Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Они называются по этому признаку вырожденными. Так, например, вместе распространяются и терпят отсечку волны Н„и Е„. Обращаясь к предыдущему параграфу, мы должны отметить, что в случае прямоугольного волновода невырожденнымн оказываются только магнитные волны Н, и Н,„, которым нет соответствия в семействе электрических волн; любап же волна Н „при гл Ф 0 и л ~ 0 распространяется точно так же, как и волна Е „. Зато в круглом волноводе условия распространения любой волны не изменяются в зависимости от азимутальной ориентации ее поля.
Возможно бесчисленное множество различных азимутальных ориентаций, но в каждом случае поле разлагается на два ортогонально (под прямым углом) ориентированных типа. Таким образом, здесь имеет место двукратное вырождение. Как видно из табл. 4 и 5, основной в круглом волноводе является волна Н>м по сочетанию индексов не низшая, как это было в случае волновода прямоугольного. В порядке убывания критической волны типы волн круглого волновода располагаются в ряд: Нм.
Ео> Нм. (Но> " Ем) Но> Ем Н>м Еоо в то время как в случае прямоугольного волновода уменьшению критической длины волны обязательно соответствует возрастание индекса гл или л типа волны. На основании (8,105 и 8.21) записываем компоненты поля круглого волновода типа Н„ ; ГЖ 5!п Е,„, = ! —, Но!1(Хг) а; . Г ° со5 Нщ~ ! Х Н(г!1(Х() Н» (8.110) (8.
111) и, о 1«4 окгк(к4 то)о к ! «4 .а«Ц«4 ~х!к «гг гг Риа 214 277 1 1 1 1 1 о кхх ихх Хх ххх 1 г ..! 1 «оо« 11 1С« .15Л~1 1 1 о к о (х ~( о1 (о) 1 1!!!!!' 1О 1( К( -- -зг о о Сопоставляя рис. 214, изображающий строение 'Н-полей круглого волновода, с рис. 210 легко подметить сходство между некоторыми полями в прямоугольном и круглом волноводах Такая аналогия существует, в частности, между основнымн полямн Полагая в (8.109) т=-а=1, находим компоненты основного поля Н„: Важнейшие характеристики основной волны (8.26, 8.52, 8.53, 8.55) имеют вид; ф/и )у(о/~г( 1 (к 4 ); Г=-Й )1( 1 =( 34131! ) о«»=а ф' ( 3,413л ) На рис. 215 схематически показано распределение тока в обо.
лочке волновода для волны Нмп Найдем связь между мощностью, 3~ передаваемой основной волной, и ее полем. На основании (8.58) Р= 2 ~ ~ (Н к(+Нта)('(4а((г, (8.112) Р 213 о о и, далее, согласно (8.110), 2» и )5= — Н,'Я ~ ~ ~,7",((г)созоа+ ',, 3!1тоа] г((ай(= о о 411 = )4(~Н; —, ~ (,(",(х)+ — ', ] хо)х. о Привлекая данную в приложении формулу (П3.28), находим: И,7!! где (8.!!4) — амплитуда электрического поля на оси волновода.
Примеры и упражнения 1. По табл. 4 и 5 найти критические длины волн первых зесяти типов поля круглого волновода диаметром 2Я= 3 см. 2. Проверить формулы (8.41 и 8.47) для круглого волновода, взяв поле основного типа. 3. Волна Н,„ распространяется в пустом круглом волноводе диаметром 2К = 1 см. Найти фазовую и групповую скорости, а также длину волны в волноводе при Х = 1,5 см. 4. Построить электрические и магнитные силовые линии поля основного типа круглого волновода в его поперечном сечении. 5. Найти напряженность электрического поля волны Н„ круглого волновода в пучности, если продольное магнитное поле имеет амплитуду Н = 100 а7м, радиус волновода равен Н = 3 см, а длина волны )» = 7 см. 6.
Вывести формулу (8.114). 7. Мощность, передаваемая волной основного типа, равна Р=! вт. Найти амплитуду вектора Е в пучности 2Я=1,5 см . и 1= 1,8 см. . 8. В круглом волноводе распространяется волна основного типа, бегущая по азимуту, т. е. с азимутальной зависимостью вида со» . а=в+!". мп а) Показать, что поперечное поле этой волны поляризована по кругу на оси волновода, линейно на металлической оболочке и эллиптически во всем остальном пространстве. б) Показать, что с этой волной связан азимутальный поток энергии.
9. В прямоугольном волноводе построить аналогичное поле с круговой поляризацией в центре поперечного сечения как комбинацию полей Н„и Нцн сдвинутых по фазе на 90'. Выписать компоненты этого поля и показать, что в поперечном сечении существует замкнутый, «кольцевой», поток энергии. 27В ~( ) й 64. Двухсвязные системы ТЕМ-волны в произвольной дну хсвязной систе. ме.
В отличие от рассмотренных сдносвязных волноводов двух- связная система (рис. 216) способна направлять ТЕМ-волну, распространяющуюся (2 60) без дисперсии. Электрическому и магнитному полям ТЕМ-еолн свойственна поперечная структура полей статических, и это обстоятельство, как мы покажем, приводит к тому, что их можно рассматривать как волны напряжения и тока в линии с распределенными параметрами. Рассмотрим ТЕМ-поле системы, показанной на рис.
