Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Напомним, что по формуле Эйлера ек"'+ч) = соз (ы1+ ф) + ! з) п (а)1+ ф). Отсюда видно, что скаляр ф (5.2) и вектор Ч (5.2а) можно определить как вещественные части величин ф ф ек«и+Фа) (5.4) У а Ч ея«я+3 ) ). )г екаь) 3 )+ Ч еи~)+3 \ ! »»т» а« »т +аз »и )эз Упу>ажнение (5 71 (5.10) е'=е и е оуы. их комплексами, получаем: Величина го! Е = — уыВ. е" о е' ме (5.1 !) 15. ! 2) го! Е = — усоВ„,. 125 которые называются их комплексами. Талип образом, ф=йеф и Ч=КеЧ (5 5) (Ке — знак вещественной части; ниже будет употребляться также знак мнимой части 1ш).
Лалее мы будем говорить о комплексе Ч, ибо все заключения о его компонентах справедливы и по отношению к комплексу ез Выделим в величине Ч (5.4) множитель свободный от временнои зависимости и характеризующий как амплитуды, так и фазы компонент вектора Ч (5.2а). Его назынакзт комплексной амплитудой. Таким образом, комплекс Ч представляется в виде произведения комплексной амплитуды Ч,„на временной множитель езвь, Если комплекс Ч удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то это значит, что данному уравнению удовлетворяют его вещественная и мнимая части. Поэтому, когда требуется найти решение такого уравнения в виде Ч (5.2а), можно искать его в форме комплекса Ч (5.4), а затем уже получить нужное решение как вещественную часть комплекса. Этому способу мы будем всегда следовать при изучении гармонических во времени процессов, ибо, как легко показать, он существенно упрощает уравнения электромагнитного поля, освобождая их от временной зависимости.
Указанное упрощение вытекает как прямое следствие того, что дифференцирование комплекса по времени эквивалентно его умножению на уы; д Ч=уыЧ д ду (5. 31 Так, заменяя во втором уравнении Максвелла векторы Е = Е соз (е»У + фа) и В = В„соз (ыУ + фа) Множитель ез ', присутствующий в комплексах Е и В, можно вынести и оставить в уравнении лишь комплексные амплитуды: Итак, в задачах электродинамики удобно пользоваться уравнениями электромагнитного поля, записанными относительно комплексов или комплексных амплитуд, и находить векторы поля как веп1ественные части полученных комплексных решений. Записать относительно комплексных амплитуд все уравнен и я (5.
1). 34. Комплексные проницаемости. Система уравнений монохроматического поля Запишем уравнение Максвелла в комплексах, используя равенства 1»= еЕ; В =рН: го ! Н = утве Е -, 'б ! (5.9) 1Е= — у рн. 1 В настоящем параграфе мы будем рассматривать электромаг) нитное поле в области лишенной сторонних сил (Е'" =О). Исключая из первого уравнения (5.9) комплекс 6 с помощью дифференциальной формулировки закона Ома (1.23) запишем его правую часть в следующем виде: . а у Е+Ь=у ( — у —,)Е Комплексная величина, заключенная в скобки, формально ньиолняет функцию диэлектрической проницаемости проводящей среды при монохроматическом поле. Она называется кемплекснеп диэлектрической проницаемосгпью и обозначается символом именуемая етаигенсом угла потерь» среды !дА= —, о е»е получаем: йчН=О и с!!чЕ=-О.
(5.16) Это и есть уравнения <19е В = 0 и с) !э 0 =- о, го1 Н =- раа Е (5. ! 3) с(сч Ь=- — 1с Е. (5.17) с!в (ь ! — )Е 0 йчŠ— 0 п,п п,и,м — — = — е-с .= и' — 1р", и н„ (5.1й) 11римеры 'и упражнения го1Н =1веЕ, го1Е= --!врН. !э! есть не что иное, как известное из 3 7 отношение амплитуд токов проводимости и смещения. Итак, с введением диэлектрической проницаемости (5.10) первое уравнение Максвелла принимает вид и становится симметричным второму уравнению. Но и магнитную проницаемость в общем случае следует рассматривать как величину комплексную. Понятие о комплексной магнитной проницаемости было введено впервые В. К, Аркадьевым в 1913 году.
