Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Кроме резонаторов, построенных на основе полых волноводов, находят п именение полые системы специальной формы — особенно в СВЧР электронике. Два типа таких резонаторов изображены на рис, 241. Резонаторам может служить также диэлектрическое тело в менее плотной среде (например, воздухе), если выполнены условия полного отражения от его границы. Подобные резонаторы представляют значительный интерес в технике молекулярных генераторов. 311 В теорию и технику объемных резонаторов внесен значительный вклад советскими специалистами. Фундаментальные исследования в этой области принадлежит М. С.
Нейману. Развитие теории полых систем в более поздний период связано с именем Г. В. Кисунько. а) Рнс, 240 Рнс. 24! 9 69. Общие свойства объемного резонатора Данную главу мы начинаем анализом ограниченной направляющей системы. Пересечем двумя поперечными идеально проводящими плоскостями г =0 и г= ! произвольную направляющую систему, символически изображенную на рис. 242 в виде двух пунктирных линий (рис. 240). Легко видеть, что в образовавшемся объеме $' (рис.
242 н 240) не может существовать прежняя направляемая волна. Действительно, поперечная компонента ее электрического поля Ед = Е„,, (д„д,) екы-1*1 (9.! ) 312 не удовлетворяет на введенных плоскостях граничным условиям Ф Е„=О при г=О и г=!. Рассмотрим суперпозицию двух направляемых волн, распространяющихся в различные стороны, Записав поперечную электрическую компоненту такого поля Еа = Е ! Ы„г(с) и 1ии "*1+ -(- Е,'„! (д„д,) ек""+г'1 (9.3) попробуем подчинить ее граничным условиям (9.2). Это приводит к двум уравнениям: г Ет5 + Ет1 = 01 Рис. 242 Е и 1тъ )- Е' 1еггь = 0 (9.4) (круглые скобки (дм г!,) здесь и в дальнейшем опущены). Первая строчка (9.4) позволяет привести выражение (9.3) к виду Еи = — !'2Е,„! зй! и Гг е'"". (9.5) Переписав в тригонометрической форме вторую строчку (9.4), приходим к требованию: з)пЕЕ = О, (9.4а) из которого вытекает, что "=7 (9.
6) гдер=О, ),2,3, При 0=0, как это видно из (9,5), поперечная компонента электрического поля исчезает, и этот случай будет обсужден отдельно. Вообще же полученные результаты приводят к заключению, что в отсеченном объеме г', может существовать суперпозиция двух противоположно движущихся волн одинаковых амплитуд, но только при вполне определенной постоянной распространения, принимающей ряд значений (9.6). Фаза результирующего поля (9.5) не изменяется в пространстве.
Такое поле (ср. 2 48) называется стоячей волной направляющей системы. Из (9.6) непосредственно следует, что продольный размер отсеченного участка направляющей системы 5 должен быть кратным половине длины волны, ей свойственной: Е=р — . (9.7) Возведя обе части (9.6) в квадрат, с помощью (8.22) находим: й! =х'+х~, (9. 8) 31З где введено обозначение Х:=— (9;9) н волновому числу й присвоен индекс «Оо. Как видно, число яо' не может выбираться произвольно. Оно принимает ряд значений, каждое из которых соответствует определенному виду поперечной структуры поля (то или иное поперечное волновое число Х) н определенному числу продольных полуволн (продольное волновое число Х,).
Из сказанного ясно, что поле в объеме Уо существует лишь при вполне определенных частотах оо ! ыо =- ='= =)ГХ'+ Х!, )' «1«Г' о1« которым соответствуют длины волн (9. 10) Хо = — = 2пу')ГХ«+ Х* 2л во о (измеренные в безграничной среде с теми же параметрами з и )о, что и вещество, заполняющее Уо). Иными словами, объем обладает резонансными свойствами; это объемный резонатор, и мы нашли условия его свободных колебаний.
Величины й, ы и Х, об аз ю- (9.11) о о о Р У щие бесконечные числовые последовательности, называются соответственно собственным волновым числом, собственной круговой частотой и собственной дли- , 242 нои волны резонатора. Что касается случая р=О, то приме нительно к ТЕМ- и Н-волнам он лишен физического содержания, так как поперечная компонента Е здесь обратиться в нуль не может. Однако он приобретает очевидный смысл для Е-волн, которые лишаются компоненты Е при критических условиях.
