Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Таким образом, зазор с той илн иной степенью точности может рассматриваться как плоский конденсатор, а примыкающий к нему объем играет роль индуктивности. Существенно, что для основного колебания все размеры резонаторов (рис. 255) оказываются значительно меньше длины волны. Ниже излагаются простые соображения, приводящие к приближенным расчетным формулам для их собственных частот, часто используемым на практике. Т о р о и д а л ь н ы й р е з о н а т о р. Полагая, что электрическое поле резонатора (рис.
255, а) существует лишь в зазоре и однородно, а магнитное сосредоточено в тороидальной области, будем исходить из формулы для квазистационарной системы =;Ж-. (9. 45) — емкость зазора (Я вЂ” его площадь, а б — ширина) и :й=ФН (9. 47) — индуктивность тороида (Ф вЂ” проходящий через его поперечное сечение магнитный поток, 7 — охватываемый им ток в стенках). Учитывая, что магнитные силовые линии имеют вид концентрических окружностей, напряженность магнитного поля на расстоявии г от оси системы вычисляем по формуле: так что магнитный поток Ф находится как интеграл Ф=Р ~ Н (З= —,"'„~ — ", (9.48) Бь где 5 ь — площадь поперечного сечения тороида (половина меридиольного сечения). Таким образом, основная собственная частота резонатора равна В случае прямоугольного тороида (рис.
256) и, следовательно, 2о ыо е!ю!пс1 ! и— А', (9.50) Примеры и упражнения магнитное поле бесконечного со- и=! и, следовательно, (9. 52) ! 1 1 ! ! ! (9. 53) (9.54) рн см !7а, см о, см и', см 2 2 2,5 2,5 1 1 О,! 0,2 5 6 2 0,2 1 1,2 1 о,! .~~с а) Рис. 258 с учетом й е!асса (9.60) (9. 56) Выражая емкость как С=— е~И~ (9.57) 326 327 Магнетронный резонатор. Совершенно так же вычисляется основная собственная частота ячейки магнетронного резонатора (рис. 257).
Емкость ее равна с ЬИ (9.51) а при расчете индуктивности принимается, что в цилиндре близко к полю леноида (4,38б) Собственная частота ячейки: ле Рис 257 о'о =РУ.~" Коаксна льный резонатор с зазором. В соответствии с эквивалентной схемой (рис. 258,б) запишем условие резонанса (аа ~10 ао1 )ао С 1 (9.55) !'оа рассматриваемой системы (рис. 258, а). Фигурирующее в левой части сопротивление короткозамкнутого участка линии формулы (8.136) принимает вид !Ра 2.=1 —,„)п —,' (а М. 1 получаем следующее трансцендентное уравнение для собственной частоты: й,!и —— !7а с1йы.)'ер1 =ы.1: е)ю (9. 58) решения которого легко находятся графически.
При условии 1< Х из (9.58) вытекает формула (9.50). 1. Получить выражение основной собственной частоты тороп дального резонатора круглого сечения (рис. 259). ус " (х, )2„+у'р, ()с, с 2)сг)) . (9.59) 2. Вычислить собственную частоту прямоугольного тороидального резонатора с размерами: 3. Выбрать раею!еры магнетронных ячеек для следующих длин волн: Хо=1 см: 3,5 см; 5 см; 10 ем; 25 см.
4. Критическую частоту П-образно!о или Н-образного волновода (9 65) можно рассматривать как основную собственную ча- е стоту соответствующего квазистацнонарного Рис. 259 резонатора, представляющего собой как бы «сдвоенную магнетроиную ячейкую. Показать, что это приводит к формуле справедливой при достаточно малом Й. Взяв численные примеры, сравнить критические частоты прямоугольного и П-образного волноводов. 5. Путем графического решения трансцендентного уравнения (9.58) найти первые три собственные частоты коаксиального резонатора с зазором при следующих размерах; 1= 5 см; )7т =0,5 см; )7,=1,5 см; т)= О,! см.
й 72. Потери энергии объемного резонатора Подобно тому, как это происходит в направляющих системах, токи пповодимости в металлических элементах и диэлектрической среде объемного резонатора вызывают потери энергии. Кроме того, в реальных приборах энергия резонатора частично извлекается во внешнюю полезную нагрузку. Этой цели служат описанные в 6 66 элементы связи (отверстия, петли, штырьки), создающие излучение во внешнее пространство.
Аналогичные элементы, применяемые для возбуждения поля самого резонатора, также вызывают дополнительное излучение. Соответственно сказанному различают три вида потерь, и мощность потерь Р" делят на следующие части: О = 2 ~ Р О;. Л' = —,' ~ вЕ,'„Л йо УО и потерями Р„, и характеризовать добротносгпыо юО1рО При этом, как следует из (9.61), справедлива запись 1 ! 1 ! — = — + — + —, а., е.
е, ' (9.62) (9. 63) (9. 64) где Р" = Риэ+ рд ! Ре (9. 61) где индекс пр соответствует проводнику, д — диэлектрику и л.— действию элементов связи. Идеальный электромагнитный резонатор, испытывающий свободные колебания, является изолированной системой (Я !3, 35). Реальный резонатор в режиме вдтнужденна!х колебаний — связанный с питающим генератором и нагрузкой — также удобно рассматривать как систему изолированную, обладающую запасом энергии (у 35) потери малы, так что распределение поля близко к идеальному . ! Поэтому запас энергии в формулах (9.65) вычисляют, исходя из распределения поля в отсутствие потерь, и величины Я„п, и Це находятся независимо друг от друга.