Физическое содержание его можно понять на примере ферромагнетика. В результате гистерезиса и вязкости при намагничивании возникают потери, происходит отставание по фазе магнитной индукции В от напряженности поля Н в ферромагнетике. При достаточно малых амплитудах поля ферромагнитнукс среду можно считать линейной и писать для гармонического про- цесса Н =Н„,созвс и В =В соз(в! — Л"), и где Л вЂ” указанное фазовое отставание. Тогда, как это видно, отношение комплексных амплитуд В„, и Н„оказывается комплексной величиной При очень высоких частотах могут стать заметными аналогичные электрические процессы, приводящие к отставанию вектора 0 от Е.
В общем случае вид мнимой части диэлектрической проницаемости обусловлен как проводимостью (5.12), так и этими процессами. Возвращаясь к уравнениям Максвелла (5.9), запишем их с комсслексными проницаемостями: Нетрудно убедиться в том, что эти два уравнения заменили собой теперь всю систему уравнений электромагнитного поля (5.1). действительно, не включенными в них остались лишь третье и четвертое уравнения системы. Но они вытекают из (5.15) каь простые следствия: применяя к обеим частям (5.15) оператор расходимости б!ч и учитывая тождество вида йч го17 О, записанные относительно комплексов Н и Е. Идентичность первого уравнения (5.!6) и первого уравнения (е) заметна сразу.
С целью сравнить вторые уравнения (5Л6) и (я) привлечем дифференциальную формулировку закона сохранения заряда (1.16) в комплексной форме: Взяв отсюда выражение плотности заряда о -- — с) ге Ь вЂ”. 1 — б ! и Е с'.'.б в ' в и внося его во второе уравнение (е), получаем второе из уравнений (5.16): Итак, уравнения Максвелла (5.15) составляют полную сссстессу уравнений монохроматического электромагнитного поля, 1. Рассмотрим плоский конденсатор, заполненный несовершен! ным диэлектриком. К пластинам его приложено напряжение (l = (l„сов в!.
Плотность полного тока конденсатора есть дп Ь+ —, дс ' или, в комплексном виде, Ь+ дс — —. 1ваЕ. дП Будем считать, что пространственное распределение поля не отличается от статического, и площадь пластин Я настолько велика, что краевыми искажениями можно пренебречь, тогда Е =.О 11 и 1„,=1веЕ„,Я (1 — ток конденсатора, 1 — расстояние между его пластинами). С= — =С(1 — 1!йа) «Я (5. 19) Отношение !/„! ! (5. 18) ! !о>«Я о>Г называется комплексных! сопротивлением конденсатора. Входящую в него величину Если же требуется в нелинейном соотношении заменить ве>.- тор поля выражением через комплекс, то используют очевидное равенство Ч вЂ”.-,- (Ч 1-Ч") ! >5.2! ) !звездочка означает комплексное сопряжение).
Записанная с его помощью мгновенная плотность энергии монохроматического поля имеет вид можно назвать «комплексной емкостью», а тангенс угла потерь определить как 1 С !йб = ко С (5.20) Зада ни'е. Покажите, что при «параллельной схеме замещения» конденсатора (рис. 100), для ко. що арой 112= 1Я+1о>С, справедливо выражение тангенса угла потерь 1яб =-1 о>С)«.
(5. 20а) й 35. Средний баланс энергии электромагнитного поля Метод комплексных амплитуд, пригодный во всех случаях когда векторы поля связаны линейной зависимостью, непосредственно не применим к вычислению его энергии и других квадратичных величин. Действительно, принимая во внимание нера- венство Ке(аЬ) - Ке(а) !«е(Ь), мы констатируем, что произведение векторов отличается от веще- ственной части произведения их комплексов Ч,Ч», -йе(»>Р») и, разумеется, то же самое справедливо в отношении квадрата вектора Р» ~ ке()>»).
