Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 45
Текст из файла (страница 45)
= Н ах (9.20) Е „= .(р=1, 2, 3, ...) Конкретизируя я 9.11), имеем: для рассматриваемого случая формулы (9.!0) (9.2!) прямоугольного волновода и удовлетворяя граничным условиям при г= 0 и г= Е; прн этом получаем: Е-поле и а «Р дао Рис, 247 Рис. 246 ~«==1! (, ) +(ь) (9.23! Е =Е 5!и — 5(ив их . яу ш«о и (9. 24) Рис, 248 Рис. 249 З!8 3!9 Любая комбинация чисел т, и и р, из которых ни одно ис равно нулю, определяет одновременно собственную частоту Н„„г и Е „полей резонатора. Эти колебания, таким образом, вырождены не менее, чем двукратно. Вообще же один из индейсов «и или и при поле Н и р»» Е может быть равен нулю. Следует подчеркнуть. что выбор «продольной» оси г для прямоугольного резонатора в отличие от волновода произволен.
Поэтому, употребляя то или иное обозна чение поля, нельзя забывать, о какой именно системе координат идет речь. Так, в кубическом резонаторе могут существовать три идентичных по строению, но различно ориентированных поля. Если Ь вЂ” самое короткое ребро резонатора, то его наименьшая собственная частота определяется формулой Соответствующее этой частоте основное поле резонатора (рис.
246) в принятой ранее системе координат получает обозначение Е„ , а его компоненты имеют вид: я ! . их иу Н = !'Š— — 5(п — соз —, «Ь «Р и Ь и ! их . иу Н = — /Š— — соз — 5! и— '«о оам!«а Ь Легко сообразить, что при изменении ориентации системы координат это же поле может быть названо Ннв или Н„,. В кубическом резонаторе основное колебание трехкратно вырождено. Представление о некоторых высших типах поля прямоугольного резонатора дает рис. 247.
Полезно провести сопоставление рис. 246, 247, с одной стороны, и рис. 203, 204, изображающих «остановленную» волну волновода, — с другой. В сравнении со случаем волновода электрическое и магнитное поля резонатора сдвинуты между собой по оси г на Х,'4, что обусловлено колебательным движением энергии. Легко убедиться,,что суперпозиция полей Е „„и Е„„, или Н „„и Н„и„, сдвинутых по фазе на 90', создает в резонаторе циклический поток энергии. Возьмем для примера основное колебание.
Составляя суперпозицию, символически обозначаемую Н»о! ~!Ноы с помощью (9.20) находим выражение средней плотности потока энергии: П= з- —,— «Н»15!и уоз( — хо««5!и х«хсоз)( 9 Р т уо)(„соз )(„и 53 и )(„у). (9. 25) Как видно, средний вектор Пойнтинга лежит в поперечной плоскости. Направление потока энергии в точках, находящихся на диагоналях поперечного сечения резонатора, показано на рис. 248. Цилиидри чески й резонатор. Используя формулы (8.104, 8.109), напишем компоненты поля, показанного на рис.
249 цилиндрического резонатора: Е-поле Еа, Е.3„(ХГ) . и созХ,г, (Ф)'=( )'+(-".)' (9. 30) т. е. в том случае, когда радиусу составляет 1. Я )Г ь! = 2,03. 51 — Л11 (9.30а) 1 !!! !'! ОП © Н,„, = Н,(„(ХГ) ~, па яп Х,г, Нп„= (9.27) Е,= ! ! ! ! ! 111 ! 1! 1(51!1ф ! ! ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! !1! 1! !! / !!!!!!!! ®П Е-поле Н-поле Рис. 2ЗО ОБ1 П15 = (9.32) 2!з ББм!ыл 321 Е „= — ЕБ — „' Г (ХГ) .БпаяпХ,г, ПХ,У (ХГ) — 51П Езий= -ЕБ — ' ХБ Г СОБ паяпХ г, 5 ПГОББ г„(ХГ) — 5!и Н =- 1'Š— —" пасов Х г БП' О ХБ Г СОБ 1 Н551 )ЕБ Х 1 (ХГ); Г'а соз Х,г (Р=0,1,2,3, ...) Н-поле Н,— * Г'„'(ХГ), пасоз Х,г, ОХ, У„(ХГ) — 5 )п НБ х5 " пасозХ,г, Г СОБ — )Н вЂ”" иари 'и (ХГ) — 5!П Х' Г соБ паяпХ г, ЕГББ=)'Но 5)Б/„'(ХГ) .
паяпХ,г 1 2 3 (Р= » 1 ) В соответствии с (9.10, 9.11) и (8.! 02, 8.108) собственные частоты и длины волн цилиндрического резонатора выражаются формулами: !ОБ 1~ ( И ) +(е) и Ло 2п/1Г О ) +(1 (9. 28) ~ Г~ 5515) + (Р11) )„2 / ф/ (~~в)~ 1 (Рп) (9,29) (зиачения А„и В„можно взять из Приложения 3 илн определить по табл. 4 и 3). В отличие от прямоугольного резонатора здесь собственные частоты колебаний Н„р и Е„не совпадают. Ориентация полей определена аксиальной симметрйей системы, и вырождение наблюдается, главным образом, в тех случаях, которые были отмечены при изучении круглого волновода.
