Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Е = А./о(лг), (?.!о!) где Уо(лг) — цилиндрическая функция нулевого порядка первого рода, а А — подлежащий определению коэффициент. Обозначив электрическое поле на поверхности проводника индексом «Оъ (7. 102) Е = Е' при г=)«', определяем А (7.102а) А = Е'//о (И) и записываем решение (7.101) в виде /и Иг) Е=Ео ' ) . Величина й в соответствии с (6.86, 7.?8) равна ° / по)по ! — ! )е =(1 — !) ~г— (7.!03) В силу закона Ома Ь=оЕ ез льтат (7.103) характеризует распределение тока по сечению проводника; на рис. !?7 показана зависимость амплитуды б„ от радиальной координаты прн различных диаметрах проводника 2Я. Как видно, поверхностный эффект выражен слабо, когда )7 и а сравнимы. Не следует забывать, что величина Ло фигурирует яр ассматриваемой задаче не как глубина проникновения, в прежнем смысле, а лишь в качестве условного параметра.
Полный ток цилиндра находится интегрированием б по его поперечному сечению; ол я я 1 =о (~ 3~ Его(ао(г= и ~ /о(Ь)г и. пп(лл) о о о * См. Пряложеиие 3, формула 7. Это не что иное, как уравнение Бесселя нулевого порядка. Необходимые сведении об уравнении Бессели и его решениях даны в Приложении 3. Как следует из сказанного там, решение уравнения (7.! 00) в данном случае выражается формулой (П3.7)*; т. е.
Согласно (П3.25), 1,7 0 ((гг) гг(г = й «', ((г)?), о так как ,т, ((ггИ = 0. Внося это в (7.104), получаем: 2яйЕ»иг (йй) йгв ((вй) (7.105) Отсюда по формуле Ев ) сразу же находится сопротивление единицы длины проводника: г.' = — — ' . (7.106) ь гв (лй) 2яйо г,((вй) Можно проверить, что при выполнении условия (7.79) полученная формула переходит в (7.98). Действительно, это условие влечет за собой неравенство ( И? ) ы — 1! — 7' ( » 1, й 0 =П,75 =75 позволяющее заменить цилиндричеРис.
177 ские функции в (7.106) их асимптотическим представлением (П3.16) у (йй) = У егмя — 701 и 7,(И?) = У вЂ” е 1»я-0"~" ' / 2 У иьй ийй и, следовательно, 1+7 Л 2яйилв 2яй (7.107) что совпадает с (7.98). Если же, наоборот, поверхностный эффект проявляется слабо ЮЛ0 «! и (77)?! « 1, так что 220 то, используя лишь начальные члены разложений (ПЗ.10,11), пишем: (7. 108) д г г 5 Ф 5 бег Рис.
178 Х (0 00 Вл С ростом частоты в результате вытеснения поля внутренняя индуктивность уменьшается, В заключение сделаем следующее важное замечание. Поверхностный эффект — вочновое явление, к пониманию которого мы пришли, рассматривая преломление электромагнитных волн на границе разнородных сред. Тем не менее, в силу весьма значительного различия оптических плотностей металла и окружающей его среды типичны случаи, когда поле вблизи металлического тела (и на его поверхности) квазистационарно. В задаче данного параграфа условие квазистационарности фигурировало в исходных условиях (постоянство тока на поверхности проводника).
Внутреннее поле при поверхностном эффекте, как легко убедиться, не может быть квазистационарным. Действительно, длина волны в проводнике есть )вв = 2п(й;, в то время как глубина проникновения (7.7?) равна ив !?ь" Согласно (6.86), йв= й,", гг( И точная формула (7.106), в которой «0(И?)7«',((г)?) — величина комплексная, и ее предельные формы (7.107 и 7.! 08) приводят к заключению, что реактивное сопротивление проводника имеет индуктивный характер. На рис. 178 даны кривые, характеризующие изменение полного сопротивления цилиндрического проводника (активная и реактивная части обозначены на рис. символами !с и Х соответственно) и я(яв его эквивалентной «внутренней» индуктивности (ьвна рис.) в зави- «) в симости от отношения радиуса ге проводника к величине Лв (на рис.
19 означает диаметр). Все величины 15 отнесены к их предельным значе- 00 ниям при вв — » О, т. е. прн постоянном токе. Предельные значения отмечены индексом «О». Что касается внутренней индуктивности при постоянном токе (70, на рис.), то она была определена в гл. 4. В соответствии с (4.62) она равна так что 2пйо (7.109) т. е. длина волны в проводнике лишь в 2»т раз превышает глубину проникновения. Примеры и упражнения 1. Написать выражения внутренней индуктивностн цилиндрического проводника для предельных случаев (7.107 и 7.108). 2.
