Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 37
Текст из файла (страница 37)
не отличается от величины, установленной ранее (2 38) для волны в неограниченной среде. !. Рассмотреть результаты 2 59 с точки зрения установленной выше классификации волн. Указать, при какой поляризации падающей волны у плоской границы возникают направляемые Н-волны и при какой Е-волны. Проверить, обладает ли ТЕМ- волна между параллельными плоскостями отмеченными выше свойствами. 2. В каких системах нз показанных на рис. 198 и 205 могут распространяться ТЕМ-волны? 3 Взяв в основу решения статических задач, выписать все компоненты поля коаксиальной линии. 4 61. Дисперсия направляемых волн Направляемым Н- н Е-волнам в отличие от волн ТЕМ свой-' ственна дисперсия, как это было, в частности, видно, на примере параллельных плоскостей.
Изучение закона дисперсии позволит нзм установить ряд общих особенностей этих волн. Совершая уже известное преобразование (см. $ 60, волны ТЕМ) и используя соотношение (8,22), приведем волновые уравнения (5.52 и 5.54) к виду; Переписывая (8.22) в виде: г'=й«-х, отметим теперь, что это равенство выражает зависимость постоянной распространения Г от частоты и свойств среды, так как здесь фигурирует величина й» = о>»е(». Мы вправе предположить также, что через неизвестный параметр у постоянная распространения зависит от индивидуальных свойств конкретной направляющей системы.
Равенство (8.35) называют «дисперсионным уравнением», а у — «поперечным волновым числом» (в отличие от «продольного волнового числ໠— постоянной распространения Г). Чтобы судить о дисперсии направляемых волн, необходимо составить представление о характере поперечного волнового числа у. Рассмотрим отдельно случаи Е-и Н-волн.
Проектнру'я векторы уравнения (8.33) на ось г, имеем; Е *=' — у.~Ет (8 Зб) Умножим обе части равенства на Е, и проинтегрируем по поперечному сечению направляющей системы Я!. Е,„Л»гЕ„.«($= — у» ~ Е',НЯ. (8.37) 3, а! Для дальнейших преобразований используем двумерный аналог теоремы Грина (3.99) (»..'Р'1ф+ '?удф) «(Š— ~ 'Р Ея ~(! в Щ и где все операции производятся в поперечных координатах, вместо обьема У фигурирует площадь Е и, соответственно, вместо поверхности, ограничивающей У, — контур ь площади 3. Положив в (8.38) Я=Я! /.=Е и (р=»«=Е, получаем: )»~(Еэ ~ Е,„,Г~Е,68=~ Е»,* д 4(!.
(8 й, и! В яде важнейших случаев (волновод, коаксиальная линия и др.) направляющая система ограничена замкнутой металлическо" р й 2вэ то постоянная распространения 1 мало отличается от волнового числа для неограниченной среды й; поэтому также Оф о иЛ вЂ” Х. По мере уменьшения частоты (роста Х) величины пф и д неограниченно растут, пока не обращаются в бесконечность при ) = )„р. НачинаЯ с этого момента, постоЯнная распространения становится мнимой ве! личиной ! Г = )й У'Унр)Да 1 ! пРи 1( )нр. 1 ! Поле направляющей системы теряет вол- ей у новой характер и убывает вдоль ее оси: — гге Š— о- (8.54а) 'вл (в (8.54) выбран знак минус).
Рнс. 20? Зависимость фазовой скорости от часто- ты показана на рис. 207. Групповая скорость н передача энергии. С помощью (6,126) нз (8.52) находится групповая скорость направляемой Е- или Н-волны: й ~/ 1 ( Х )' „ ~7У 1 ~ 1"~ )', (8,55) Как видно, выполняется соотношение омпер = у (8. 56) При критических условиях групповая скорость обращается в нуль. Ее зависимость от частоты представлена на рис. 207. Полезно проверить, что групповая скорость направляемой волны совпадает со средней скоростью передачи энергии.
