Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 29
Текст из файла (страница 29)
!62 — направляющие косинусы оси г', подчиненные, как известно, условию 5'+ т!'+ ь' = 1 (7.24) Соотношение (7.22) принимает, таким образолт, вид йг' =- !е (ах+ пу+ ьг)., (7.25) г. е. все комплексные амплитуды поля подчинены пространственной зависимости г — УЛ (тх, ЧУ-!-Т М (7. 26) В частном случае, когда 9=0, т)=0 и 9=1, волна распространяется вдоль оси г. Изучая наклонное падение волны на плоскую границу, мы рассмотрим два качественно различных случая. В первом из них электрический вектор падающей волны параллелен граничной плоскости (рис. 163, а) и, следовательно, перпендикулярен к плоскости падения Р. Волна, как мы будем условно считать, поляризована при этом горизонтально.
Во втором случае (рис. !63, б) волна поляризована в плоскости падения, т, е., по определению, вертикально. Любую линейно поляризованную волну можно разложить на компоненты горизонтальной н вертикальной поляризации (3 45) с теле, чтобы рассматривать их в отдельности. !99 то оказывается удобным ввести волновой вектор (с хай (7.2!) по абсолютному значению равный волновому числу я н направленный по движению волны.
Проведя из общего начала О радиус-вектор г = х,я+ у,у+я,г, оканчивающийся на какой-либо плоскости постоянной фазы волны г' = соп51 (рис. !62), имеем у йг' = (сг. Рнс. 163 ф / Рис. 166 Рис, 164 Н» = усАе — >йв»', г < О. ЕΠ— х А%70 — >в»' (7. 29) (7 35) 200 201 В качестве границы сред возьмем плоскость хОу (рис. 164), так что й=й, при г(0, й=Фв при г) 0 (7.
27 Волна, распространяясь в первой среде в плоскости уОг, падает на границу под углом ф к нормали, совпадающей с отри- (О,> (р) нательной осью г; при этом аргумент (7.25) имеет вид йвг = Я»(Уз!пф+ гсозф). (7 28) Горизонтальная поляризация. Наиболее просто поле падающей волны (рис. 165) 'выражается в системе координат (х', у', г')'. ' Осн координат х' и у', лежащие в плоскости, перпендикулярной»', не ноназаны иа рис 166. Переходя к основным координатам (х, у, г) (х' совпадает с х!) и учитывая при этом (7.28), преобразуем эту запись: НО = А (у,созф — г з(пф)е — >" Рн""ф+'"'ф> ) ~ г < О.
(7.30 > А)ВО и — >Кн 1В в>в ф+» сов ф> »в о Чтобы удовлетворить граничным условиям при г=О, необходимо допустить существование отраженной волны, распространяющейся от границы в первой среде, и преломленнпй волны, проникающей во вторую среду. С целью определить их направления учтем, во-первых, что, в соответствии с (?.28), амплитуда падающей волны не зависит от координаты х. Граничные условия требуют отсутствия такой зависимости н у остальных волн, т. е равенства нулю направляющего косинуса 6 в (7.25): $=0; (г', х) = 90'. (7.
31). А это значит, что и отраженная и преломленная волны рас- пространяются .в плоскости падения. Принимая во внимание сказанное, запишем общие выражения полей отраженной волны Н =В(уосозф' гоз1пф')е — >в»сиз>нф'+»сове'> ) ) г<0 (7.32) — Щ~'в е->в» Рн в>в ф'+» сов ф'> ч»= о и волны преломленной Нчы = С (Уо сон 6 — гон(п 6) е-»вв Раино+*сове> ) г~ О. (7.33) В+ = х СВ»се-уйв Рва!во+» сове> ⻠— о Углы ф' и 6 (рис. 165) указывают направления распростране- ния этих волн относительно оси г. Второй из них называется углом преломления, а вместо первого обычно употребляется до- полнительный к нему угол и — ф', называемый углом отражения. Ввиду того, что граничные условия требуется выполнить вдоль всей оси у, все трн волны — падающая, отраженная и преломлен- ная — должны иметь одинаковую зависимость от координаты у, т.