216, не задаваясь заранее определенным видом временной зависи- Рве. 2!6 мости процесса. Так как поле в поперечном сечении потенциально, можно ввести понятие разности потенциалов, или напряжения между проводниками в и=~ы (8.! 15) А в данной поперечной плоскости (точки А и В лежат на разных проводниках при г = сопз(). В силу независимости разности потенциалов от пути интегрирования величина 17 есть функция одной лишь координаты г. Для простоты выберем путь интегрирования, совпадающий с электрической силовой линией (е на рис. 216), принимаемой за координатную линию д„так что Е = Е,.
При этом линии криволинейной ортогональной координаты д» будут везде совпадать с магнитными силовыми линиями (т на рис. 216), так как векторы Е и Н в каждой точке взаимно перпендикулярны и, следовательно, Н = Н,. Учитывая это дв и проектируя уравнение Максвелла го1 Е= — — на направление д! а„получаем: 272 7=ф Н81, (8.119) причем I есть функция одной лишь координаты г. Дифференцируя по г полученный результат (8.! 20) и используя проекцию уравнения Максвелла го1Н = — на напрадп д~ вление а, дН д!л дг дг ' (8.121) имеем: д! дг г 0,(Ч дг ага ь По теореме Гаусса, величина 1 ~ 0Щ=1~ есть заряд напраь вляющей системы, отнесенный к единице ее длины.
Обозначая Я=СО, приходим ко второму телеграфному уравнению: (8.122) д! -дУ вЂ” = — С— дг дг (8.1 23) 2ВО дВ да (8.116) Принимая во внимание, что Е«Н = Ещ, продифференцируем обе части равенства (8.115) по г и учтем (8.116), тогда оказывается: в аи аг — — — — В 57,. (8.117) А в в При этом (рис. 216) ~ Вг(4,=1 ~ ВЫд, есть не что иное.
как А А поток магнитной индукции Ф через «ленту» адсН единичной ширины (Лг=(). Полагая (9 31) Ф= Яl, из (8.117) получаем известное «телеграфное уравнение» дУ вЂ” д! — = — Х вЂ”. дг аг' (8.118) Введенный параметр Ж имеет смысл индуктивности направляющей системы, отнесенной к единице длины.
Аналогичные операции приводят к другому телеграфному уравнению. Взяв циркуляцию вектора Н вдоль одной из магнитных линий Е и применив первое уравнение Максвелла в интегральной форме, имеем: Параметр С имеет значение емкости единицы длины системы. Зная, что постоянная распространения ТЕМ-волны — это волновое число свободного пространства й, запишем выражения волн напряжения и тока при гармоническом во времени процессе так: Ц вЂ” (/ вз ии — «м 1 — 7 вг нм — »м (8.124) Подстановка (8.124) в телеграфные уравнения (8.118 и 8,123) дает: й(У,„= «ОЖ,», !г! = ыСУ (8.125) откуда й»=-оРХС, (8.126) и, следовательно, скорость распространения ТЕМ-волны и = 1 Д' вр = <о/й выражается через параметры Ж и С следующим образом: о=!,Ф ЯС.
(8.127) В теории длинных линий в качестве волнового сопротивления фигурирует величина К,= —. (8. 128) (8.130) )р л = Сопоставляя этот результат с формулой (8.127), получаем соотношения: Я = К,,го и С = 1!о)р'„ (8.131) 2з! /т Из (8.115 и 8.119) следует, что в ~ел! (р А (8.129> ф на! и, таким образом, в отличие от волнового сопротивления Ф'", всегда равного Я 60) корню квадратному из отношения прони. цаемостей среды (р'" = ~л †" , величина )р', зависит от геометрических особенностей направляющей системы. В то же время из.
(8.125) вытекает, что ТЕМ-волны Магнитное поле ТЕМ-волны коаксиальной линии известно на основании результата главы 4: Н„=п, ™ . (8332) Рис. 217 После этого, учитывая (8.32), пишем: (8.133) Вычислив напряжение между проводниками как интеграл и! и! Н„„= ~ Емпг= '2 ~ — =- 2 [п~~'. ! п! и! приведем формулу (8.133) к виду (8. ! 35) г 1и — " В, (8.!34) что совпадает с выражением поля коаксиального конденсатора (гл. 3), заряженного до разности потенциалов (7 . Не следует, конечно, забывать, что электрическое и магнитное поля ТЕМ-волны отличаются от статических продольной волновой зависимостью, характеризуемой множителем е! <"'-"*1, который дописывается к амплитудам (8.132, 8.133) при переходе к комплексам.
Как видно из (8.134), величина (ьт, для коаксиальной линии равна (8.136) Таким образом, зная поле направляющей системы Е Н, а по нему (8.129) величину [р'„можно определить параметры Я и С. Коаксиальная линия. В коаксиальной линии могут распространяться волны Н и Е и ТЕМ. Ввиду того, что условия существования ТЕМ-волны не зависят от частоты, тогда как Е- и Н-волны при достаточно низких частотах отсутствуют, именно ТЕМ-волна является основной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
