Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1.36, б, то получится граф, изоморфный исходному графу !рис. 1.36, а сплошные линии). Используя понятие дуального графа, легко обобщить введенное ранее понятие д у а л ь н ы х цепей. Две цепи называются дуальными, если они имеют дуалоныг графы и каждому элементу одной испи соот- !а) а) Рнс. !.37. К аримеру ! 6 ветствует дуальный элемент другой. Для построения дуальной цепи сначала находят граф, дуальиый расширенному топологическому графу исходной цепи, а затем каждую ветвь дуального графа заменяют элементом, дуальным элементу, расположенному в соответствующей ветви исходной цепи.
ФФФФФ Пример !.6. Построим цепь, дуольную приведенной на рис. 1.37, а. На рис. 1.37, б сплошными линиями показан граф исходной цепи, а пунктирными — дуальнмй ему ераф !'направление ветвей исходного графа соответспмует направлению токов ветвей исходной цепи, а направление ветвей дуального графа— направленшо напрязсения ветвей дуольной цели). Цепь, дуальная исходной, изобразвена на рис. 1.37, в.
Из определения дуальной цепи и равенств (1.66) следует, что уравнения баланса токов для одной из дуальных цепей будут совпадать с уравнениями баланса напряжений для другой при условии, что в соответствующих уравнениях токи ветвей одной цепи будут заменены иа напряжения ветвей другой цепи и наоборот. Это свойство дуальных цепей иногда используют в качестве определения дуальных цепей.
В заключение заметим, что непланарные графы не имеют дуальных ~рафов, в связи с чгм идеализированной электрической цепи, схема котоРой нг является планарной, не может бьипь поставлена в соопюгтствие дуальная цепь. 53 $ Е5. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ЦЕПЕЙ Основные задачи теории цепей Рнс, ЕЗВ. Представление элентрпческой цепн в виде системы с М входами в М выходами Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одиим или несколькими входами и одним или несколькими выходами (рис.
Е38). Если к входам цепи приложить внешнее воздействие х (~) = (х, Я, ха (~), ..., хи (~)), то иа выходах можно обнаружить реакцию или отклик у (~) =- (у, (~), ух (~), ..., Ум (1)), где ту и М— число входов и выходов соответственно. В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и зал,(П дачи синтеза. (Н хт (~) ятФ ' Задача анализа элек- элехтди трической цепи состоит в х(с "„;";; у(с) определении реакции цепи у (г) иа х„(с) ум(э) заданное внешнее воздействие х (().
Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи у (1) иа некоторое внешнее воздействие х (1). Исходными данными в задаче анализа являются эквивалентная схема цепи с параметрами всех входящих в иее элементов и описание внешнего воздействия х (1), задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеализированных неуправляемых источников. В результате анализа определяется отклик у (1) в виде совокупности токов и напряжений всех или некоторых ветвей пепи. В частном случае задача анализа может сводиться к определению соотношений между реакциями цепи иа отдельных выходах ут (1) и воздействиями х, (1), приложенными к определенным входам.
Такие соотношения иазываются х а р а к т е р и с т и к а м и (с и с т е м и ы м и ф у и к ци ям и, ф у и к и и я м и) ц е п и. В зависимости оттого, какая величина— частота или время — является аргументом в выражениях, описывающих соотиашеиия между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики ц е п и. Определение и исследование частотных характеристик представляютсобой задачу анализа цепи в частотной обл а с т и; нахождение времеииьтх характеристик — з а д а ч у а и ализа цеп и во времен нб й области.
Исходными данными в задаче синтеза являются описания виешиега воздействия к (~) и ее отклика д (~). В результате синтеза необходима найти эквивалентную схему цепи и параметры всех входящих в иее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к иахождеиию цепи, обеспечивающей заданные соотношения между внешним воздействием иа цепь х; (Ф) и ее реакцией пт И), т. е. к нахождению цепи по ее характеристикам.
Лиалиэ и синтез электрических цепей в определенной степени взаимосвязаиы, в частности методы синтеза базируются иа использовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа. Поэтому изложению методов синтеза цепей будет предшествовать рассмотрение общих методов анализа цепей и знакомство с характеристиками некоторых классов цепей при различных внешних воздействиях. Понятие об уравнениях электрического равновесия. й4атематически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи.
Уравнения, решение которых позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются у р а внениями электрического равновесия цепи. Очевидно, что число уравнений электрического равновесия должно быть равно количеству неизвестных токов и напряжений. В общем случае в цепи, содержащей р ветвей и д узлов, имеется 2р неизвестных токов и напряжений ветвей. Используя законы Кирхгофа, для такой пепи можно составить т = д — 1 независимых уравнений баланса токов и и =- р — д + 1 независимых уравнений баланса напряжений.
В сочетании с компонентными уравнениями (уравнениями ветвей) получаем 2р линейно независимых уравнений, что достаточно для определения неизвестных токов и напряжений ветвей. Если в рассматриваемой цепи имеется ряч ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока (токи этих ветвей заданы, а напряжения неизвестны), и р„„ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения (напряжения этих ветвей известны), то общее число неизвестных токов и напряжений уменьшается до 2р — р„, — р„„. Для определения этих неизвестных нужно составить лишь 2р — р„, — р„ч линейно независимых уравнений (т + и =- р уравнений на основании законов Кирхгофа и р — р„,— — р„„ компонентных уравнений для ветвей, не содержащих указанных источников).
Таким образом, используя компонентные уравнения и топологические уравнения, составленные на основании зшсонов Кирхгофа, всегда можно сформировать систему уравнений электрического равновесия, число уравнений в которой достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений. Будем называть такую систему уравнений о сновной системой уравнений электрического равновесия пепи. На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнения электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния.
Все они базируются на использовании различных приемов, позволяющих преобразовать основную систему уравнений электрического равновесия и уменьшить по сравнению с 2р или 2р — р„, — р„„число одновременно решаемых уравнений. Как было показано ранее, уравнения (1.37) и (!.40) являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассив- , (У/ Рнс. !.39. К примеру !Л ных элементов могут быть как алгебраическими (1.9), (1.10), так и дифференциальными (1.!3), (1.22) или интегральными (1.16), (1.23).
Вследствие этого уравнения электрического равновесия цепи, сосок/вленные любым л!етодом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений. ФФФФФ Пример !.7. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи, салема и топологический граф которой изображены на рис.
!.ЗУ, а и б соответственно. Для этой ц.пи р =- б, д = 4, риз = / и р,т =- 1. Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2р — рвз — рзн = — !О. Используя эако. ны Киркгофа, можно составить т =- д — ! =-. 3 уравнения баланса токов: — аз 4 зз --- О; — /, Ц ° Ц а 01 —, Р / — . = О и и =- р — Ч + ! = 3 уривнения баланса напряжений: и, + ие —.= е (/); — иа+ иа — иа — О' — иь 1 иа — О.
КРоме ~посо, имеем Р— Риз — Рза -- 4 УРавнений веомей, не содеРжаЩик идеаяизированнык источников: сиа из=/!а/за иа=/ ив==Аз/аа й/ 1 1", иа иа (О)+ ) зад! о и результате получаем систему из /О линейно независимых уравнений для определения 1О неизвестных токов и напряженой: зз, /з. из !з иа за иа иы /а, иа. Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемомудифференциальным уравнением цепи. В частном случае это может быть алгебраическое уравнение, которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение нулевого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