320 ПолЯм НБм и Емп соответствУют иаииизшие собственные частоты, которые совпадают (см. 9.28 и 9.29) при условии отношение длины цилиндра к его Отсюда следует, что для 'вытянутого цилиндра (ь/Гт > 2,03) основным является колебание Псп с собственной частотой "=~ ~'(Ф)'+®' (9.31) а для плоского (Е.М (2,03) — колебание Е„„собственная частота которого равна Некоторые поля цилиндрического резонатора показаны на рис. 250. Особый интерес представляет поле Н„, которому соответствует та же собственная частота (9.33) что и полю Ем» (ибо Ао» вЂ” — В„).
Практически ценно, что поле Н„и допускает полнйй поперечный разрез резонатора (рис. 251, а) илй применение так называемого «бесконтактного поршня» (рнс. 251, е) для плавного изменения его объема, ибо образующаяся щель для В) а! Рис. 232 Рис, 231 этого поля является неизлучающей(см. стр. 296, 297). Напротив, на одновременно существующее поле Е„„такая щель оказывает разрушающее действие.
Легко проверить, что всякому полю цилиндрического резонатора с азимутальной зависимостью соо по е+' ого (волна, бегущая по азимуту) свойственен циклический поток энергии в поперечном сечении цилиндра, имеющий лишь азимутальную компоненту (рис. 252). Так, взяв в качестве примера основное колебание Н„,, запишем на основании (9.27) его продольную магнитную и радиальную электрическую компоненты; Н,= 4- Но/, (Хг) еьмэ/п Х,г, Е.«=НΠ— о ЕЬ/«З/ПХ,г.
оо Р / (Хс) Рис. 233 Как видно, они находятся в фазе и образуют азимутальный поток энергии, средняя плотность которого равна — //! «о»Р Л (Хг) П= ~ 4»о 2» — ', — 'з/п'х,г. (9.34) 322 Коак си а льный резонатор, На основании (8.132, 8,133) запишем компоненты ТВМ-поля коаксиального резонатора (рис. 253): /1Р Н«1« =/ 2 соэ — г, Ео,, = — гпп — 2. пс ь ' "'"' 2п«1.
(9.35) Положив в формулах (9.10, 9.11) х =-О, находим собственные волны и частоты: о>о== рл и /, 1 о ~ — — ' о= —. ® //римеры и упражнения 1. Проверить формулу (9.18) /о' см 1 2 2 3 5 5 !О Е.,см 0,5 1 2.2 2 50 2 5. Вычислить собственные частоты коаксиального резонатора длиной Е = 10 см. 6. Рассмотрим в качестве примера нахождение поля прямоугольного резонатора путем решения волнового уравнения. Остановимся на случае Н-поля и возьмем уравнение Спроектировав его векторы на ось г У»Н о+й'.Н.,=О, будем искать решение методом разделения переменных, положив Н, = ХУ'2, (9.37) где Х, 1' и г — функции декартовых координат х, у и г соответственно, Внося (9.37) в исходное уравнение, получаем Х" 1" Х" Х+1+2= — /Со (9.
38) Запишем это уравнение в виде двух Х 1- , г" х+ у = — х' и —,= — к*' (9. 38а) 2!о 323 для основного поля прямоуголь- Рис, 234 ного резонатора. 2. Вычислить первые пять собственных частот кубического резонатора, если ребро куба а = ! см и внутренняя среда — вакуум. 3. Резонатор предыдущей задачи заполнен: а) полистиролом, б ) дистиллированной водой и в) диэлектриком с проницаемостью е = 400зо. Повторить вычисления. 4.
Найти первые пять собственных частот пустого цилиндрического резонатора с размерами: причем (9. 39) (9.40) Х' = Х-'+ Х~ = (5 + ~ "~' 1 (9.41) (9. 42) где где з8 Бар' С= — = в' В (9,46) Н= 7)2яг, Рис, 255 ыо= 2пп ЫЯ ' епЯ ~ Бь (9. 4У) п2 н1 32З Х + Хт= Йоч Первое из уравнений (9.38а) согласно 9 62 дает ХУ = Н;соз Х„хсоз Хэп Решением второго уравнения при граничных условиях Н,=О при г=О и г=Е 1 ' как нетрудно видеть, является функция Х= Н„"з|пХ,г, (9.43) Мы пришли, таким образом, к известному результату (9.20) Н „= Н„соз Х„хсоз Хэуып Х,г. (9.44) Остальные компоненты находятся из уравнений Максвелла.
4 71. Объемные резонаторы, близкие к квазвстационарным В СВЧ-электронике применяются резонаторы, электрическое поле которых в основном сосредоточено в узком зазоре. Таковы колебательные системы клистрона (а), магнетрона (б) н триодного генератора (в), схематически изображенные на рис. 255. В зазоре осуществляется взаимодействие электромагнитных колебаний системы с электронным потоком. Время пролета электронов в зазоре (или вблизи него) должно быть по возможности малым в сравнении с периодом колебаний, с этим связано требование квазистационарности для ширины зазора 0(< Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
