Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Мгновенная плотность потока энергии, переносимой ею, равна П = [Е, Н[ = хоА»Ж" соз' (озт — )гг), Нетрудно найти также плотности электрической и магнитной энергии волны: шк= ! Аосозо(»11 — )гг) и ша= — А»Ко созз(оо( — (гг). (5.71) 2 Привлекая (5.67), замечаем, что або =и!а, так что и = ш'" + ша = рАг со за (о!1 — )гг). 7еперь, пользуясь формулой (2.27), можно определить скорость движения энергии волны: Как видно, эта величина совпадает с ранее определенной (5.58) фазовой скоростью; оа=п. (5.73) В заключение сделаем следуюгцее замечание.
К представлению о плоской волне мы пришли, идеализируя поле на большом расстоянии от источника. Как это вытекает из принятых допущений, плоская волна с требуемой точностью описывает поле источника в пределах площадки, размеры которой Г достаточно малы в сравнении с расстоянием от него. В целом же волна источника в безграничном пространстве должа на иметь сферический фронт (рис. 107)— сферическая волна. В дальнейшем сферические волны будут рассмотрены. Что касается изученной идеальной плоской волны, то значение ее как простейшего реРис. 107 щения волнового уравнения выходит за рамки исходной задачи. Следующие главы посвящены подробному изучению электромагнитных волн, в процессе которого понятие плоской однородной волны сыграет важную роль.
4. Установить, по какому закону убывают векторы доля сферической волны при удалении от источника в отсутствие поглощения. Указание. При репгенин задачи следует исходить нз сохранения полного потока энергии источника, пропорционального провзвехеним векторов поля н поверхности фронта волны. 4 39. Электромагнитное поле и цепь переменного тока В заключение главы рассмотрим цепь переменного тока (рпс.
!10) с целью найти связь между ее параметрами и электромагнитным полем. Уже подчеркивалось (см. Введение), что безоговорочное использование понятия цепи допустимо лишь в том случае, когда размеры рассматриваемой системы очень малы в сравнении с длиной волны: 17 « г.. (5.74) При этом, очевидно, ег м'-аг» ганг, Рнс.
! 10 Примеры и упражнения 1. Амплитуда напряженности магнитного поля волны, распространяющейся в воздухе, равна А = 0,1 а,'м, а частота ! =10 Мгц. Определить амплитуду напряженности электрического поля, длину волны Х, а также мгновенную и среднюю плотность потока переносимой ею энергии. 2. Распространенная теле- визионная антенна представляет собой так называемын «полу- волновой вибраторз (рпс. ! 08), в )=л~~ — '-( 1Г Р . !ОО Рис. 108 длина которого 1 равна трем метрам прп ).
= б м. Какова должна быть длина этой антенны в дистиллированной водеу 3. На пути волны (рис. !09) выделен кубический объем со стороной а=1 м. Найти заключенную в нем среднюю энергию электромагнитного поля, если амплитуда вектора Е составляет ! в!м. 146 т. е.
запаздыванием фазы распространяющегося процесса можно пренебречь, а потому мгновенное значение тока во всей пепи практически постоянно. Этот факт выражается равенством 1 = ~ Ьг(8=сонэ! (5,75) в! l / (плотность тока Ь н площадь Яг, им пересекаелзая, могут изменяться вдоль !з цепи). l ! Будем исходить из уравнения баланса энергии (5.32), применяя его г к некоторой области пространства )г, в которой расположена цепь.
Пусть эта область сферическая, а цепь находится вблизи ее центра(рис. 5.10). Рис. 1!! Взяв сферу достаточно большого радиуса г, можно сделать поток энергии, проходящий через ее поверхность, исчезающе малым. Дело в том, что в силу условия (5.74) поля Е и Н близки в данном случае по своему строению к статическим, и произведение Е Н убывает приблизительно как 1/г« (см., например, (3.18) й (4.30а), в то время как сферическая поверхность возра!О* !47 и учитывая (5.34а), имеем: Р' = Р" -1-12оу (Ю" — )Р'»), (5.76) где, согласно (5.34), 2 2,! а 0 и Принимая во внимание (5.75) и ограничиваясь случаем, когда плотность тока можно считать постоянной в поперечном сечении 52, перепишем выражения Р' и Р" в виде: ° а Р,„= — Ь»Ю ~ Е г(1= — (*Э' «ю — 2 ау г.
