Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Мгновенная мощность сопротивления определяется произведением мгновенных значений напряжения ин и тока )ис рн = ив(а = 2Ун1и соз' (ы1+ ~Р). Выражая соз'(Ы+~р) через косинус двойного угла, получаем выражение для мгновенной мощности сопротивления р„=- и„1„- (1„1„со. 2 ( 1+ ). (2.64) Из выражения (2.64) следует, что мгновенная мощность сопротивления содержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с частотой воздействующего напряжения (рис.
2.9, в). Максимальное значение мгновенной мощности сопротивления равно 20н!а, а минимальное — нулю. В связи с тем что ток и напряжение сопротивления имеют одинаковые начальные фазы, они одновременно достигают максимальных значений и одновременно проходят через нуль (рис. 2.9, а, б). Мгновенная мощность сопротивления всегда положительна, причем она обращается в нуль в точках, где ток и напряжение ровны нулю, и достигает максимума в моменты времени, когда ток и напряжение максимальны по абсолютному значению. Среднее значение мощности сопротивления за период называется а к т и в н о й мощностью и равно произведению действующих значений напряжения и тока: г т Ул1л с Рл=р в = — ~ рлй1 = — ~ () +соз2(оэ1+ф))й1=(1л1л.
о о Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления сопротивлением энергии от источника. Комплексные ток и напряжение сопротивления !н = 1ае)Ф~ = = Н Есин И С)П = УаЕ1~ ИМЕЮТ ОДИНаКОВЫЕ аРГУМЕНтЫ И ОтЛИЧаЮтил,в ся по модулю в Я раз. На комплексной плоскости ()н и 1и изображаются векторами, которые совпадают по направлению и отличаются только масштабом (рис. 2.10, а). Комплекоюе сопротивление Я„идеализиро- 1 и ванного резистивного элемента — сопротивления равно отношению комплексных действующих значений напряжения и тока: ')г 1е и Яя = Уи11н =- й (265) Представляя комплексное сопротивление 4~ в показательной и алгебраической формах Рис. 2.11. КомплексЯя — — ал ежи =- гн+1хя (2.66) ная схема замещения участка цепи, содери сравнивая (2.65) с (2.66), устанавливаем, что нсащего сопротиалемодуль комплексного сопротивления равен нне ги — — УнИ„-- )с, его аРгУмент Ри = зРа — ф; = = 0 и что комплексное входное сопротивление Я„ идеализированного резнстивного элемента сопротивления содержит только вещественную составляющую: гн =- (с, х„= О.
На комплексной плоскости Х„изображается вектором, направленным вдоль вещественной оси (рис. 2.10, б). Комплексная проводимость сопротивления г'и — — 112п = 111с также изображается вектором, направление которого совпадает с направлением положительной вещественной полуоси (рнс. 2.10, е). Комплексная схема замещения сопротивления (рис. 2.11) имеет такой же внд, как и эквивалентная схема для мгновенных значений (см.
рис. 1.2), и отличается от нестолько тем, что мгновенные значения тока 1„и напряжения и„заменены их комплексными изображениями 1ии У„. Емкость Рассмотрим емкость (см. рис. 1.5), к которой приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону: ие = $' 2У, соз (оз1 + зр„). Используя выражение (1.!3), найдем ""с 1с= С вЂ” =- — озС3~ 2 Усз1п(М+ф„)= т = р' 2 озСУс сон (ез1+ зР„+ л12). (2.67) Как видно из (2.67), ток емкости изменяется по гармоническому закону 1с =-- )1 21с соз (М + зР;), причем начальная фаза тока на л12 больше начальной фазы напряжения: зрз = ф„+ лl2, т.
е. ток емкости опережает по фазе напряжение на 90' (рис. 2.12, а). Действующее значение тока емкости пропорционально действующему значению напряжения: 1с = озСУо. 87 А!гиовеииая мощность емкости рс при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей частоты воздействующего напряжения (рис.
2.12, б): рс -- ис( — — [ ' 2Ус соз (со( + ~р„)1 [)121с соз (со( 1 $ + п!2)1 = =.. — 2Ус1с соз (~1+тР„) з)п (ьМ+тР„)=- — (1~1~ з(п 2 (ьт(+ Р,). (2 68) Как видно из времеиийх диаграмм, в течение половины периода изменения мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (емкость заряжается), при этом мгновенная мощность емкости положительна. В течение второй половины периода емкость отдает запасенную энергию (разряжается), при этом ток и напряжение емкости имеют различные знаки, а мгновенная мощность емкости отрица- тельна. Среднее значение мои(- и„тс ~ ности емкости за период (ак- тинная мощность) равно нулю: -уй г ьс гк 1 тт1г и тт,ттстт све а) рл= — т[ р~ с(1 = О.
