Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Напряжения на элементах контура и э. д. с, источников напряжения входят в (1.42) со знаком плюс, если положительные направления напряжений на элементах и направления э. д. с. источников напряжения совпадают с направлением обхода контура. В противном случае соответствующие слагаемые в (1.42) берутся со знаком минус. ° ФФФФ Пример КЗ. Запишем уравнения баланса нанрюеений на влеиентах всех кантурвв цени (рис.

1.л4. 6): я,— ис — ияв=е; ияв+ их+ иг+ "аз = О ил~+ос+вяз=в Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии и отражает тот факт, что энергия, затраченная сторонними силами на перенос произвольного заряда внутри источников, входящих в контур, равна энергии, затрачиваемой источниками на перенос этого заряда через пассивные элементы контура.

Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии выполняется прн переносе заряда по любому замкнутому пути (не обязательно полностью проходящему через ветви цепи). Поэтому уравнения по второму закону Кнрхгофа можно составить для любой совокупности элементов, абра "ющих путь для электрического тока от произвольно выбранного узла (а) электрической цепи к узлу (б) с учетом напряженна между конечными точками этого пути и„в.

Например, для ветвей 3 и 2 (рнс. 1.24, а), образующих путь для электрического тока между узлами (2) и (0) электрической цепи, уравнение по второму закону Кирхгофа с учетом напряжения и„между этими узлами запишет. ся в виде и„, + ип + ияв + ис, + и„= О. 39 Лля контуров, в которых есть источники тока, уравнения баланса напряжений составляют по общему правилу, причем напряжение на источнике тока учитывается в левой части уравнения (1.42). Так, для контура, образованного ветвями с сопротивлениями 1с,, ь(„1(4, емкостью С,, источником напряжения е и источником тока 1 (рис.

1.24, а), уравнение баланса напряжений и„, + и„ь + и„, 1- исэ (- ит — е. Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, а определяются только ее топологнческими особенностями, то уравнения баланса токов и напряжении можно применять для математического описания процессов в моделирующих цепях, составленных из двухполюсных элементов любого типа (как линейных, так и нелинейных) при любой форме токов и напряжений независимых источников. Очевидно, что количество уравнений баланса токов и напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи.

Можно убедиться, что не все из составленных уравнений будут линейно независимыми. Например, любое из четырех уравнений (1.38) может быть получено как линейная комбинация из трех других уравнений: так, уравнение для узла (О) можно получить суммируя уравнения, составленные для узлов (1), (2), (3), и умножая правую и левую части полученного уравнения на — 1. Аналогично уравнения (1.41) не являются линейно независимыми.

В то же время на основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно составить несколько различных систем линейно независимых топологическнх уравнений. Например, любые три уравнения нз (1.38) и любые два уравнения из (1.41) образуют систему линейно независимых у равнений. Будем называть системой независимых узлов и системой независимых контуров любые совокупности узлов н контуров цепи, для которых можно составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа.

Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем соответствующих узлов и контуров являются основными задачами топологии цепей. Типологические графы электрических цепей В общем случае г р а ф есть совокупность отрезков произвольной длины н формы, называемых в е т в я м и (р е б р а м и ), и точек их соединения, называемых у з л а м и ( в е р ш и н а м и ). В теории электрических цепей ц основном находят применение н а п р а в л е нные, илиориентированные, графы,у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой. Различают направленные топологические графы и направленные графы прохождения сигналов. Н а и р а в л е н н ы й т оп о л о г и ч е с к и й г р а ф является упрощенной моделью электрической цепи, отражающей только ее топологические (структурные) 40 войства.

Н а п р а ален- (1) 2 (2) д (г) Е (ч) (1) ный граф прохождения сигналов представляет собой нагляд- 5 7 1 2 Ю нос графическое изображе- 1 ние системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи. В (0) (й) дальнейшем будем назы- а) б) вать направленный граф прохождениЯ сигналов рнс (йз. расширенный (а) н сокращенный (б) с и г н а л ь н ы и г Р а графы цепи, схема которой приведена на ф о м, а направленный рнс ! 2! топологический граф просто графом цепи. Граф электрической цепи строят по ее эквивалентной схеме, Каждую ветвь цепи заменяют при этом отрезком произвольной длины и формы — ветвью графа, а каждый узел цепи преобразуют в узел графа.

На ветвях графа стрелками указывают нх направления, которые совпадают с положительным направлением токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи. Нумерация ветвеи и узлов графа таже, что и нумерация ветвей и узлов схемы. Расширенному топологическому описанию цепи (см. Рис. 1.21, а) соответствует расширенный граф пепи (рис. 1.25, а), сокращенному топологическому описанию (см. Рнс.