(5.77) (5.78) стает лишь пропорционально г'. Полагая, таким образом, в (5.32а)'. фП 18=0 (*) Активное сопротивление переменного тока (5.80) оказывается таким же, как и для тока постоянного (при сделанном выше допущении о постоянстве плотности тока в поперечнике!). Что же касается формул (5.81) и (5.82), то они устанавливают свизь реактивного сопротивления цепи с ее электромагнитным полем. Действительно, по этим формулам: оуХ= ~ ~ !»О' г))г н — = ~ ~ вЕ' г((У (5 83) Напомним, что область интегрирования 1г должна быть настолько велика, чтобы хюжно было пренебречь существованием потока энергии через ее границу. Однако, как можно показать (мы вернемся к этому вопросу в гл. 6), размеры уг могут быть еще малы в сравнении с длиной волны: почти вся энергия электромагнитного поля цепи переменного тока сосредоточена в квазистационарной области.
Можно сказать поэтому, что волновой характер поля ле проявллетсч здесь как его существенное качество, Учитывая, что из (5.81) и (5.82) находим; )р',"' », = — х!' (5. 84) (5. 80) 4Ф" К=в Р (5. 81) Л С= —, 4юефз (5. 82) ь Как показано на стр.!88, любая цепь переменного тока теряет какую-то небольшую долю энергии в виде излучения, так что равенство 1 » ) следует рассматривать как приближеаиое. !48 Интегрирование по длине цепи (контур С) привело здесь к выделению э. д. с. Э' (ср, 8 32). Внося (5.77) и (5.78) в уравнение баланса энергии (5.76), придадим ему следующую форму: З- = 7 ~ ~ — "'+1 — ' (йУ- — К')1.
(5.70) 1Р Мы пришли, как видно, к формулировке закона Ома для цепи переменного тока, и величина, заключенная в квадратные скобки, выражает полное сопротивление цепи. Обычная запись закона Ома Яст 7 ~)? ! )(юЯ )~ (5.79а) возникает, если положить: )Р гаге 2 сС 2 С (5. 85) Полученные результаты фактически совпадают с формулами (3.88) и (4.52). Они позволяют сделать вывод, что емкости и индуктивности, используемые в теории цепей, не отличаются от соответствующих величин, определенных для электростатического поля и поля постоянного тока.
Сделаем, наконец, еще общее замечание о физическом содержании и значении параметров )?,,2' и С. Обращаясь к формулам (5.78), (5.80 — 82) и (5.83), видим прежде всего, что параметры цепи переменного тока это — интегральные. энергетические характеристики ее злектролгагнитного полл.
Можно ли вводить подобные характеристики, если система неквазистационарна и не может быть описана как цепь? На этот вопрос следует ответить утвердительно. Хотя токи различных участков системы в этом случае не одинаковы и распределение тока, вообще говоря, может быть очень сложным, в формулах (5.78), (5.81) и (5.82) можно иметь в виду вполне определенный ток какога-то участка.
Тогда некоторое электромагнитное поле окажется охарактеризованным параметрами )?, Х и С, «отнесенными к данному току». Разумеется, по статическим формулам эти параметры уже вычислять нельзя. В дальнейшем (2 74) будут даны примеры введения таких «эквивалентных параметров». Глава 6 7еН+ йеН = — го1Ь' чеЕ+ й'Е = !'врЬ""+ — афтаб ом е (6. 4) 1.