И, действительно, индекс р обращается в нуль именно при критических условиях: при равной нулю постоянной распространения Г (9.6). Длина резонатора при этом становится неопределенной сл о Г =Х.=о (9.12) 3!4 т. е. может принимать любые значения. Это н не удивительно, ибо при критических условиях поле направляющей системы про- дольно однородно (рис. 243). Согласно (9.8), собственное волновое число резонатора при р = О равно н формулы (9.10, 9,!!) принимают вид ,= Х/У' )х, Хо = 2п!Х (9.! 3) Отметим следующее важное обстоятельство.
Ввиду того, что поле стоячей волны не изменяется в пространстве по фазе, уравнения Максвелла свидетельствуют о постоянном фазовом сдвиге во времени электрического и магнитного полей на 90'. Н = — го1 Е О)1« Я он ~я+ 2 (9.14) Это значит, что в некоторые моменты в резонаторе существует голько электрическое поле Е=Е и Н=О, н есть такие моменты, когда, наоборот, существует только поле магнитное Н=Н„, и Е=О. Условие (9.14) означает также, что в любой области резонатора в среднем передача энергии отсутствует (9.! 5) П = — Ке [Е, Н"[ = О. (9.16) Знз 7«Е 4 й,'Е,„ = 0 В резонаторах с циклическим потоком энергии (рис, 239) существует бегуи4ая волна, и равенства (9.14) и (9.!5) не соблюдаются.
Эта возможность будет рассмотрена в следующем параграфе на конкретных примерах. Обратимся теперь к случаю произвольного полого резонатора с идеально проводящей оболоч- о кой (рнс. 244). Поле собственных колебаний резонатора следует искать как решение волнового уравнения (5.52 или 5.54) при граничных условиях, свойственных проводнику.
Однако такая Рис. 244 задача может быть, решена только в нескольких случаях простейшей геометрической формы полости, например, для прямоугольного параллелепипеда, кругового цилиндра и шара. В первых же двух случаях, как уже известно, поле меняет быть найдено и в виде стоячей волны волновода. С целью выяснить общие свойства собственного волнового числа резонатора чо, запишем уравнение (5.54) в виде и граничное условие для вектора Е [Е, пе]=0 на 5е, (9.
17) Применив к левой части (9.16) векторное тождество (П1.23) и умножив результат на Е получаем: Е го1 го( Е = /г',Е,' . (*) Далее, на основании (П1.20) Е„го(го(Е,„=- б!ч [го1 Е„„Е.,]+(го1Е )', поэтому уравнение (*) после интегрирования по объему резонатора г'е можно записать так: ~ д!ч[го1Е, Е ]е(у'+ ~ (го1Е )ес(Р= л, '~ Е' й'. че че че Первый интеграл, по теореме Остроградского — Гаусса, сводится к поверхностному и в силу граничного условия (9.17) обращается в нуль: ~ д!ч [го1 Е,„, Е,„] е(У = ~ [го1 Е , Е„,] с( с = 0 че зе Окончательный результат представляет собой следующее иятегральное выражение собственного волнового числа: ) (го1 Е,„)е в У ) еЫеу (9.18) че о Правая часть равенства положительна, и поэтому (с — вели чина вещественная.
Как видно, собственное волновое число определяется формой, размерами и типом поля резонатора. Может случиться так, что одному значению (с, соответствует несколько различных типов поля, т. е., что колебания разного вида имеют одинаковые собственные частоты. Такие колебания называются вырожденными. Отметим, что выражение (9.18), рассматриваемое как функционал (см. стр. 259, петит), обладает экстремальными свойствами. Нижняя граница функционала (9.18) на функциях допустимого класса соответствует низшей (осиовной) собственной частоте.
резонатора. 9 70. Важнейшие резонаторы простой формы На основании материала предыдущего параграфа нетрудно исследовать конкретные резонаторы, построенные с помощью изученных ранее направляющих систем. 3!6 П р я м о у г о л ь н ы й р е з о н а т о р. Так, компоненты поля прямоугольного резонатора (рис. 245) находим, складывая соответствукнцие компоненты двух противоположно направленных волн Рис 245 , = Е„Яп Х„х з! и Хчу соз Х,г, Е = — Š—" соз Х„х з1п Хчу з1п Х=г Е,хчх япХ„хсозХ„уз!пХег, (9,19) Н !Е ч е 3!и Ххх сов ХчУ сов Хег Н 'Е Х* е соз Х„х з1п Х„у соз Х .г (р .= О, 1, 2, 3, ) Н-поле Н,соз Х„х сов Х„у з Хрп Н,'=",'- з!п Х„хсоз Х„Усов Хег, Н Х"Х' соз Х,х я и Х„у соз Х.г ;Н ХЧ~~" созХ хяпХ„уз!пХ*г (Не:ее Яп Х„х сов Х„У з1п Х г Нщ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