(2 60) л7г а Энергия щс, запасенная в а) емкости, определяется в соот- ветствии с выражением (1.18), приложенным к ией напряжениемм: ии =Си,'../2 = С(1ссоз (от(+тря) =- С(1с [! + соз 2 (от(+ ф „))12, (2. 70) Из выражения (2.70) видна, '"/8 в н18 вт з'Ф Рм со+ что энергия емкости содержит ф две составляющие: переменную Рис. 2.!2 Временнйе диаграммы игоря- и постоянную, причем переменження, тока (о), мощности (В) и энер- иая составляющая энергии изгии (в) емкости меняется во времени по гармо- ническому закону с частотой, равной 2от (рис.
2.12, в). Энергия емкости достигает максимального значения в те моменты времени, когда напряжение на емкости максимально по абсолютному значению; при уменыпеиии (по абсолютному значению) напряжения иа емкости запасенная в ией эиергия уменьшается и становится равной нулю в моменты времени, когда напряжение иа емкости равио нулю. Таким образам, емкость периодически обменивается энергией с остальной частью цепи, причем энергия, запасенная в емкости, является неотрицательной величиной.
Емкость ие содержит впутреииих источииков энергии и поэтому в процессе разрядки ие может отдать больше энергии, чем оиа получила от остальиой части цепи в процессе зарядки. 88 я; ае ечя де а) ю ю Рнс.. 2.(3. Векторные диаграммы тока н напряжения (а), комплексного сопротнвлення (б), а также комплексной проводимости (в) емкости В связи с тем что ток емкости (п опережает напряжение емкости ~о по фазе на угол тт/2, комплексные ток и напряжение емкости 1 = 1пе/о' = гоС(/ое/(~ +"~"; (/с =- (/се/е изображаются на комплексюй плоскости в виде двух векторов, расположенных таким образом, хто вектор /с повернут относительно вектора (/о на угол п/2 против асовой стрелки (рис.
2.13, а). Комплексные со~вотивление и проводимость емкости /с Рнс. 23 4. Комплексная схема аамешення емкости Индуктивность Найдем напряжение иь на нндуктивности (см. рис. 1.7), ток /в которой изменяется по гармоническому закону: !ь = ~/21в соз (Ы + тр,). (2.73) Связь между мгновенными значениями тока и напряжения индукгивности определяется выражением (1.22). Подставляя (2.73) в (1.22), юлу чаем си иг.=/. — = — го/.)l 2 1„з(п(го/+ф) = о( =)г'2 го/./ссоз(го(+ар,.+и/2), (2.74) 89 ()с 1 = — = — е — г'г/' =- 1/(/отС) = — 1/(гоС) (2.71) 1 щс и, ~, = /У//огг) 'гс = 1/Яс= гоСе/пг' = /гоС, (2 72) Сравнивая (2.71) и (2.72) с показательной и :лгебраической формами записи комплексных /ос опротнвления и проводимости Е~ = кое /о = го + /х; 'г'о = Усе с= — до + /Ь, находим :одули, аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных опротивления и проводимости емкости: ао = 1/(гоС); ус =- охС; вг = — тт/2; ()с — — л, 2; ус —— гс = О; хс =- — 1/ (охС); Ьс = отС.
На комплексной плоскости Л и У„изображают векторами, направ;енными соответственно вдоль отрипательной и положительной мнняых полуосей (рис. 2.13, б, а). Комплексная схема замещения емкости [риведена на рис, 2.14. Как видно из (2.74), напряжение индуктивности, находящейся под гармоническим воздействием, является гармонической функцией времени, имеющей ту же частоту, что и воздействующий ток (рис. 2.15, а): иь = 1/2Уь соз (М + ф„), причем начальная фаза напряжения на п!2 боление начальной фазы тока тр„=- фе + п)2. Действующее значение напряжения на индуктивности пропорцио- нально действующему значению тока (/с = гпт.гв. Так же, как и мгновенная мощность емкости.
мгновенная мощность индуктивности Р„при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, г( равной 2го (рис. 2.15, б): Рс = ивА = Ф = Ц/2Уь соз (го( + ф„)1 х Х()/2/с соз (отой + чр,)1 =- =- — (/г./г, яп 2 (от1+ трг). (2.75) В связи с тем что в индуктивности отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, активная мощность индуктивности равна нулю: Рл т = у~Рой(= О Энергия го„, запасенная в магнитном поле индуктивности, определяется мгновенным значением тока индуктивности: -эт/с 0 Е/Л рт ЗфГ ля соб ()) Рнс, 2,(З.
Временные диаграммы тока и напряжения (о), комплексного сопротивления (В), а также номплсксноя проводимости (в) индуктивности )Р н~с = — = — '11+ сон 2(М+тр,)1. 9 9 Так же, как и мгновенная энергия емкости, мгновенная энергия индуктивности содержит постоянную и переменную составляющие, причем переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой 2со (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