ИЗЛУЧЕНИЕ го1 Н = !веЕ -1- Ь', го1 Е = — !'в)>Н. (6.1) го1(Е -1-)вА) = О. Д!ч Ь""= /в еп", (6. 2) рого скаляра — >р, находим: Е = — (ц та 6 >р+ )вА). (6.6) В статическом случае и!чН=О и б!чЕ=д 1е (6.3) ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Возможность излучения, т. е. передачи электромагнитной энергии из некоторой ограниченной области, включающей источники, в окружающее пространство, непосредственно следует нз уравнения баланса энергии (2.12). Однако излучение вызывается лишь переменным процессом, Действительно, в электростатическом поле вовсе нет движения энергии (вектор Пойнтинга равен нулю); что же касается электромагнитного поля постоянного тока, то, как легко показать, полный поток энергии через любую замкнутую поверхность, окружающую цепь тока, всегда равен нулю.
В основе теории монохроматического электромагнитного излучения лежат уравнения Максвелла в форме (5.41), включающие плотность стороннего тока. В дальнейшем мы будем писать их, опуская точки над комплексными проницаемостями е и )е Имея в виду, что вектор Ь' подчинен уравнению (1.16) где д' — плотность стороннего заряда, и образуя расходимость левь1х и правых частей (6.1), находим: Подобно тому, как это делалось в 3 38, векторы Е и Н можно поочередно исключить из уравнений Максвелла (6.1).
150 При этом получаются неоднородные волновые уравнения отличающиеся от (5.52) и (5.54) присутствием в правой части Функций стороннего тока Задача об излучении ставится следующим образом: в среде, характеризуемой параметрами е и р, распределен сторонний ток Ь"'"'; требуется найти векторы поля Е и Н, удовлетворяющие уравнениям Максвелла (6.1) или (что равносильно) волновым уравнениям (6.4). В более сложном случае, когда среда делится на несколько областей с различными свойствами, векторы Е н Н должны также удовлетворять соответствующим граничным условиям. Поведение найденного поля на бесконечности проверяется с помощью теоремы единственности 8 36): при наличии поглощения векторы поля должны убь>вать с удалением от источника бь>стрее, чем 1,'г. Однако вместо того, чтобы искать решение задачи об излучении непосредственно в виде векторов поля, обычно вводят ради удобства вспомогательные функции.
Подобными функциями — потенциалами — мы уже пользовались при изучении электростатики и поля постоянного тока. Ь 40. Электродинамические потенциалы Используя введенный в З 29 векторный потенциал А, запишем в комплексной форме равенство Н = — го1 А. (6.5) р С его помощью второе уравнение Максвелла (6.!) приводится к виду Замечая, что величину, заключенную в скобки, в силу известного тождества (см.
з !6) можно приравнять градиенту некото- (в — +О, Š— э Е, >р — ~>р) полученное соотношение переходит в (3.4), где ч> играет роль электростатического потенциала. 1Г>1 или (6.8) уравнение Е= — —,,(дгас16!ч А+неА), (6. 10) !)2 / 2 св1; ф (!) =-, ' ~ ' 9 * .''! — — ') дУ, А(!)= ~~ — ~ — Ь' (! — —,!ач', (6.12) !52 Теперь величины ф и А, связанные с векторами электромагнитного поля формулами (6.5 и 6.6), мы будем называть влектродинамическими потенциалами. Найдем уравнения, которым удовлетворяют электродинамические потенциалы. Вводя (6.5) и (6.6) в первое уравнение Максвелла (6.1), получаем: го! го! А — йе А =- — !зае)4 огай ф -,'- )46", !7'А+ йеА = угад (!4 аерф -'; д!ч А) — )46" (6.7) С целью упростить это уравнение используем неоднозначность потенциалов — наложим дополнительное условие калибровки !ые!ир+ д!ч А =- О, тогда (6.7) переходит в неоднородное волновое относительно А: !72А 1 йеА „Ьст (6.9) Что касается скалярного электродинамического потенциала <р,' то условие калибровки (6.8) позволяет исключить его из соотношения (6.6), которое после этого принимает вид так что оба вектора электромагнитного поля выражены теперь только через векторный потенциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
