Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Как видно нз приведенных примеров, прямое н обратное К-преобразовання прн практических расчетах электрнческнх цепей можно пронзводнть непосредственно с использованием определения комплексной амплитуды (2.29) без применения выражений (2.32) н (2.33). Операции над комплекснымн нзображеннямн гармонических функций Найдем операции над комплексными амплитудами, соответствующие линейным операциям (см.
о 2.1) над гармоническими функциями времени. пУсть необходимо Умножить гаРмоинческУю фУнкцию а (г) = Ат х Хсоэ(гас+ ф)на постоянное число и. Найдем комплексную амплитуду функции иа (Г). В соответствии с определением К-преобраэоваиия (2.32) К-изображение функции аа (Г) т т 2 Г 2 Г К [аа (Г)]= — ) е гисаа(С) бг=сс — ~е Унга(Г)с)о=ал,„, о о Таким образом, умнозсгние оригинала иа нроизоолоног число а соотоетстзует Умножению изобрансениа иа зто тс число: аа (с) =,' аА,„.
(2.35) Найдем комплексное изображение суммы гармоннческнх функций време- НН аз(Г), аз (С)..., ам(Г) С КОМПЛЕКСНЫМИ аМПЛНтудаМН А З = К [а, (Ф)[, Атэ= = К [аз (С)! ..., А„,н —— К [ан (()!. В соответствии с (2 32) получаем Т р К [аз (С)+ а, (С)+... + ам (Г)] =- — 3 е и [а, (Г)+а, (()+...
+от (г)] дт= т д' о Т Т р 2 Р = — '[ е рт а,(Г) й(+ — [ е рв аа(() й(+...+ о е Т 2 Г + — ) е (и~он(() де=А„„+А -[-...-[-А Тд е Итак, суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комлхекснмх амлхитуд: а (()+аз (Г)+... +ам (С) =' Ааы+А,„э+...-+А м. (2.36) Из выражений (2.35) н (2.36) следует, что линейкой комбинации гармоннческнх функций времени соответствует лннейная комбинация нх комплексных амплитуд: и Ф ~', ив ад(т) —,— ' 1 ~ ~аз А„,э. э ! э ! Здесь ав — постоянные коэффициенты; Ф вЂ” произвольное целое число.
Найдем комплексное нзображенне производной гармоннческой функцнн вре- меня а (С): К~ — 1= — ~е )и~~ — а(т)~М. о Интегрируя (2.37) по частям, получаем Т К~ — а (Г)~= — [е )и~ а (!)! ' — е )не а(г) йц дг Т Т Учитывая, что каждый нз сомножителей произведения е '" а (1) является перноднческой функцией времени с периодом Т = 2я!ы и, следовательно,раэвость значений этого произведения, взятых через вернод, равна нулю [е)не а (м)] =ейвта(т) — е(и~ а(О)=О, 2Т а также, что велнчнна -[ е рве а (Г) дт представляет собой комплексную амн- ТО лнтуду Ат гармоннческой фуикцнн а ((), получаем окончательно Г д К (( — а(!)~=]ыА,„.
'( де Таким образом, дифференцированию еармонических функций времени соответслмует умноатйие их комплексных амплитуд на [ы): — а (с) =,' !ыАт. (2. 38) д( Определим комплексное изображение интеграла от гармонической функции времени а (() г г г ~~ ""1--)' "'~~'""1" т~ Ф Интегрируя по частям, получаем г ~г Т к[ ) ма)- — (' — ),(ц ~ —,-ь',на T — /та /ит /ы — ы о Следовательно, интегрированию гармонических функций времени соответствует деленне комплексных амплитуд на /ы; ! а(г) ба=,' — Аю, ю' (2.39) Итак, линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования замеанются операциями умножения и деления. Эти свойства комплексных иэображений гармонических функций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, так как позволяют заменять систему интегро-дифференциальных уравненяй электрического равновесия цепи, составленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных изображений соответствующих токов и напряжений.
Наряду с комплексной амплитудой А в качестве изображения гармонической функции а (/) в комплексной плоскости широко исполь зуют другую комплексную величину — комплексное действующе~ значение А. По определению, комплексное действующ е е з н а ч е н и е гармонической функции а(/) = )/2А соз (ю/+ тр) представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению А гармонической функции, а аргумент — ее начальной фазе ф: А = Ае(Ф, (2.40) Используя выражения (2.11) и (2.29), можно установить связь между комплексной амплитудой А гармонической функции а(/) и ее комплексным действующим значением Л: А =А /)г2.
(2.41) На комплексной плоскости А изображается в виде вектора, совпадающего по направлению с вектором А . Длина вектора А в )~ 2 раз меньше длины вектора Л Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармоническими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармонических функций.
Величины ! = / /$ 2 и (/ = О /к'2 обычно называют к ом плексными током и напряжением цепи. 79 Комплексные сопротнвленне и проводимость участка цепи а) 01 6 (2.44) илн алгебраической 7. = ° +1 (2.45) формах. Величины г = (Я( и ~Г называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины г и х — его вещественной (резястивной) н мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цен н г называется также п о л н ы и в х о д н ы м с о п р о т и в л е н не м).
Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений н токов в показательной форме, находим из (2.42) н (2 43) !Ф,. — — (2. 46) 1„, е1ч' 80 Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, нмекяцнй два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рнс.
2.7, а). Ток 1 и напряжение и на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени: 1 = )г21 соз (со( + ф;), и = м' 2с1 соз (сог+ ф„). По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) Я пассивного участка цепи назы- 1м 1 вается отношение комплексной 4 амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплекс- и~ ()~ х () Е ной амплитуде тока: Я = () 11 . (2.42) Выражая комплексные ам- плитуды напряжения н тока Рнс. н.т, Идеалнзнэозанный дпухполос через соответствующие комннк (а) н его комплексные схемы замещения (б, в) плексные действующие значения и„— 1'2(); 1„=-)"21, устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока: 2 = ()11.
(2.43) Комплексное входное сопротивление пасснвного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной Я = гете Сравнивая (2А4) и (2.46), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления г равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и така на зажимах рассматриваемого участка цепи: У У г Яе г дают па фазе). Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплекс- ной плоскости, длина которого в опю д/ ределенном масштабе равна г, а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен ~р (рис.
2.8, а). Вещественная г н мнимая х составляющие входного сопротивления Л представляют собой проекции вектора Я на вещественную и мнимую оси соответственно: г == Йе (Л == г соз ~р, х = ! ш И = г з1п ~р. Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью участка цепи Рнс. 2,8.
Изображение Е и У на комплексной плоскости )г =- 1/Я. (2.49) Комплексная входная проводимость (комплексная проводимость) может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи: У =/./(/„=7/и. (2.50) Представляя комплексную проводимость 1г в показательной фор- ме Г= 1Я= е — /н /з= де/о, (2.51) находим, что модуль комплексной входной проводимости у =- ~У~, называемый полной входной проводимостью цейи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления: у= 1/з= / /(/„= 7/(/, а аргумент входной проводимости д равен по абсолютному значеиию и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления д = — Ч~ г = У // = (///, (2.47) а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока: т=ф — ф.
(2А8) В зависимости от фазовых соотношений между напряжением и током величина ч может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстает по фазе от тока) или равна нулю (ток и напряжение совпа- 8! Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме У = л + !Ь. Здесь д и Ь вЂ” вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора У на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости (рис, 2,8,б): п=усозб, Ь=уз(пб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