Перейдя в формуле (2.27) к средним значениям и проинтегрировав ее числитель и знаменатель по поперечному сечению направляющей системы Е , получаем соотношение ) йй5 с,= 3 р (8.57) Ы5 ~ Ы5 з~ Я~ где р ~ ~ . Н ЕЕ ш ~ Нз,г(5 ~ Е' ВАДЯ (8.58) н з з1 — средняя мощность волна, равная среднему потоку вектора Пойнтинга через Е е (в выводе учтено, что Е2 и Н взаимно перпендикулярны и лежат в фазе). Возьмем для определенности волну электрическую (Н, = О) и перепишем (8.57) в виде: — )., Е„',285 24РК вЂ” (Е,» +Е,не) й5 Р 4 ~ Нм |85 4 з„-~- 4 з1 или, после простых преобразований, и,=2 ) ~куи(1.,'- ~ Е',Ю/~ Е'4ЙЬч + 1. ~. (859) з~ 3 Как видно из (8.21), Е*,= ',* ((.2 Ем,)', Привлекая, далее, (8.41), находим, что 5 1~Е.,(5 Хе з~ и, следовательно (8.22, 8 23), 2!' з(" ф' ь ) Гл и де р ', Г;7 ре уи Ре й . Этот результат совпадает с (8.55): (8.60) (8.61) (8.62) пГ, ', Р чем и доказывается равенство иеь = ув.
(8.63) Точно так же производится проверка для случая Н-волн. Можно показать, что интегральные ныраження (8.41) н (8А7), если нх Н рассматривать как функционалы (т. е. функция от различных функцнй Е ,), обладают экстремальнымн свойствами. Это значит, что внося нод соотнетстнующне интегралы и качестве Е, н Н, различные функция, подчнненные требуемым граничным услоаням, мы получим экстремальное (нменно, минимальное) значение Хз н том случае, когда Е, н Н, удонлетнорят уранненням (8.36) н (8.42), соответственно. Поперечное волновое чнсло, таким образом, можао аайтн, используя экстремальность функционала. Это относится к задачам ворииционного исчисления. Нежная граница функционала (8.47) соотзетстаует наименьшему поперечному аолнозому числу данной направляющей системы, т.
е. ее основной волне (см. виже Я 62, 63). Примеры и упражнения 8. 1. В выводе уравнения Лапласа (8.30, 8.31) и уравнен й ( .33, 8.34) декартовы координаты были применены лишь для ни облегчения действий. Чтобы проверить справедливость этих выражений в обобщенно-цилиндрической системе координат, надо о доказать, что в применении к произвольному вектору поля плоской 17» 260 волны А = А«,(д„дг)е""' (А= Е 'илп А = Н) оператор Лапласа имеет вид Уг Р !7 (8. 64) где индекс 1 означает, что операция производится лишь в поперечных координатах д„дг (при д/д7= 0). Для этого следует, исходя из тождества типа (П1.23) с учетом (5.16) У'А = — го( го! А и, следовательно, лл, лл ь(77«ь = — х„— з!п — 7.
д Внося это в'т;(8.47) и интегрируя по поперечному сечению, имеем: ( д ) ' ЬЯ да«ох«7 — о ~ 7077 — 7 дх 07 — о Х лл,г лл С ~ ( — ) «307 — гдг д, ' д (лл ~7 о = Нпэ П ~ 707*0— "гдг н о дважды применить к А оператор го! и упростить полученный результат с помощью (П2.1!) =Ь~Ь*~. дд*'+ дд* Рекомендуется читателю самостоятельно произвести указанные действия. Попутно при этом вытекает еще одно важное соотношение: (тг~~ А), = 71А, (8.65) — в обобщенно-цилиндрических координатах продольная компонента вектора т'~ А находится применением оператора Лапласа 7*ь к продольной проекции исходного вектора А, 2.
Проверим формулу (8.47) на примере параллельных плоскостей. На основании (8,1) продольная компонента вектора Н с точностью до постоянного множителя равна лл Н„,„= СОЗ вЂ”" 7 Найденная величина, как и следовало ожидать, совпадает с (8.3а). 3. Сделать аналогичный вывод для Е-волн. 4 Для системы параллельных плоскостей проверить формулы (8.52, 8.53 и 8.55). 5.
