Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1.34, а, имеет следующий вид: 1 2 3 4 5 б 7 н — номера ветвей 1 1 1 ΠΠ— 1 О 1 0=3 О О 1 1 — 1 О 6 ΠΠΠΠ— 1'1 1 (1 48). номера главных сечении Используя матрицу главных сечений, можно в компактной форме записать систему из и = (1 — 1 уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгафа для главных сечений графа, соответствующих выбранному дереву: (1.49) (гм!=О, где 1 — вектор токов ветвей. Уравнения (1.49) являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним током— таком ветви дерева, входящей в данное главное сечение. Как и следовало оасидать, система уравнений (!.47) совпадает с системой уравнений (1.8д), составленной на основании первого закона Кирггофа для 1,2 и 3-го углов рассматриваемой цепи. Подставляя (1 48) в (1.49), получим систему линейно независимых уравнений баланса токов для главных сечений графа (рис.
1.34, а). 1а 1ч 1в ~1+12 ~э+ 7 1з+ 1ч 1ь+ 1ч ~6+ ге+ ~т 1100 — 101 0011 — 101 0000 — 11! (1.50) Если какое-либо из главнык сечений графа является каноническим, то уравнение баланса токов для этого сечения с точностью до знака совпадает с уравнением баланса токов для соооюетствуюи(его изолированного узла. Так, в системе уравнений (1.50) второе и третье уравнения, составленные для канонических сечений 3 и б, совпадают со вторым и третьим уравнениями в системе уравнений (1.47), составленными соответственно для узлов 2 и 3 той же цепи. Если все главные сечения графа являются каноническими, то матрицы узлов А и сечений 41 совпадают с точностью до знака элемента строки. Матрица главных контуров В представляет собой таблицу, в которой число столбцов равно числу ветвей графа р, а число строк — числу главных контуров, т.
е. числу главных ветвей графа л =-- р — д + 1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк — с номерами главных контуров). Элементы 1-й строки Ьы могут принимать значения 1-1, — 1 и 0; Ьа -- 1-1, если 1-я ветвь входит в состав 1-го контура, причем ее ориентация совпадает с ориентацией контура; Ьы -- — 1, если ориентация 1чй ветви, входящей в 1-й контур, не совпадает с ориентацией контура; Ьы — - О, если!-я ветвь не входит в 1-й контур. Например, матрица главных контуров В графа (см. рис.
1.26), соответствующая дереву графа, приведенному на рис. 1.31, в, имеет следующий вид: 7 - номера ветвей О 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 1 1 1 0 0 В 3 0 0 1 — 1 0 4 0 0 О 0 1 номера главных контуров (1.51) Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений, составленных на основании второго закона Кнрхгофа. Пусть исследуемая цепь содержит р ветвей, д узлов и п р--- о, ! главных контуров. Умножая матрицу главных контуров В на матрицу- 49 столбец напряжений ветвей и, получаем Ь,Ь ...Ь, Ьм Ьт "° Ьар Ьм и,-(- Ьая ив+ ...
+ Ь,р ир Ь„и,+Ьм иг-( ... +Ь,„ир и„ Ь„, Ьн,... Ь„р ир Ь„,и,+Ьти,+...+Ь„рир Каждая строка этого выражения представляет собой алгебраическую сумму напряжений ветвей, входящих в а-й главный контур, причем правило суммирования напряжений ветвей совпадает с соответствующим правилом, установленным для записи уравнений баланса напряжений в контуре (1.40). Так как в соответствии со вторым законом Кирхгофа сумма напряжений ветвей, входящих в каждый контур, в любой момент времени равна нулю, то окончательно имеем В Х и = О.
(!.52) Выражение (1.52) является матричной формой записи уравнений баланса напряжений для главных контуров цепи, Уравнения, входящие в (1.52), являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним напряжением— напряжением главной ветви, замыкающей данный контур. Таким образом, система из и = р — о + 1 главных контуров, сооажтствуюецих выбранному дереву, является системой независимых контуров.
