Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(6. 42а) Такой виток (рамку) с переменным током называют элементарным магнитным излучателем, а также магнитным диполем Герца. Его поле можно найти, определив по формуле (6,13) векторный потенциал замкнутого тока, а затем использовав формулы (6.5 и 6.10). Однако задачу нетрудно упростить, опираясь на представление о магнитных зарядах, которые, разумеется, будут фигурировать не как реальные величины, а в качестве удобной абстракции. Заменяя виток эквивалентным магнитным диполем, по аналогии с (6.2) следует написать б)ч Ь" = — 1сий", (6.43) 166 агу Н = й."гр, (6.44) (6.45) Задача !! Задача ! Мига«тима момсит ги Источник и»лучинки Элсктричсскиа кочскг р го! Е = — !'от)к Н вЂ” Ь"; ! ") го! Н = )гое Е го1 Н = )сог Е !") го1 Е = — рл)г Н Внд уравнений Максвелла Е =, ми да!по»! )„,)«8«о 4лг' (6.48) Н,=, соьдсоьсо! г 2лрги ,' т =1,„)«о Но = — со5 д со5 о»! 4~р~~ Е на Н н Н на Е в на — р и р на — е, и поля излучения (6.
46) Е„= ' и ГИПдСО5(λà — Пг)! )т~ ~ "Го 4лг Н„=О Н = — — 5!пд соз(со! — йг). )„,lткз О 4лг (б. 49) где о — «плотность магнитного заряда» и Ь' — «плотность магнитного тока», появляющегося в результате «движения магнитных зарядов». Вместо первого уравнения (6.3) мы должны теперь взять а второе уравнение Максвелла примет вн.! го! Е = — )отрН вЂ” Ь", так как только такая запись нс противоречит (6.43 и 6.44), в чем легко убедиться, образовав расходимость обеих частей (6.45).
Дальнейшее исследование будет построено на сравнении поставленной задачи о магнитном диполе с уже решенной задачей о диполе электрическом. Рассмотрим такую таблицу Как видно, первое и второе уравнения Максвелла в задачах «поменялись ролями». При этом уравнения задачи 1 переходят в уравнения задачи 11 при замене а также Ь" на — Ь". А это значит, что достагочно в региении уравнений (о) при электрическом источнике р сделать замену (6.46), как будет получено решение уравнений (**) при аналогичном магнитном источнике гп. Итак, для нахождения поля элементарного магнитного излучателя мы должны произвести указанную замену в формулах (6.28) и (6.30).
При этом надо учесть, что величина Ь' входит в это решение только в форме электрического момента р, кото!ев рыи прявю следует заменить магнитным моментом — гп, г. вместо р =11 1)со написать — т = — Г )«». После операций (6.46, 6.46а) формулы (6.28) и (6.30) вместо (6.31) дают следующее искомое решение: 5!п(оу! — )Гг) -)- соз (го! — Ег) ~ зйп д; ! )го.чпго г 1 и 4лг ~ )!г Н вЂ” ~ ~ — со5 (го! — нг) — 5!и (го! — «г) ~ соз д; ))ыЬЗ г ! 2лг' ~ )гг (6.47) ! Н = ы ~) — — 1 )сов(со! — Ь') — — „5!п(го)- нг)~ 5!пд Г )с»8 г.
! 1 4лг (, Дтгк дг ' Е =Ео=Н« О. Способ, использованный нами, основан на перестановонной двойственности уравнений Максвелла. Общий метод, базирующийся на этом свойстве уравнений Максвелла, был впервые сформулирован А. А. Пистолькорсом, а также нашел отражение в работах М. А. Леонтовича и Я. Н. Фельда. Он получил распространение под названием принципа двойственности. К этому вопросу мы вернемся в гл. 7 при изучения дифракции электромагнитных волн. Из (6.47) известным путем получаем компоненты ближнего поля Итак, в дальней зоне элементарный магнитный излучатель создает волновое поле, отличающееся от ноля элементарного электрического излучателя только ориентацией (рис.