1.21, б) — сокращенный (рис. 1.25, б). Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей р, числом узлов д и способом соединения ветвей между собой. Графы, имеющие одинаковые количества узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются и з ам о р ф н ы м и (рис. 1.26). Изменяя длину и форму ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на плоскости„можно получить бесчисленное множество графов, изоморфных исходному.

Танис преобразования графа называются изоморфными преобр а з он а н н я м н. Каждый из вариантов изображения графа, полученный пУтем таких преобразований, называется его г е о м е т р н ч е с к о й реализацией. (1) д (2) Ф й) 4! (О) а) Рнс. !.26. Иаоыорфные графы Если узел 1 является концом ветви 1, то говорят, что они и иц и д е н т н ы (от англ. 1псЫепсе — сфера действия, охват). Каждая ветвь графа ннцидентна двум узлам.

Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ветвей графа содержит и все инцидентные им узлы, называется п о д г р а ф о м. Ст е и е н ь ю у з л а называется число ветвей графа, инцидентных данному узлу. На рис. 1.25, а узлы (7) и (4) имеют вторую степень, узлы (О) и (8) — четвертую.

Графы, изоморфные с точностью до узлов второй степени, называются г о м е о м о р ф н ы м и. После удаления из гомеоморфных графов узлов второй степени и объединения инцидентных этим вершинам ветвей гомеоморфные графы становятся изоморфными. Таким образом, б 1 а) д) а) о) Рис. 1.28 Графи Понтрягина — Ку- ратонского: л — полный пвтпугольввв; 6 — аьуаольвый Рис. 1.27. Устранение пересечений ветвей графа с помощью иаоморфнмх преоврааонаиий графы соответствующие расширенному и сокращенному топологическому описанию цепи, являются гомеоморфными.

Примером гомеоморфных графов являются графы, изображенные на рис. 1.25. П л а н а р н ы м (п л о с к и м ) называется такой граф, который в результате изоморфных преобразований может быть изображен иа плоскости без пересечения ветвей. Так, граф, изображенный на рис. ! .27, а, содержит две пересекающиеся ветви, однако он является планарным, так как существует изоморфный ему граф, не имеющий пересечения ветвей (рис. 1.27, б). Можно убедиться, что все графы, содержащие не более четырех узлов, являются планарными. Непланарный (объемный) граф не может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей (рис.

1.28). При удалении из представленных на рисунке графов любой ветви они становятся планарными. Полный пятнугольиик н двудольный граф (рис. 1.28) называюттакже графамн Понтрягина — Кур а т о в с к о го. Доказано, что произвольный граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфнык одному из графов Понтрягина — Куратовского. Электрическая схема, которой соответствует планарный граф, также называется и л а н а р н о й. Н е п л а н а р н о й с х е м е соответствует непланарный граф.

Таким же образом вводятся понятия п л а н а рной и непланарной идеализированных электрических цепей. (5) (Г) ч (г) у (5) 2 бр /б ((7) (з) з (г) т И) б Р /рбб (О) (Г) - (г) (Г) 5 (г) 5 г 5 Ф (и) (1) ( Л) (1) о Гг) 5 Гз) 5 Г Ы (г) (и) Рис. 1.30. Некоторые из коитуроз графа, изображенного на рис, 1.26 Планарный граф делит плос- (1) г (Г)) б (5) (Г) и Гг) у (4 рб бр жен, на внешнюю и внутренние б . врр " и а И ~ Рбб б Рбб бр б ббб б ббб рр-- называются ячейками или (Г) о (г) 5 (5) (Г) 5 (г) т (5) рф.

в отношению к графу часть плоскости называется баз и с н о й Рис. 1,29, Различные пути между иерячейкой. шинамн (Г) и (а) графа, изображенного П у т ь — это подграф, являющийся последовательностью соединенных между собой ветвей, выбранных таким образам, что каждому узлу (за исключением двух узлов, называемых г р а н и чн ы м и) инцидентны две ветви, а граничным узлам инцидентно па одной ветви (рис. 1.29). Каждая ветвь и каждый узел встречаются в пути только один раз. Замкнутый путь, т. е.

путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется к о н т у р о м (рис. 1.30). Каждому из узлов контура инцидентны две ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи существует взаимно однозначное соответствие. С в я з н ы й г р а ф — это граф, между любыми двумя узлами которого существует, по крайней мере, один путь (см. Рис. 1.28 — 1.28). Д е р е в о м связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура.

Ветви графа, вошедшие в дерево, называются в е т в я м и д е р е в а; ветви, не вошедшие в дерево, называются с в я з я м и (г л а в н ы м и в е т в я м и, х о р д а м и). Каждому графу может быть поставлено в соответствие несколько деревьев, отличающихся друг от друга составом ветвей дерева (рис. 1.3!). Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и (Г узлов, имеет Гп = б) — ! ветвей дерева и л = р — с) + 1 главных ветвей.

Характеристики

Список файлов книги