Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Например, электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 1.21, б, можно рассматривать как параллельное соединение четырех ветвей: (е, г(„Е,), Ие), ((-т) н (йз С) Место соединения ветвей называется у з л о и, причем место соединения двух ветвей называют у с т р а н и м ы и у з л о м (при соединении двух ветвей текущие через них токи имеют одинаковые значения, поэтому две такие ветви могут быть заменены одной). Иногда, в частности при автоматизированном составлении уравнений, описывающих процессы в электрических цепях, бывает удобно рассматривать каждый из идеализированных двухпалюсных элементов, входящих в моделирующую цепь, в качестве отдель-, ной ветви, при этом необходимо принимать во внимание все узлы, в том числе и устранимые.
Будем называть такое топологическое описание цепи расширенн ы м (см. Рис. 1.21, а). (н) (т) ()Ри сокращенном ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ОПИСанИИ я (я-() цепи (см. Рис. !.21, б) ~ ~ .- яз группы последовательно ВКЛЮЧЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рае- 1 Яит ЯМ (и+() сматриваются в качестве I отдельных ветвей и устра а) (г) нимые узлы во внимание не пРинимаются; таким рис, 1.23 Соединение сопротивлений 1т'-уголь. образом, количество ветвей ником (о) и м-лгзевой звездой (Л) 2" 35 и, следовательно, количество рассматриваемых токов уменьшается (в нашем случае с 7 до 4).
Ветви электрической цепи нумеруют арабскими цифрами, начиная с единицы. Номера ветвей удобно выбирать совпадающими с номерами соответствующих токов, в этом случае номера ветвей на схеме мож. но не указывать. Узлы электрической цепи нумеруют, начиная с ну. ля. Порядок нумерации узлов значения не имеет, однако номер «О» удобно присваивать заземленному узлу или узлу, к которому сходит. ся наибольшее число ветвей. Номера узлов условимся обозначать арабскими цифрами в круглых скобках, проставленными около соответствующего узла.
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи, называется к о н т у р о м. Например, в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.21, б можно выделить шесть контуров, образованных ветвями (1,2), (2,3), (3,4), (1,4), (2,4) н (1,3). Неразветвленная цепь (см. рис. 1.20, а) содержит только один контур, Контур характеризуют н а п р а в л е н и е м о б х о д а (порядком перечисленных ветвей), причем каждая ветвь и каждый узел, входящие в нонтур, проходятся только один раз.
Направление обхода контура выбирают произвольно и указывают изогнутой стрелкой (см. рис, 1.21, б). В отличие от электрических элементов моделирующих цепей ветви, узлы и контуры называются топологнческими элемент а м и. Степень сложности исследования процессов в электрических цепях во многом определяется числом топологических элементов. В зависимости от их числа различают простейшие и сложные цепи. К п р ос т е й ш и и ц е п я м относятся одноконтурная (например, см, рис. 1.20, а) и двухузловая (например, см. рис.
!.20, б) цепи, к с л о жн ы м — цепи с числом узлов более двух и числом контуров более одного. Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологнческнх. Компонентные уравнения (уравнения вета е й) устанавливают связь между током и напряжением каждой ветви.
Количество таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от входящих в ее состав идеализированных двухполюсных элементов. При расширенном топо- логическом описании число ветвей и, следовательно, количество компонентных уравнений равны числу идеализированных двухполюсных элементов, а компонентные уравнения имеют наиболее простой вид— они вырождаются в рассмотренные ранее уравнения, связывакхцие между собой ток и напряжение на зажимах идеализированных активных и пассивных элементов. Таким образом, уравнения, составленные на основании закона Ома (1.9), (1.10), представляют собой компонентные уравнения для ветви, содержащей один идеализированный пассив- ный элемент — сопротивление.
При сокращенном топологнческом описании количество компонентных уравнений уменьшается в соответствии с уменьшением числа ветвей, ио сами уравнения имеют более сложный вид Топологические уравнения отражают свойства цеди, которые определяются только ее топологией и не зависят от того, какие электрические элементы входят в состав ветвей. К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа. (1.37) Первый закон Кнрхгофа устакавлквает связь между токами ветвей в каждом нз узлов ценя: алгебраическая сумма мгновенных значеннй токов всех ветвей, нодключенных к каждому нз узлов моделкруюгцей цени, в любой момент времени равна кулю, В соответствии с первым законом Кирхгофа для каждого нз узлов идеализированной цепи (как при расширенном, так и при сокращен- ном топологическом описании) может быть составлено у р а в н е н и е б а л а н с а т о к о в в узле ~я~~ гх =О, где 11 — номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.