Следовательно, для каждой цепи можно составить и не. зависимых уравнений по второму закону Кирхгофа. ° ФФФФ Пример 1.5. Рассмотрим применение матрицы контуров для формирования системы линейно неэовисимык уравнений баланса напряжений для цели, граф ко. торой приведен на рис. !.лб. Умножая митрицу главная контуров этой цели (!.51) на матрицу-столбец напряжений ветвей и, поливаем и ! ОО 1110! О!О 1!!О ОО! -1000~ 000 0101 на + на+ иа 1' иа иэ 1 иа 1-иа-1'иа 446 иа аа 1.'46 !1 ВХи= (1. 53) ив е и Следует отметить, что при выборе системы независимых контуров было использовано достаточное условие независимости уравнений, заключакицееся в том, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из уравнений содержало, по крайней мере, одну независимую переменную величину, отсутствующую в других уравнениях.
Так как это условие не является необходимым, то для каждой цепи можно найти и другие системы незаписимых контуров, которые в ряде случаев могут не совпадать ии с одной из систем главных контуров. В частности, ячейки плоского грдфа, число кото. рых оказывается равным и - р — ц -1 1, представляют собой систе- му независимых контуров, Их состав может быть описан м а т р и ц е й ос н он н ы х к опту р о в В', которая строится аналогично матрице главных контуров (контуры, соответствующие каждой из ячеек, нумеруют от 1 до и, каждому из ннх приписывают произвольную ориентацию). Например, для графа электрической цепи, изображенного на рис.
!.35. 1 2 3 4 5 6 7 ~- номера ветвей 1 0 0 0 0 0 — 1 1 2 0 — 1 0 — 1 0 ! 0 3 1 1 — 1 0 0 0 0 4 0 0 1 1 — 1 0 0 номера контуров (1.54) В этом случае матрица основных контуров не совпадает ни с одной из возможных для данного графа матриц главных контуров. Матрицу В' можно, как и матрицу В, использовать для записи системы линейно независимых уравнений баланса напряжений: Вь Хи=О. (1.55) Так, используя (1.54), можно составить систему уравнений баланса напряжений для ячеек графа, изображенного на рис. 1.35: и, 0 0 0 — 1 1 Π— ! 0 1 Π— 1 0 0 0 0 1 ! — 1 0 0 0 0 Вх,= Π— ! 1 1 0 0 иа и и6 ие и2 0 0 0 0 — и6+ и2 — и,— и„+и, и1+и2 из ив+ и6 и6 Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек в качестве независимых контуров.
Дуальные графы и дуэльные цепи Два плоских графа называются д у а л ь н ы м и, если матрица узлов одного из них А равна матрице основных контуров В' другого н наоборот: Л1 = В;; А, =- В",. (1.56) 51 7 (а) а) (О) Рнс, 1,35. К составлению ос- нонной матрицы контуров Рнс. 1.36. Построение дуального графа (заданный граф — сплошные линии) Очевидно, что дуальные графы должны иметь одинаковое число ветвей (р, = р,), причем число ветвей дерева одного из них лг должно быть равно числу главных ветвей а другого: lпг -= па; /иа ==- лы ΠΠΠ— 1 1 Π— 1 О 1 Π— 1 О О О О 1 1 — 1 О О О О А — Во— 1 1 О О О 1 1 ΠΠΠ— 1 — ! — 1 — 1 1 ΠΠ— 1 1 Π— 1 Π— 1 О О Для построения графа, дуального заданному (рис. 1.36, а), необходимо внутри каждой ячейки исходного графа разместить узел дуального графа [(1'), (2') и т.
дЛ, кроме того, один узел дуального графа располагается во внешней по отношению к исходному графу части плоскости, т. е. в базисной ячейке. Узлы дуального графа соединяются между собой ветвями так, чтобы каждая ветвь исходного графа пересекала одну ветвь дуального графа (пунктир на рис. 1.36, а). Номера узлов дуального графа совпадают с номерами контуров исходного графа, внутри которых онн размещены. Узлу дуального графа, расположенному в базисной ячейке, присваивается номер О'. Пересекающимся между собой ветвями исходного и дуального графов присванваются одинаковые номера.
Ориентация ветвей и контуров дуального графа (рис. 1.36, б) выбирается таким образом, чтобы обеспечить выполнение равенств (1.56). Нетрудно убедиться, что матрицы узлов А, и основных контуров В; дуального графа (рис. 1.36, б) равны соответственно матрицам основных контуров В; и узлов А, исходного графа: Как видно из рис.
!.36, ячейки дуального графа соответствуют у злам исходного графа, а узлы дуального графа — ячейкам исходного. доследовательному соединению ветвей исходного графа соответствует параллельное соединение ветвей дуального графа и наоборот. Если сформулированное правило нахождения дуальиого графа применить для построения графа, дуального изображенному на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