131). Диаграмма направленности излучения по-прежнему имеет вид, показанный на рис. 120, а сопротивление излучения выражается 1Ьт формулой (6.50) Е,Н ! т х т Е,нт Е;й' Лримеры и упражнения Рвс. !ЗЗ ьс~м е рв и. (6.52) (6. 53? (6.54) !6Э вь!вод которой отнесен к упражнениям. В сущности, любая цепь переменного тока (система квази- стационарная!) теряет какую-то небольшую долю энергии на излучение. Зная ток и площадь цепи, а следовательно, и момент эквивалентного магнитного диполя, нетрудно оценить излучаемую мощность. На основании формул (6.48) можно заключить, что электромагнитное поле цепи должно резко падать уже на расстояниях, значительно меньших длины волны. Это значит, что ее энергия сконцентрирована в квазистационарной области, а волновой характер поля несущественен, как утверждалось в 3 Зйс Рис.
!3! !. Получить формулу (6.50). 2. Показать, что электрический элементарный излучатель эквивалентный магнитному по излучаемой мощности при данном токе, должен иметь длину 1= lг5 = 2п5!Х. (6.51) 3. В круглой рамке диаметром 2!с = 20 ем течет ток, амплитуда которого Е = !а.
Вычислить напряженность магнитного поля рамки в направлении максимального излучения на расстояниях г = 2, 10, 100 м и 1 км, если длина волны составляет Х = 20 м. г 4. В цепи (рис. 132), площадь которой приблизительно составляет 3 м'-, течет ток с частотой ) = 50 гй и амплитудой 10 а. Какова мощность, теряемая цепью в результате излучения? 5. Как изменится излучение магнитного диполя Герца при: а) изменении магнитной проницаемости среды в 10 раз и б) таком же изменении диэлектрической проницаемости? 4 44. Эквивалентные источники электромагнитного поля Положим, что поставлена задача найти электромагнитное поле Е, Н в области !г (рис. 133,а), вне которой расположены его источники.
При этом никаких данных о самих источниках не имеется, зато известно поле Е, Н на поверхности 5, огранив з !66 чивающей (г. Подобным же образом ставится и внешняя задача: требуется найти поле Е, Н в пространстве $" (рис. !33,б), если его источники находятся внутри области Р, отделенной границей 5, на которой задано поле Е, Нз. Как известно 8 36), при некоторых дополнительных условиях (которые можно считать выполненными) имеющихся данных заведомо достаточно для решения задачи.
Надо лишь изыскать способ нахождения электромагнитного поля. Целесообразен такой прием. Представим, что при сохранении поля на границе оно исчезло по ту ее сторону, где лежат источники. Для того чтобы это допущение не противоречило граничным условиям, появившиеся на границе разрывы всех компонент векторов поля постараемся компенсировать, разместив на ней искусственные источники поля. Начнем с нормальной компоненты вектора Е. Согласно (1.45). разрыв ее означает распределение по граничной поверхности заряда с плотностью Точно так же разрыв нормальной компоненты вектора Н следует компенсировать фиктивным магнитньш зарядом, распределенным по границе с плотностью $м = раз Разрыв тангенциальной компоненты Н в соответствии с (1.55) означает существование на границе поверхностного тока плот- ности Аналогично этому скачок тангенциальной компоненты вектора Е компенсируется фиктивным магнитным поверхностным током плотности з~."= — [пе, Е ), (6.55) в чем легко убедиться, записав уравнение Максвелла (1,8а) в виде ь в 3 4см.
3 43) и применив его к исследованию границы, как это было сделано в 9 9 при выводе условия (1.55). Итак, разрыв всех компонент поля на границе теперь компенсирован непрерывно распределенными по ней источниками. При этом часть источников оказалась лишенной физического ~одержания (магнитные заряды и токи), что вполне понятно, ибо был задан разрыв таких составляющих поля (Е, и В„), которые в силу общих законов электромагнетизма всегда непрерывны. Это обстоятельство, конечно, не должно вызывать недоумения: все вводимые здесь понятия вовсе не требуют физического толкования, онн лишь призваны облегчить расчет. В конечном итоге мы пришли к тому, что вместо реальных, но неизвестных источников поля имеем дело с известными эквивалентными источниками, распределенными по границе.
Остается определить векторы поля по этим источникам. В силу принципа суперпозицни будем рассматривать искомос поле как сумму двух полей Е = Е'+ Е" и Н = Н'+ Н", (6. 56) одно из которых — Е', Н' — возбуждено электрическими источниками, а другое — Е", Н" — магнитными. При этом первое поле, как известно из 9 40, полностью выражается через векторный потенциал А (6.5 и 6.10), связанный с токами второй формулой (Б.!3).