Показать, что при критической частоте исчезает поперечная электрическая компонента Е-волны и поперечная магнитная компонента Н-волны, а при (†> со — продольные компоненты Е и Н. 6. Показать, что при увеличении расстояния между параллельными плоскостями любая направляемая ими волна приближается к ТЕ7!4-волне свободного пространства. 7. Показать, что при 7 < 7„ поток энергии вдоль оси направляющей системы в среднем равен нулю. 8. Вычислить затухание поля направляющей системы при частотах 7 = 0,9(„о; 1 = 0,57,7; 7" =. 0,37„„ и 7 = 0,17 9. Проверить равенство (8.63) для случая Н-волн, 2. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ Различные направляющие системы, не существовавшие илн почти не известные два десятилетия назад, получили широкое распространение благодаря интенсивному развитию радиотехники сверхвысоких частот.
Особое место занимают здесь полые волноводы; пионерами в области их инженерной теории в СССР являются А. Л. Драбкин и Е. М. Студенков. Важные теоретические исследования по волноводам принадлежат советским ученым Л. И. Мандельштаму, Г. В. Кисунько, А. А. Самарскому и А. Н. Тихонову и др. Полый волновод прямоугольного нли круглого сечения представляет собой основной вид линии передачи в диапазоне сантиметровых волн. Однако, кроме обычных волноводов и коаксиальных линий, в технике сверхвысоких частот применяется много разнообразных систем, преследующих специальные цели. Некоторое представление об этом дает 9 65.
Ниже на основании общей теории, изложенной в 99 59 — 61, будут рассмотрены важнейшие направляющие системы без учета потерь энергии. Этому последнему вопросу отводится 3-й раздел данной главы. 4 62 Прямоугольный волновод Полый волновод прямоугольного поперечного сечения называется обычно «прямоугольным волноводомо. На рис. 208 он изображен в наиболее подходящей здесь декартовой системе координат, оси которой Ох и Оуг параллельны сторонам поперечного контура а н Ь. зщ (8.74) Е-волны Будем искать решение уравнения (8.36), имеющего в декартовых координатах вид дРЕтд + дРЕтт рЕ дхх дУР (8.66) иа всех степках волиовода, иапишем, во-первых: Е.,=О ).
при х=О и у=О ! ' Из (8.73) видно, что это возможно лищь, если А =-С= О, методом разделения переменных (2 27). Положим Е =.Х(х) У(у), (8.67] где Х и У вЂ” ие известные пока функции переменных х и у. Подстаиовка (8.67) в (8.66) приводит к ,х дифференциальному уравнению Х"У+ Хуа = — Х'ХУ, ь которое после деления всех членов иа ХУ принимает форму Х" У' а — + — =- — ХР Х У (8.
68) Рис. 2'Зз Учитывая взаимную независимость слагаемых левой части (8.68), приравниваем каждое из иих постоянной величине Х" ., У" Хх и — Хр Х " У (8. 69) с соблюдением равенства Х +Хр=Х ° Легко догадаться, что Х„'.>О и Х„'>О, (8.70) (8.71) так как $61) ХР > О, а физические условия вдоль осей ОХ и ОУ внутри волиовода идеитичиы. Записывая хорошо известные решения уравнений (8.69) Х = А со5 Кхх -'; В 5!и Ххх~ 1 ), У =- С соз Хру -'; й я п Х„у (8.72) 262 имеем: Ет = (А соз Х„х+ В яп Х„х) (С сов Хру —, ЕЬ яп Хру).
(8,73) Полученное общее решение, содержащее шесть неизвестных постоянных А, В, С, 1р, Хх и Х, ие дает еще представления об исследуемом поле. Это и понятно, ибо в произведеииых действиях пока ие нашли отражения конкретные физические условия задачи— граничные условия иа оболочке волиовода. Потребовав (8.40), чтобы продольиая компонента электрического поля уничтожалась и, следовательно Е „= ЕЬ51ПКхХ51П Хру (8. 75) где произведение ВЕ! замеиеио одиим иеизвестиыы коэффициеиточ Ео. Во-вторых, в силу того же условия (8.40) тх (8.74а) Прпхх ПИ у=Ь ! (две другие стенки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