е. должны быть соблюдены равенства йв з(пф= л, з)п р', (7.34) >св з> и ф = >св з 1п 6 Отсюда немедленно вытекают законы Снеллиуса: 1. Угол отражения равен углу падения'. и — ф =ф в Случай ф'=ф расходится со сл~ыслом задачи — отраженная волна распространяется во второй среде. Мпб и, = — = пв,', в!п ф пв (7. 36) и поле волны преломленной (А — В) сов ф = С соз 6, (Л + В) Ю", = СУ'„ (7.37) (7.39) Рпс. )66 Отсюда В+ (0) С та '" ЦО (О) Н„-(0) Е Ов= = — и О' (0) 4 (7.
46) Н,'„= х,' Ае — 'вв*' г<0, Ев Л(Р'в е — рвпе ! ~ = — Ув (7.4!) 202 2. Угол падения и угол преломления связаны зависимостью и, .— ! е!)вв и и,= )' е ив называются коэффи((иена(ами преломления сред, а величина п,в=п„п,--относительным коэффициентом преломления. Необходимо подчеркнуть, что такая формулировка второго закона имеет очевидный геометрический смысл только а отсутствие потерь (й, и й, вещественны).
Тогда же коэффициенты преломления представляют собой обратные величины фазозых скоростей, и формулу (7.36) можно написать так: в(п 0 о, Мп ф Налагая на поля (7.30, 7.32, 7.33) требование непрерывности гангенциальных компонент векторов поля Е и Н при г=О, имеем: Назвав отношение амплитуд Е и Ес на границе(г=О) коэффив(иентом отражения, а соответствующее отношение амплитуд Е и Š— коэффициентом прохождения '+ 'о Е (О) и Ес (О) С((Р~~ (7.38) Ео (0) " Ео (0) А)гв' на основании (7.37) получаем: (пс (1 — дг) соз ф =- т! —, соз 6, 1+0 = Яр!совф — ()р(сов 0 2(рвсовф (7 40! дг= „и тг=...
° ( ) Эти соотношения называются формулами Френеля. Для случая нормального падения (ф = 6 = 0) они совпадают с полученными ранее результатами (7.9). Вертикальная поляризация. Записывая поле падающей волны (рис. !66) сначала в координатах (х', у', г') а затем с учетом (7.28) в основной декартовой системе координат, имеем: Нс х (е — )вв (Р в!и о ! в сов ч) 1 г-< О. (7.42) Е =-А(й)( — Увсозф+гвз!пф)е-ввв(Р "пв+'-вв) ) Принимая во внимание (7.31), выражаем поле отраженной волны  — )вв (р в)п <р'+в ссь р') ~ О> г (7.43) Ет = В(у! ( увсозф +г 5!и ф') е — ! в(рь(п в' ' в сов о') ) Н+ хо С(-!в! (р ь!и ч'-,'-в сов ч) 1г>0.
(7.44) Е+ = С(вовг ( — у соз 6 + г ей п 6) е-) вв (р "' о+' "' о)) Формулы (7.35, 7.36), вытекающие из необходимости удовлетворить граничным условиям при любых у, в данном случае, разумеется, сохраняют силу. Приравнивая тангенциальные компоненты векторов поля в разных средах при г=О, находим: А + В = С (Л вЂ” В) Ю'! соз ф = С(У,'сов 0 (7.
45) Коэффициентом отражения и, соответственно, коэффициентом прохождения при вертикальной поляризации обычно называют следующие отношения: Внося (7.46) в систему уравнений (7.45), получаем формулы Френеля для рассматриваемого случая; в "!сов() ((Рвсовф в 2) !сов!р (747, (р!сов О+)р! сов ф ()рвсов 0-1-яр(сов ф ' При нормальном падении (6=ф=О) эти формулы приводят к известному из предыдущего параграфа результату. 203 й 50.