В данном случае ток распределен по поверхности, и эта формула принимает вид А=-зя ~ Ч- (Б. 57) Чтобы установить связь поля Е", Н" с магнитными источниками, запишем полученную в 9 42 форму уравнений Максвелла Дальнейший ход рассуждений хорошо известен из 9 39. Второе из .уравнений (6.58) приводит к выражению магнитного поля (ср. 6.6) Н" = — (ягаб ~р" + )вА ") ,и далее при условии калибровки (ср. 6.8) рме)мр" + йч А" = 0 ;получается уравнение (ср. 6.9) ч еА~ (- йеА~ = — еЬ" (6. 60) (6.
61) (6.62) после чего магнитное поле выражается также через векторный потенциал (ср. 6.10) Н" = — ~, (ягад йч А" + йеА"). (6. 63) Решение уравнения (6.62) имеет вид (6.64) ч Итак, поля Е', Н' и Е", Н" выражены через векторные потенциалы А и А при помощи формул (6.5, 6.10, 6.59 и 6.63), так что искомое электромагнитное поле Е., Н, согласно (6.56), определено формулами Е = — —, ( дгаб йчА+ йеА ) — — го1А !л (. и (6.66) (ср. 6.13), а в данной задаче, когда магнитный ток распределен по поверхности 5, 4 (6.65) го1 Е" = — )мрН" — Ь, го1Н" =)меЕ" (6.
58) (6.59) 170 ,и введем векторный потенциал А": Е" = — — го1А . е Н = — го1 А — — ', (ягад йч А" + йеА") и Векторныс потенциалы, в свою очередь, определяются через электрические и магнитные поверхностные токи посредством (6.57 и 6.65), а фигурирующие в этих форму.чах плотности токов и Ч" связаны с заданными значениями векторов поля на границе Еь и Н соотношениями (6.54 и 6.55). Совокупность этих результатов называют иногда теоремой эквивалентности. 17! Примеры и дпражнения Рис. 133 Рис. 136 а) Рис, !34 Рис. !37 Г' =Е' Мпа ми(ю1 — йг) Е' = — Е' соз а соз б з! и (ю! — йг) (6.70) 172 Теорема эквивалентности находит широкое применение в теории СВЧ антенн. Мы вновь обратимся к ней при изучении дифракции электромагнитных волн.
В заключение отметим, что для выражения поля магнитных источников Е", Н" достаточно было применить принцип двойственности Я 43): формулы (6.65), (6.59) и (6.БЗ) получаются операцией (6.46) из (6.57), (Б,5) н (6.!О) соответственно. 1. Вывести формулу (6,55), 2. Вывести формулы (6.Б0 и 6.62). 3. Рассмотрим общую схему применения теоремы эквивалентности к расчету СВЧ антенн.
На рис. 134 условно изображены три типичных антенны этого диапазона: щелевая (а), рупорная (б) и зеркальная (в). В каждой из них можно различить ограждающую электромагнитное поле оболочку из металла Яв, открывакгцуюся во внешнее пространство плоской поверхностью Я~ («поверхность раскрыва»). Через раскрыв антенна излучает энергию. Поле на 3 обычно известно с той или иной степенью точи ности. Заменив его распределением эквивалентных токов и применяя к полной поверхности (металлическая оболочка+раскрыв) формулы (6.57 и 6.65), получаем: а-!аг ' м е !' '.и е заг А= ~ 1 41' — дЯ и Ам= — ~ 41 г!Я, (6.67) вх так как через металл внутреннее поле не проникает. Задача сведена, таким образом, к расчету излучения заданного распределения эквивалентных токов на поверхности раскрыва. С хорошей точностью можно считать, что эта поверхность находится «одна» в свободном пространстве (рис.
135), т. е. не учитывать влияния на излучение внешней металлической части антенны. 4. Эл е цен т Гюй ге пса. По принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта рассматривается как источник сферической волны (рис. 136). а) б) !)) а Суперпозиция этих сферических волн указывает положение 'фронта в следуюцтий момент времени. Определим характер излучения весьма малого участка фронта плоской волны — элемента Гюбгенго. Взяв этот элемент в виде прямоугольника, ориентированного, как показано на рис, 13?, а, отмечаем, что его поле эквивалентно электрическому ч магнитному поверхностным токам (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
