Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Помещаемый в поле диэлектрик также вызывает его деформацию. Вектор Е принимает иа границе диэлектрического тела значения, удовлетворя2ощне условиям (1.46, !.47). Соотношение внутреннего и внешнего полей зависит от диэлектрической проницаемости и формы тела. Физическая сущность процессов в случаях проводника и диэлектрика различна. В первом случае имеет место электростатическая индукция, а во втором— поляризация диэлектрика.
Однако 2 определение деформированного по! г 3 ля и тут и там сводится к наг,р хождению решения уравнения Лапласа при соответствующих граничных условиях. Мы рассмотрим задачи, решаемые путем непосо, редствеиного интегрирования этоэ' го уравнения в криволинейных координатах. г Проводящий или диэр с. ев лектрический цилиндр. Пусть в однородное электростатическое поле Е, = увЕ2 поме. щается бесконечныи проводящий или диэлектрическии цилиндр, параллельный оси г (рис. 60).
Требуется найти поле при наличии цилиндра. Электрическое поле не симметрично относительно оси цилиндра. Поэтому в записи оператора Лапласа ! д Х д~р ~ ! д2~р д2<р г'2р= — — ( г — )+ — — + 2 дг~ д2) 22 да2 д22 не равны нулю ни радиальная, ни азнмутальная производные (аде ~ О, д!да Ф О). Однако поле однородно вдоль оси цилиндра (д)дг=О). Уравнение Лапласа, таким образом, имеет вид (3.114) Будем искать его решение в виде произведения двух функций р=ХУ, (3.! 15) чб одна из которых Х зависит только от координаты г, а другая '2' — лишь от а. Подстановка (3.115) в (3,! 14) дает: !Х дХ вЂ”,( г — +22 — )+ — — „=О.
Х (, ! д ) У д22 Левая часть полученного уравнения, как видно., представляет сумму двух функций разных переменных: г и а, Эти функции, следовательно, никак не связаны друг с другом — взаимно независимы, поэтому можно положить ! л дХ 2 д2Х 2 Х)( д2,д22 ) —,( г — +г" — )=и н — —,= — и, У ди2 еде пх — некоторая постоянная, или — = — и !' 2 ди2 (3. ! !6) д2Х, ! дХ 'Х + — — = л'— д22 Г д2 (3. ! 17) Произведенная операция называется разделением переменных, а результате ее получены обыкновенные дифференциальные уравнения.
Решение первого из них (3.116) хорошо известно У = А соз пи + В з)п па. (3. 118) Случай же и=О, как это видно из (3.1!8), соответствует азнмутально-однородному полю (д,'да=О) и иас не интересует. Итак, общее решение уравнения (3.114) есть 2р = (А соз па+ В з)п па) (Сг" + Рг ), (3.120) Возвратимся к поставленной задаче, Потенциал однородного ноля Е, = у,Е,, согласно (3.9), равен 2р2 = Ч2м — ~ Е2уо "у = 2ро2 — Е2у о где ~ра2 — потенциал в плоскости у=О.
В цклиндрической системе координат (рис. 61) это записывается так: 2р2= 2рр2 — Е,гсозо. (3.12! ) Если цилиндр проводяи(ий, то его поверхность эквипотенцнальна. Остается допустить, что внесение такого цилиндра Что касается второго (3.1!7), то нетрудно проверить, что его решением при и ~ 0 является функция Х= Сг" +Рг ". (3.119) Рис. 61 Рис. 62 и В=О. Кроме того, потенциал ф, не может неограниченно возрастать по мере удаления от цилиндра, поэтому также С = 0 Значит, фг= Кг 'соха, (3.
123) где К= А0 — подлежащая определению постоянная. Раскрывая граничное условие (3,122) фи — Ег!с соя а 4- К)7 ' соз а =- сонэ!, (3. 122а) находим эту постоянную К = Е,)7г (3. 124) и записываем потенциал искомого поля Е = Е, + Е,. Ре" ф='ре+ерг=фо Е,.(г — — )соха (3.125) Само поле определяется по формуле (3.4): йгх яг к Е = — дгаб ф = г,Е, (1+ —, ~ соха — а,Е, (1 — —, ) яп а. (3,126) г о г~ е Полагая здесь г = йе, убеждаемся, что вектор Е нормален поверхности цилиндра; Е(,=а= г,2Е, соха. (3. 127) На большом расстоянии от него (» » )с) поле Е практически не отличается от первоначального однородного поля Е,: Е ! «в и = Е, (г, соз а — а„яп а) = Е,уо = Е,.
(3. 128) ае в поле Е, вызывает появление дополнигельного поля Е,, урав нивающего потенциал на его поверхности(г= !с). Это значит, что ф=ей,+ р,=сонэ! при « =)т, (3. 122) где ф,— потенциал поля Е,. Отсюда нетрудно заключить, что потенциал ф, должен так же, как и ер„косинусоидально меняться по азимуту. Он представляет собой, следовательно, частный вид решения (3.120) при и=! Строение поля а плоскости поперечного сечения цилиндра показано на рис. 62. Возьмем теперь случай диэлектрического цилиндра. Искомое внешнее поле обозначим Е„а внутреннее — ЕР тогда на основа. иии П.46, 1.47) Еео = Ееа, е,Е,„= е,Е„! (3.
