Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Параметры нелинейных пассивных элементов зависят от токов илн напряжений соответствующих элементов, а следовательно, и от интенсивности внепшего воздействия. Компонентные уравнения нелинейных идеализированных пассивных элементов — нелинейные. В зависимости от вида компонентного уравнения идеализированные активные элементы также делятся на линейные и нелинейные, К линейным идеализированным активным элементам относят независимые 1 линейно управляемл|е зависимые источники тока и напряжения, и нелинейным — нелинейно управляемые зависимые источники тока г напряжения. Цепь с сосредоточенными илн распределеннымн параметрами, составленная только нз линейных идеализированных элементов, пазы вастся л и и е й н о й.
Дифференциальное уравнение такой цепи— лппсйнос. Геля в состав нгнп входит лоти бы один нелинейный пассив ный или активный элсмснг, то она называется н е л и н е й н о й, а процессы в ней описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Параметры линейных идеализированных пассивных элементов и коэффициенты управления линейно управляемых источников могут либо иметь постоянные значения, либо изменяться во времени под действием некоторых факторов, непосредственно не связанных с токами или напряжениями этих элементов (например, емкость конденсатора может изменяться во времени вследствие изменения расстояния между обкладками; индуктивность катушки можно изменять путем перемещения сердечника). Идеализированные элементы первого типа называют линейными элементами с постоянными параметрами, элементы второго типа — линейными элементами с переменными параметрами или п а р а м ет р и ч е с к и м и э л ем е н т а м н.
Параметрические элементы, у которых изменение параметров происходит с частотой. близкой к частоте токов или напряжений этих элементов, следует отличать от р е г у л и р у е м ы х элементов — конденсаторов переменной емкости, вариометров, подстроечных конденсаторов н др., у которых изменение параметров производится весьма медленно и только в процессе настройки или регулировки соответствующего устройства. При составлении уравнений электрического равновесия параметрам регулируемых элементов приписывают некоторые фиксированные значения, а сами элементы относят к элементам с постоянными параметрами.
Цепи, составленные только из линейных элементов с постоянными параметрами, называются линейными цепями с постоянными параметрами или линейными инвариантными во времени цепями. Процессывлинейныхинварионтных во времени цепях описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Линейные цепи, содержащие хотя бы один элемент с переменными параметрами, называются л и н е й н ы м и и а р а м е т р н ч е си и м н ц е п я м и.
Процессы в линейных параметрических цепях описываюпюя линейными уравнениями с переменными коэффициентами. В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет следующий вид: ат — +а, ~ — +...+а, — +а„у=7(11, (1.61) Вг „Вс вР' тт — ' где у -- искомая реакция цепи (ток нли напряжение какой-.чнбо ветви); а„, а„..., а, — коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления управляемых источников. В дифференциальном уравнении линейной инвариантной во времени цепи эти коэффициенты постоянны, в дифференциальном уравнении линейной параметрической цепи, по крайней мере, один из них является функцией времени.
Правая часть уравнения 11,61) есть линейная комбинация функций, описывающих внсшнсс воздействие на цепь х (1), и их производных. Прн ныьлюченнн -всех источников она становится равной нулю. \ 61 Значение» характеризует порядок сложности цепи (п о р я д о к ц е п и) и равно числу реактивных элементов (емкостей и индуктнвностей), энергетическое состояние которых может быть задано независимо (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл.
6). Различают цепи нулевого порядка (не содержащие реактивных элементов), первого, второго и более высоких порядков. Для линейных уравнений вида (1.61) сформулирована т е о р е и а н а л о ж е н и я (т е о р е м а с у п е р п о з и ц и и). Если !' (Г) = =- 2'.!хА (!), где а, = сопя! и у! = у, (г) являются решениями уравпений в» в»-! вв! ໠— !+а» .! "' +...+а, — "' +а у,.= — ~, (1), (1.62) ар' в!» — ! ш то у (1) = — Э'а!у, (1) является решением уравнения (!.6!). ! =- ! Математически это значит, что решение линейного уравнения (!.61) со сложной правой частью можно выразить через решения уравнений (1,62) с более простой правой частью. На теореме наложения базируется широко используемый в теории цепей принцип наложения (принцип суперпоз и ц и и): реакция у (г) линейной цепи на сложное воздействие х (г) =- = ~~'., а,х; (Г), представляющее собой линейную комбинацию более ! простых воздействий х! (Г), равна линейной комбинации реакций у! (Г), вьзванных каждым из просо!ых воздей"твий в отдельности: у (1) == = ~~ра!у! (!).