Наклонное падение при отсутствии потерь. Направляемые волны У г о л Б р юс те р а. Выясним сначала условия, при которых на границе не происходит отражения, Полагая в случае горизонтальной поляризации равным нулю коэффициент отражения (7.40) и уштывая (7.36), получаем: ( — ':>'= -"" откуда (?. 48) Р~/Рз Ре/Р1 Итак, желая достигнуть полного прохождения волны через границу при горизонтальной поляризации, следует направлять ее под углом ф, определяемым из условия (?.48). Как видно, для обычных диэлектРиков (Р, = Ре = Р,) такого Угла не сУществУет, и, следовательно, горизонтально поляризованная волна отражается при любых углах падения. Анализируя этим же путем случай вертикальной поляризации, из (7.47) находим: ( — ~=:„.
1Г'1 1е 1 — з!пз ф 1Р1,/ 1 — пз з!пз <р Р,/Р, — е,/е, (7. 49) е,/е,— е,/е, ' (Р, =Рг=Ре) эта формула прини- 5!П ф= Для обычного диэлектрика мает вид 5!П ф! = е,/е,+ ! а отсюда ср=агс16 1~ — ', к (7. 50) пзз 5(п Р ) 1, которое, как легко проверить, обусловливает от границы раздела. Действительно, в силу 204 (7.51) полное отражение того, что косинус Таким образом, вертикально поляризованная волна не отражается, падая на границу раздела идеальных диэлектриков под углом ф, определяемым формулой (7.50).
Он называется уелом Б рюстера. Полное отражение от диэлектрической границыы. Как видно из (7.36), мыслимы условия, при которых данному вещественному углу падения волны <р будет соответствовать мнимый угол преломления 6(5(пб) 1). Для этого достаточно выполнить неравенство угла преломления, согласно (7.51), оказывается чисто мнимой величиной со56 = + 1/ 1 — и',ее'!пз ф, (7.52) модуль коэффициента отражения (7.40) и (?.47) равен единице, Ь",' ф — (йгз! ~ . б ~ ~ 1Р'1 сок ф+/1гч1 ! соз 6( (7.53) /1ГЧ 1 сот 1З ( — 1рп1 сесе ф 1 Ев!= ~ 1„,11„', б ~+1Р~ — „, Этот результат свидетельствует также о равенстве средних потоков энергии, связанных с йадающей и отраженной волнами. так как (7.54) Разлагая вектор Пойнтина обеих волн в первой среде на нормальную и тан- у генциальную составляющие (рис.
167)', видим, что по нормали к границе передачи энергии не происходит; энергия распространяется вдоль границы. Привлекая формулы (7.30, 7.32) и, соответ- Рпс. 167 ственно, (7.42, 7.43), легко заметить, что все компоненты поля первой среды, представляющего собой суперпозицию падающей и отраженной волн, зависят от координат по закону (у г! е-/е11к з!и ез-с поз е) зс Е-!тп1кз!и и'+с созе'7+7Е !'з(у ) = 1 где ф — фаза коэффициента отражения.
Преобразуя эту запись с учетом (7.35), находим, что 1соз (й,г соэ ф и- ф/2) ~,(У, г)=2е-/<езкмпд — е/г1. ' ' (7.55) — 15!я (/гзгсозф+ф/2) ' где два различных значения второго сомножителя соответствуют двойному знаку в предыдуп!ем равенстве. Этот результат означает, что поле имеет характер распространяющейся вдоль границы волны (ось у) с постоянной распространения Г = й! 5!п ср (7. 56) и распределением амплитуд по нормали (ось г) типа стоячей волны с волновым числом р! = й, соз ф. (7.57) Такого рода волна встречается впервые в этой книге — это плоская неоднородная волна, направляемая границей раздела сред. ' Не рнсунке есктор Пойнтннге ооозчечен через В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