Свободные колебания резонатора при наличии потерь явля- ются, как известно, затухаю!чижи. Собственная частота ю„ (в рамках используемого нами метода комплексных амплитуд) оказывается при этом величиной комплексной. Это можно, напри- мер, показать следующим образом. Выражая в формуле (9.63) среднюю мощность потерь Р" как скорость убывания запаса энер- гии собственных колебаний и Р"=. — —, б! приходим к дифференциальному уравнению (9.67) Вго решение — — т НО ) о ("О!т=ое (9.68) и следовало ожидать, свидетельствует об экспоненциально характере убывания запаса энергии.
Напряженности поля, с которыми энергия связана квадратичной зависимостью, имеют коэффициент затухания вдвое меньший: (9.69) 2Я ' ООО В=В еумО'.е НО Н =Н е!"О' е зы Записывая комплексы поли (9.70) Величина, определяемая равенством видим, что временную зависилтость нетрудно представить в форме, свойственной резонатору без потерь, положив е!нчт . е ест = едиот. (9.71) 1 тою= ща(1+1 2гт у ОЭатро мотка Оса = 'чх Ооз 1Е (9. 72) (9.65) ~ир — частичные добротности.
Вообще говоря, потери поля резонатора, находятся 328 всех видов, изменяя распределение во взаимной связи. Обычно, однако, з Сделаем оговорку, касающуюся вырожденных колебаний. Если действие потерь иа поля разных типов различно, то вырождение «снимается»: собственные частоты перестают совпадать. Поле резонатора может при этом существенно отличаться от идеального (в отсутствие потерь).
Вычисляя поверхностный интеграл в числителе (9.75а), получаем: а 6 ~ Н,'„Ю= 2 ~ ~ (Н,',в+ Н,*„„)в~о!)хну+ я о о 6 Ь Ь а + 2 ~ ~ Нуло1х=от(Удг+2 ~ ~ Нщв(у=о 21221х о о о о и далее с учетом (9.24): а 6 з о о + — соз — 5!и — ' дх в!у+ 1 ях . 2яя~ а' а Ь .I Е ~ —,51п''У о(у Е ~ —,51п' — "д~ ) = о о Полученные результаты приводят исходную формулу (9.75а) к виду: 1 р аЬЕ(ав+Ь) аР а аораЬ(ао+Ьв)-1-2!.(ав+Ьв) ' (9.78) В частном случае кубического объема (а=(1= Е) л 'кар (9.79) Легко показать, что с уменьшением размера Е (не влаяюи(его иа собственную частоту идеального резонатора), добротность быстро падает. Действительно, при Е « а и Е « Ь (9.78) переходит в соотношение: — это сокращает число подынтегральиых членов, Подставляя сюда (9.27) при и=1, имеем: и 2ат. '! Н' т1'р'= Н',— ',' ~„1) ~ [ ',~~5!и'а+ оо ооо Аа , о!оон М.
! 12'д (х) +/'!'(Хт)сезон~ 51п'Х,г тт)то)ат)г=Нв —, — ~ [ —,, + о 12 +12()1 1 Но о т(12 (см. Прилоокение 3, формула (П3.28)). Переходя к поверхностному интегралу Н 2а ! ~ Нв т(5 = 2 ~ ~ (Н,'а, + Нова)в — отт)тт)а + я о о + ~ ~ (Н *+Н ) пйо)ат)г, о о получаем: и 2а о (' Н (с 2Н (~=) ~ ~ [7!2 (Хт) созе а+ ' .
5(п а1Мто(ач я о о 2а Ь +Но ~ ~ [г1(А„)соз'аз(поХ,г+ о о 2 уо! (А,) 5(по асоР Хвг~ тст(Ыг = АВ2 о о 2 ! и, следовательно, (9.80) (9.81) 333 332 Поле Н„цилиндрического резонатора. Стремясь к упрощейию, будем вычислять объемный интеграл через электрический вектор: и 2аЬ ~ Но тЛ/= — ~ Е' 61(т = — ~ ~ ~ (Е',+ Е,'„„) тв1то(ат(г в ко о о о 2 в „Но [ х, ( 1, 1) + ьтт т 1+ х. )1 у. (А ) На основании найденных результатов записываем: Ь ( — ") (А! ! — !) ""'2С х) (А$' — '+ Гх' 1* ЪЧ Нримеры и упражнение 1. Л.
И. Мандельштам [13) показал (см. также 1141), что круглое отверстие в оболочке полого резонатора, диаметр которого мал в сравнении с длиной волны, будучи расположено в пучности электрического поля (рис. 260, а), излучает как электрический диполь Герца с моментом р = — еКЕ", (9. 85) а в пучности магнитного поля (рис. 260,б) — как магнитный диполь с моментом т = — )оНоаН" (9. 86) Здесь Яо — радиус отверстия, а Е' и Н' — амплитуды поля на оболочке резонатора до прорезания отверстия.
а) Рис. 260 к!и— !72 2 О !71 'Сээ = О 2!11=,.к ( —.: —, 771 (,471 ' 771 ) Сравнить ее с (9.84) и обьяснить различие. 3. Получить выражение добротности Я магнетронной ячейки (рис. 257) и резонатора в виде двух йараллельных пластин (рис.
261) для полей основного типа ! Р а) !е„э,= —, — Й. ДО,эиа э ° ' а ! Р Ы. 2( !9,91) лом отверстии: а) в пучности электрического поля и б) в пучности магнитного поля. Вычислить внешнюю добротность в пределах изменениЯ величины Но1а от 10 е до 7 !О ' и постРоить график найденной зависимости. Вычислить собственную добротность резонатора (материал— медь, заполнение воздушное) и построить график зависимости нагруженной добротности от Я41а. 2) Решить такую же задачу для колебаний Н„„Ном и Еп, цилиндрического резонатора, взяв вместо Н !а и величину Яо12Нп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