! 29 2. Какова комплексная диэлектрическая проницаемость идеального диэлектрика и идеального проводника? 3. По данным Я 4 и 7 оценить комплексную диэлектрическую проницаемость различных сред в диапазонах звуковых, радиои сверхвысоких частот. 1,, ! и — 2 (аЕ«~РН»)= — „(а(Ел Е*Р— ')4(Н+Но)»), !5 22> чгновеинь!й вектор Пойнтинга (5 23) п=-(е, н) = абие+ е*), (н+ н*)) ит. п.
Под словом «мгновенный» имеется в виду «существующий в данный момент 1». Не меныпий интерес в теории гармонических процессов представляют квадратичные величины, средние во времени. При вычислении их выбирают промежуток времени т, значительно превышающий период процесса Т вЂ”. 2п>м! т» Т. т и= †'~пйе (5.24> о При этом, согласно (5.23), ~ И' ,'=-' Т (Е+ Е") (Н + Н') з(п (Е, й) = = 4 (ЕН + Е "Н + ЕН*+ Еоно) з>п (Е, Н) а интегрирование приводит к следующим результатам: т т 1, ~Ей =1, „Н„( г'"'+':+ й>=0; о о '1' т ! г ') Е~Н йГ= — Е Н„, ««е '!ое он> й! . Е Н е — 1!»я-он> -Г - .! ФП 9 3««»» М !!44 Таким образом, понятия «средней» величины и «средней за период» совпадают.
Найдем среднее значение вектора Пойнтинга го(На =- — !ве Е*+ Ь*, го( Е =- — )ви Н. . 'П вЂ” — — [Е,,„Н„,] соз (!Рг -- !Рн). (5 25) (5. 25) ойч П == — 1'2в (вн ща) р (5.31а) фПй5= )2 (У- У,) (5. 32а) где з средняя плотность мощности— р= Кер, (5.30) 2 гдг у' !3! !зо ! т ! -пгн! В г,!! й! '!' и Сг!сдавайте!!ьно. на основании (5.24) ~ П [ = — Е Н [г' 'чн ен!+ е '!тн "и'! з!и (Е, Н) Переписав этот результат в виде ! П ~ = ! Ке [Г, Н] = ! йе [Е, Н'], констатируем, что среднее значение вектора Пойнтннга можно получить как вещественную часть вектора П= — [Е,Н ], (5. 27) который называется комплексным вектором По!)нтинга.
Итак, П=КеП. (5.28) Подобным же образом, но гораздо проще (это отнесено к упражнениям) находятся выражения в комплексной форме величин !н и р. Средняя плотность энергии оказывается равной — ! . ! и = — (гЕЕа -1- р НН*) =- — (гЕ„, — РН„,!. Р=- — ЕЬ ! 2 называется комплексной плотностью мощности. В отсутствие сторонних си онних сил векторы Е и Ь, как это следует из (1.23), находятся в фазе. Тогда р — величина вещественная, и мы имеем: ьз (5.30а) Лля установления связи между средними величинами !о, П и Р воспользуемся уравнениями Максвелла в форме (5.9), первое нз которых запишем относительно комплексно-сопряженных векторов: Умножая все члены первого уравнения на Е, а второгона На н производя простые выкладки, известные из 413, находим: д!ч [Е, Н*] = — )в (РНН" — еЕЕг) — ЕЬг, (5.31) а после интегрирования по произвольной области )г и применения формулы Остроградского — Гаусса получаем: '3'[Е, Н )й5= — !в ~(РНН" — гЕЕ*)а)г — ~ ЕЬ*й)г (532) з ч С учетом формул (5.27, 5,29 и 5.30) перепишем эти ртаты таь.
= — ~ РН;„г!)г н )рэ — ( ~а й)г ! [ Ег й), 1 ч вь!Ражают сРеднюю магнитную и среднюю электрическую эне „„ в области )l, а — комплексную мощность. ' Мы получили, таким образом, уравнения баланса энергии монохроматичгского электромагнитного поля е комплексной фоомг и должны теперь выяснить их смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
