечно малые значения. Ряс.
д4о. упьоа«сааза квас«- Процессы в таких цепях описываются оукаяя конденсатора: дифференциальными уравнениями в — ' — »"«»«»'я«" частных производных. Идеализирован- ные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, называются цепями с распределенными параметрами. Следует подчеркнуть, что термины «цепь с распределенными параметрами» и «цепь с сосредоточенными параметрами» применимы только к идеализированным (моделиру«ощим) цепям и не должны использоваться для характеристики реальных цепей.
В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый элемент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть заменены моделирующей пенью с сосредоточенными или распределенными параметрами. Например, конденсатор любого типа конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рнс. 1.40). В области частот, когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из моделирующих цепей с сосредоточенными параметрами, схе.
мы которых приведены на рис. 1.11. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, но существенно больше расстояния между ними, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии элект. рического и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденсатора. В этом случае эквивалентная схема элементарного участка конденсатора длиной йх состоит из индуктивности «.« и емкости С,, характеризующих процессы запасаиия энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивления «с« и проводимости утечки 6«, учитывающих потери энергии в конденсаторе »« "а яа (гы1 4 /рдх я~да (гд1 и+с/и и+дсс р /у+с/и) д/ Рис. 1.41.
Эквивалентные схемы элементарного участка конденсатора (рис 1.40) пряжение и = и (х, /) рассматриваемой цепи являются функциями времени 1 и координаты х. Приращения тока и напряжения на участ- ке цепи длиной с(х с(1 = — с(х; с(и = — с(х. дс ди дх дх Полагая, что параметры элементов моделирующей цепи /1„ /.о, С, и б„не зависят от токов и напряжений и выражая их через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры сг,, /.» С, и 6, /ср =- (/с,/2)с(х; Ао = (/.с/2)с(х; С, = (Сс/2)с(х; б, =- (бс/2)с(х, составим уравнения баланса токов и напряжений элементарного участ- ка цепи: Пс С, ди Сс, С ди — с' + — ' их и + — ' с(х — + — ' с(х ~и + — с(х) ф 2 2 дС 2 ~ дх С, д С до 1 .
дс' + — с с(х — 11и 1 — с(х) + 1+ — с(х и э О; 2 дс 1 дх ) дх (1.57) — и+ 2 — 'с(х~с- — 'с(х и — — '41х — )+ 2 1 2 2 дт) +2 — с(х — ~1 — — с/х и — — с с(х — )+ и+ — с(х =О. (!.бй) Е д /. Пс С, ди 1 ди 2 дт '1 2 2 дС ) дх Чгс (рис. 1.41, а). Эквивалентная схема всего конденсатора должна состаять из бесконечно большого числа таких секций. Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденсатор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределенными параметрами. На примере цепи, эквивалентная схема которой изображена на рис, 1.41, а„ покажем, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток с =- с (х, /) и на- Пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнениг (1.57), (1.58) можно преобразовать к виду д~ ди — — =6 и+С вЂ” ' дх д1 (1.59 ди .
д~' — =)с, ~'+Ед —. дх д1 (1.60 60 Решая уравнения (1.59), (1.60) прн соответствующих начальных ~ граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи моделирующей ноденсатор в рассматриваемом режиме. Отметим, что уравнениям (1.59), (1.60) может быть поставлена в соответствие более простая эквивалентная схема элементарного участка цепи (рис. 1.41, б).
Аналогичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и коаксиальных линий передачи. В зависимости от числа координат„ вдоль которых происходит изменение тока и напряжения н вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одномерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В теории цепей рассматривают, в основном, одномерные цепи с распределенными параметрами, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями типа (1.59), (1.60) .
Параметры рассмотренных ранее идеализированных линейных пассивных элементов не зависят от значений токов и напряжений соответствующих элементов и, следовательно, от и н т е н с и в н ос т и внешнего воздействия на цепь, определяемой токами действующих в цепи независимых источников тока и напряжениями действующих в пепи независимых источников напряжения. Связь между током и напряженнем линейных идеализированных пассивных элементов описывается линейными алгебраическими, дифференциальными или интегральными уравнениями, иными словами, компонентные уравнения этих элементов являются линейными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