Определить активное сопротивление алюминиевого провода диаметром 2)х=0,05 см при частотах 100, 1Окгу; 1 и 100 сИга(. 3. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН й 55. Предельные случаи дифракции Применен ~е геометрической оптики. Рассматривая в 9 49 падение плоской однородной волны на границу раздела сред, мы пришли к законам отражения и преломления, которые, как известно, формулируются в геомепрической оптике для лучей. Это отнюдь не случайное совпадение: направление движения плоской волны (7.26) е ж'= е мах+ион-с*> (7,110) определяется как нормаль к ее фронту — плоскости равных фаз ах+ т)у+ ьг = сопя(, (?.111) т, е, как некоторая прямая, или луч. Геометрическая оптика соответствует тому случаю, когда, отвлекаясь от волнового характера поля, рассматриваются лишь направления лучей. Если волна не является плоской, но достаточно близка к ней в любой малой области (сравнимой с ее длиной), то основные представления геометрической оптики сохраняют смысл.
Описывая произвольную волну с помощью выражения е-зф(х и»), (?.!! 2) мы видим, что условию постоянства фазы удовлетворяют поверхности т!» (х, у, г) = сопз1. (7.113) Лучи, характеризующие направление распространения волны, представляют собой теперь кривые линии, ортогональные этим поверхностям, т, е. везде пересекающие их под прямым углом. Величина ф называется зйконалом, Разлагая тр в ряд Тэйлора 222 в окрестности точки й4,(х„у„, го) »р(х, у, г) =»г(хо, уо го)и й— (х — хо)+л — (у — у,)+ — (г — го)+ и обозначая "= хо(х — хо)+ уо(у — уо)+ го(г — го) имеем »Р(х, У, г) — ф(хо Уо: го) = (огай»Р) г.
(7.1!4) Таким образом, волна (7.1!2) может быть принята за плоскую волну е-э вс Во~ с волновым вектором 1с = ягай»р (7. 11 5) в достаточно малой области, допускающей использованное выше ограничение первыми членами разложения. Как уже отмечалостн геометрическая оптика применима, если эта область в то же время не мала в сравнении с длиной волны. Весьма существенно, что в пределе при )» — э 0 законы геометрической оптики становятся справедливыми для любой волновой задачи.
ге; <о) (е и) Дифракцию мы определили ранее (стр. 2! 8) как процесс, ' Еол меав <-1 вызванный падением волны на тело ограниченных размеров. Из Рис. ! сэ сказанного вытекает, что всякая дифракционная задача в пределе при Х вЂ” э 0 решается методами геометрической оптики. Однако надо иметь в виду, что характерные черты дифракции, заставившие выделить это явление, выступают как отклонение от законов геометрической оптики и, следовательно, при таком предельном переходе теряются.
Применение правил геометрической оптики в качестве приближения при решении дифракционной задачи закономерно в тех случаях, когда размеры объекта дифракции значительно превышают длину волны. Рассмотрим в качестве примера ' падение плоской волны на идеально проводящий цилиндр (рис. 179).
Волна, распространяющаяся перпендикулярно его оси, заменяется параллельным пучком. лучей, отражающихся от поверхности идеального проводника по закону Снеллиуса (угол отражения равен углу падения). Заштри- Этот пример рассмотрен в княсе Потехина д. И. оНекоторые задачи аифракини электромагнитных волн». 223 Т»Е+ й»Е = 0 — + 7»Е = О ~х По к! (7.116) 'и (7. 120) Г»Н+ й»Н = 0 — » 7»Н = 0 находим, что П П вЂ” = — соз»р. По 2», (7.117) )К ~~ )К »1'ке«)О»7Ч" (7.121) (7.
118) Е = х~ЕО Но — у„йо (7.122) (7.119) 18 заказ и» ы»» 224 хованная часть рисунка соответствует так называемой области тени, куда падающие лучи не попадают. Совокупность отраженных лучей характеризует поле, рассеянное цилиндром. В первую очередь интерес представляет распределение интенсивности этого поля. Сосредоточим внимание на двух лучах, идущих в падающей волне на расстоянии Лх (рис. 180). Один из них отражается в точке Р„ которая видна из начала координат 0 под углом »р, и направлен, следовательно, с этого момента под углом 2~р. Второй луч отражается в точке Р», расположенной на расстоянии Р,Р, = 1«Л»р от Р„и идет далее в направлении 2(ф+ Л~р). Проследив ход этих лучей, нетрудно заметить, ч что ограниченный ими пучок в лучей стал после отражения рас- ходящимся.
Так как связанный У с ним поток энергии при этом 0 не изменился, плотность потока 0 уменьшилась обратно пропорционально ширине пучка, Так, например, в сечениях, отРиа 180 меченных на рис. 180 ах и Л!, абсолютные значения вектора Пойнтинга в падающей (0) и отраженной ( — ) волнах относятся, как Сделав замену Лх=!«соз рддр и И= 2г,б»р, Наблюдая поле лишь на достаточно больших расстояниях г, > Я и заменив»р на а/2, мы можем считать г = П и а полярными координатами точки М (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