В частности, если внешним воздействиям х, (1) и х (!) !=! соответствуют реакции у, (Г) н уа (!), то внешнему воздействию х (Г) = = х, (1) -1 х, (!) соответствует реакция у (!) = у, (!) !- у„(С), а внешнему воздействию х (!) = Ах, (!), где А -= сопз1, реакция у (!) == — Ау, (г). Применение принципа наложения существенно облегчает исследование процессов в линейных электрических цепях, он лежит в ошюве многих широко используемых методов анализа. Состояние теории цепей в значительной степени определяется степенью разработанности теории и методов решения соответствующих дифференциальных уравнений.
К настоящему времени разработаны общие методы решения только линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, поэтому наиболее законченный вид имеет теория линейных инварнантных во времени цепей, которые в дальнейшем будем называть просто л н н с й н ы м и ц е и я и и. Простейшие линейные цепи при гармоническом воздействии ФФФФФФФФФ й ЗЛ. ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ Понятие о гармонических функциях Знакомство со свойствами электрических цепей н методами их анализа начнем с рассмотрения простейших линейных цепей при гармоническом воздействии.
Если значения функции времени а(1) изменяются по синусоидальному или косинусоидальному закону а (1) = А,„соз (Ы+ ф) — А з(п (а1 Ч ф'), (2.1) где ф' = ф + п/2, то такую функцию будем называть г а р м о н ичес кой. традиционно в электротехнической литературе используют синус- ~ ную форму записи гармонической функции, а в радиотехнической— косннусную, которой и будем пользоваться в дальнейшем.
Обе формы записи являются равноценными, отличаются только началом отсчета- значений функции и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис. 2.1, а). Наибольшее значение гармонической функпии А называется а м п л и т у д о й. Ее размерность совпадает с размерностью гармонической функции. Наименьшее значение гармонической функции равна — А . Аргумент 0 = ы1+ ф функции, записанной в косинусной форме, называется мгновенной фазой (фазой). Если гармоническая функция задана в синусной форме а (г) А з(п 0' =- А з(п (ы1-1 ф'), то ее фаза находится по формуле 0 = 0' — и'2. Величина ф, равная значению мгновенной фазы 0 при 1 О, называется н а ч а л ь н о й ф а з о й.
Фаза и начальная фаза гармонической функции выражаются в радианах (рад) или градусах ('). Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ее изменения ы .= б0!Ж называется у г л о в о й ч а с т от о й. Она выражается в радианах в секунду (рад)с).
Гармонические функции времени представляют собой простейший внд периодических функций. В общем случае функция времени называется периодической, если ее значения повторяются через определенные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, через который наблюдается повторение значений функции, называется п е р и од о м. Таким образом, если а (() — периодическая функция времени с периодом Т, то для нее должно выполняться равенство а(г) =а(г ~ пТ), (2.2) где и — произвольное целое число. Величина, обратная периоду Т, называется ч а с т о т о й: ( = 1(Т. (2.3) Частота выражается в герцах (Гц). Режим работы электрической цепи, при котором напряжения и токи всех ветвей цепи являются периодическими функциями времени или сохраняют неизменные значения, называется у с т а н о в и вш и м с я.
Строго говоря, электромагнитный процесс является периодическим только в том случае, если условие периодичности (2.2) выполняется на неограниченно большом промежутке времени г Е 1 — оо, оо(, т. е. если рассматриваемый процесс существует в цепи неограниченно длительное время. Если гы аь) ы (гы еу «и гев ее процесс возник нли прекратился б) при каком-то конечном значении Ркс 2 1 Графккк гармонической 1, то в этот момент его перноднчфуккпкк (а) к ее кокуле (В) ность нарушается.
Постоянные токи и напряжения в ряде случаев также удобно рассматривать как периодические с периодом Т = оо и частотой, равной нулю. Очевидно, что процессы, имеющие место в реальных цепях, не могут быть бесконечно длительнымп, поэтому они могут считаться периодическими лишь приближенно, Вследствие этого на практике прини- ° мают, что установившимея является такой процесс, при котором условие периодичности (2.2) выполняется на достшпочно большом интервале времени.
Если токи и напряжения цепи изменяются не по периодическому закону, то режим работы цепи называется н е у с т а н о в н в ш и мс я. Частным случаем процессов, протекающих в таком режиме, являются переходные п р о ц е с с ы, которые имеют место при переходе от одного установившегося режима к другому. Теоретически переходные процессы в цепи затухают бесконечно долго и новый установившийся режим наступает только при г- . Как будет показано далее (см. гл. 6), переходные процессы практически прекращаются (или, точнее, затухают до пренебрежимо малого уровня) через конечный ро " промежуток времени, по истечении которого процесс в цепи можков и но считать установившимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