Суммирование токов производится с учетом выбранных положительных направлений: всем токам, одинаково ориентированным относительно узла, приписывается одинаковый знак. Условимся токи, направленные от узла, брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,— со знаком минус. Такой выбор не носит принципиального характера, а сделан только для удобства последующего изложения, поскольку изменение знаков, приписанных токам, соответствовало бы умножению правой и левой частей (1.37) на — 1.
Токи ветвей, в которых содержатся управляемые или неуправляемые источники тока и напряжения, учитываются в уравнении (1.37) наравне с токами других ветвей. ° ФФФФ Пркмер 1.1. Саслювим уровяения баланса токов для всех узлов Чеки, схема которой изображена на рис. 1.24, а: узел (1) — 1, — 1з -1- ге+ ге — — О; узел (2).— гз (е + !з гг = О; (1,38) узел (3): — 1з Ч (в+ Ю О: узел (0): (г -т- (з — (в О. Если сгруппировать токи, направленные к узлу и перенести их в правую часть уравнения (1.37), а в левой части оставить токи, напРавленные от узла, то первый закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: сумма мгновенныхзначений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме токов, выпмкаюи(их из эпюго узла. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда (уравнения непрерывности) и отражает тот факт, что в узлах идеализированной электрической цепи заряды не накапливаются и не расходуются.
37 На основании первого закона Кирхгофа можно составить уравнение баланса токов и для так называемого о б о б щ е н н о г о у з л а, который представляет собой часть моделирующей цепи, охваченную произвольной замкнутой поверхностью. В этом случае в уравнении (!.37) алгебраически суммируются токи всех ветвей, входящих в гО (а) б) Рис. 1. 24. Примеры схем электрических цепей обобщенный узел, т. е. токи всех ветвей, пересекаемых указанной замкнутой поверхностью. Так, для обобщенного узла, выделенного пунктирной линией на рис. 1.24, а, уравнение баланса токов — г,— г,+г,=О. (1.39) Нетрудно убедиться, что уравнение (!.39) вытекает из уравнений (1.38). Второй закон Кнрхгобгя устанавливает связь между изпряжениямн ветвей, входящих в произвольный контур: злгебрзическвя сумма мгновенных значений ияиряженнй всех ветвей, входящих в любой контур модеянрующей цепи, в кзждый момент времени равна нулю.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура можно составить уравнения баланса напряжений ветвей ~ ми=О, (1.40) где й — номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур. Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений н выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура, то оно входит в (1.40) со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Изменение направления обхода контура, очевидно, соответствует умножению левой и правой частей (1.40) на — 1. ° ФФФФ Пример 1.2. Составим уравнения балинта напряягений ветвей для всех контуров цепи, схема которой приведена на рис.
1.24, б (номера напряткений ветвей пипадают с номерами соответствующих пижон): контур 1: и — ит —— - О; контур 2: и.,'+ ит — —. О; 11.41) контурз; и,' и,, О, уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить не только дл о для напряжений ветвей, но и для напряжений элементов, входящих в вет ветви каждого контура.
Представляя напряжение каждой ветви в виде суммы напряжений элементов этой ветви и принимая во внимание, „о положительное направление напряжения источника э. д. с. про,ивоположно направлению э. д. с., систему уравнений (1.40) можно преобРазовать к следУющемУ видУ: ч~з~и; = ~ ер е 4 Здесь и, — напряжения каждого из элементов рассматриваемого контура, за исключением напряжений источников э. д.
с.; в1 — э. д. с. источников напряжения, действующих в контуре. Используя (1.42), можно несколько видоизменить формулировку второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на элементах любого контура моделирующей цепи в каждый момент врелеени равна алгебраической сумме мгновенных значений з. д. с. источников напряжения, действующих в этом контуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