129) Е = — ягабф =г, Е,4- —,)соха — а,( Е,— —, ~з!па -е= Ег= — йгас)ф, = М ( — г,еаза+а„япа) Внося эти результаты в систему граничных условий (3,129) получаем; ° —,— М=Е, — е ~ее- — е, ) откуда К = Е,есг — ' —.' и М = — 2Е, (3, 132) о; + о, "' о; + с, ' Итак, Е, = Е, ~ го(1 ) —, — ''~) соз а — ао(1 — —,- — '') з!п а1 (3.133) е~ +ее.. и Е =. ' (г соха — а япа) = 2ДГОе 2Е«ое — о. +о' о Характерно, что внутреннее поле однородно и параллельно первоначальному полю Е,.
Внешнее же представляет собой сумму вез где аг и е,— диэлектрические проницаемости цилиндра и внешней среды соответственно. Потенциал внешнего поля представим в виде суммы ф.=фг+фг (3А30) где ф, — по-прежнему потенциал начального поля Е, (3.121), а фг имеет вид (3.!23). Что касается потенциала внутреннего поля фп то он так же, как и ф,, представляется решением (3.120) при п=) и В=О Но вид радиальной функции Х теперь иной: необходимо взять 0 = О, так как иначе ер; обращается в бесконечность на осп цилиндра. Таким образом, ф = Мг соза. (3.!3! е Выражая поля через потенциалы, имеем: Глава 4 (3.! 47) (4! а) (4. !) ф Н о!= l; ь $ В,(5=О го1 Н = Ь; б!ч В = О; В= рН.
2. В задачах о проводящем цилиндре и шаре, вносимых в параллельное поле, предполагалось, что первоначально эти тела не были заряжены. а) Найти плотность заряда, индуцированного на поверхности каждого из этих тел. б) Пользуясь принципом суперпозиции, выразить потенциалы и поля в рассмотренных задачах при условии, что до внесения в однородное поле цилиндр и шар были заряжены. 3. Показать, что проводящий шар, внесенный в однородное поле, ведет себя как диполь с моментом р = 4пее(зЕ,, (3.
146) У к а з а н и е. Срааннте поде Ее = Š— Еь созда ааемое индуцироааниым иа поаерхиости шара зарядом, с полем дпполя (3,27). 4, Показать, что в аналогичном случае диэлектрический шар ведет себя как диполь с моментом а1+~ае 5. Взяв готовое решение задачи о диэлектрическом цилиндре и однородном поле, найти решение для цилиндра проводящего ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА Для случая постоянного тока (ЬФ О, д)д(= О) система урав.
пений электромагнитного поля (!.58, 1.58а) принимает вид; го1 Е = О; фЕ ()=О; б1ч0=в; ( ) ф0 (5= 0с(5 = д, О =еЕ. а Группа уравнений (*) идентична уравнениям электростатики (3.! — 3.3), изученным в предыдущей главе. Первое из них, в частности, свидетельствует, что электрическое поле постоянного тока подобно электростатическому полю потендиально. Но вотличие от электростатического оно существует и в проводящей среде Е=Ь!о, а в диэлектрике его эквипотенциальные поверхности не совпадают с проводящими границами, так как последние несут ток и имеют тангенциальную компоненту вектора Е (ср. 2 23). Вторая группа уравнений (**) характеризует магнитное поле постоянного тока, которое, как видно из уравнения го1 Н = Ь, оказывается также потенциальным в тех областях, где ток отсутствует (Ь= 0).
эз б 28. Магнитостатика В этом параграфе мы ограничимся наиболее простыл4и проявлениями магнитного поля. Будем рассл4атривать лишь области, не содержащие тока (6= 0). Поставим также условие, чтобы любой мыслимый контур в области не охватывал тока (рис. 66,а). Кольцевые области, подобные изображенной на рис. 66, б, охватывающие ток, пока исключаются из анализа. Тогда уравнения (4.1) группы (**в) и соответствующие им интегральные соотношения (4.!а) образуют независимую (см. также 9 11) си- 7 стелу уравнений магнитостатики: ! с ,4 4 .2 го! Н = 0; ф Нй) = 0; д)ч В О (4.2) а7' 6 В=РН. (4.2а) Рис. бб Первое из дифференциальных уравнений позволяет Я 16) немедленно написать: Н = — ягаб ц>", (4, 3) где ч>." — л~агнитостатический потенциал.
Из (4.2) следует, что магнитостатический потенциал подчиняется уравнению Лапласа ~44р" = О, (4.4; Принимая к тому же во внимание, что граничные условп> для вектора Н 8 9) )> ы = Нзо (4.5) Р,)7>„= Р.О,„ ничем не отличаются от таких >ке условий для вектора Е, призе дим к очевидному выводу: Решения задач магнитостатики формально идентичны решениям соответствующих электростатических задач и могут быть получены из них простой заменой величин ЕнаНиенаР.
Так, в случаях цилиндра и шара, помещаемых в однородное магнитное поле, на основе результатов (3.! ЗЗ, 3.134 и 3.142, 3.143) имеем: 94 Цилиндр >>г 2Р,,Н, Рн ГРв (4.7) Шар Пан Р,, НЗ Р. (4. 8) (4.9) ЗРен> 4 Р..4-2Р (обозначения здесь имеют тот же смысл, что и в главе 3). Однако, как это понятно, отнюдь не каждой электростатичс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
