Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а) С' =- —.-- ""нэ, (3.80) эь!и — —, нэ 1и— ТР, ' б1 С=.- — '"',' ' - . (3.8!) н,14э(К вЂ” ~~,)-4 н,й,(Рэ — Й) ' 7. Два одинаковых плоских конденсатора (рис. 52) заполнены одним и тем же диэлектриком (относительная диэлектрическая проницаемость е„) и заряжены до разности потенциалов ~рх — ~рв=(7. В первом конденсаторе (а) диэлектрик прорезан плоской щелью шириной б, параллельной пластинам; во втором конденсаторе подобная же щель перпеникулярна им. Показать, что поле в щели второго конденсатора (б), если она весьма узка (с( — О), в е„раз больше, чем в щели первого.
а 6 24. Электростатическая энергия Из главы 2 известно, что с Рис, 52 электрическим полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью и в некоторой области )< определяемая интегралом (<г' = 2 1 ЯЕчй)<= — 1 Е0й)<г. (3. 83) к У Из этого фундаментального результата мы будем исходить ири изучении энергии электростатического поля. Возьмем общий случай: в произвольной области 1', ограниченной поверхностью 8, распределен заряд с плотностью Вычисляя, заключенную в области энергию, внесем под знак иитеграча (3.83) выражение напряженности (3.4) Ж = — — ~ 0цгадфЛ' е ! г Ъ и преобразуем подынтегральное выражение в соответствии с известным векторным тождеством б)у ф0 ав ф <11у 0+ 08габф, Тогда г ~ ф 61~ 0й)~ - 2 ~ д<в ф0<!1 (У = —, ~йфй — —,~ф0й8.
(3.84) В дальиейш<гп будем считать заряженную область 1' уединенной: где бы то ни быто вне (7 нет зарядов (у= 0). Распространим интегрирование на бесконечное пространство. т. е. будем учитывать полную энергию. При этом поверхностный интеграл в (3.84) в р.зультате удачения границы 8 в бесконечность исчезнет. Действительно, в сравнении с расстоянием до новой границы заряд, сосредоточенный внутри ь'., заведомо можно считать точечным (ь~ 1,19), Вводя под знак поверхностного интеграла выражения поля (3.!8) и потенциала (3.20) точечного заряда и интегрируя ио поверхности сферы неограниченно возрастающего радиуса, имеем: ф0сЬ=1ип 4пг- в — ч, =- О (аиалогнчный случай рассматривался в ~ 22).
Итак, электростатическая энергия уединенной области есть (3. 85) Ж'= — 1 офй)<. 2 ! й Заменяя в первом интеграле д(т0 на о, а ко второму применяя формулу Остроградского — Гаусса, получаем; С и с т е м а п р о в о д н н к о в. Применим полученную формулу п случае уединенной системы и проводящих тел. Вне проводников заряды отсутствуют, поэтому. согласно (3.85), и 11"'- 2 Х ~Е<ф<й)7 ,=л й< где )<< — объем <-того проводника, ф, — его потенциал и о,.— объемная плотность заряда. Ввиду того, что потенциал каждого проводника постоянен.
энергия системы П = 2 1 ф< ~ й<аг — 2 Х ф1ч< к' 1 — ! (3. 86) где у< =- ~е;й)' й; Применяя формулу (3.86) и конденсатору (п=2, <1,=<) и <),=. — <7), имеем: 13. 881 2 1' фе) 2с 2 Собственная и взаимная энергия, В гл. 2 было показано, что на энергию электромагнитного поля не распространяется принцип суперпозиции: при соединении элементов в систему к их собственной энергии добавляется энергия взаимодействия, или взаимнал энергия.
В случае системы проводников потенциал каждого из иих можно представить в виде суммы ф< =%+ ф< (3. 89) о где ф,— потенциал проводника в уединенном состоянии, а ф,— потенциал, создаваемый действием всех остальных проводников. 7з — полный заряд <итого проводника. Необходимо подчеркнуть, что, используя в случае проводника представление об объемном заряде, мы фактически имеем в аиду заряд, расположенный тонким слоем у его поверхности Я 23). Разумеется, этот заряд занимает некоторый объем, хотя чаще более удобно рассматривать его как поверхностный (8 8,23) и пользоваться вместо о величиной ~. Из (3.86), в частности, следует, что энергия идиночнога проводника (и = 11 равна ~с (3.87) (3.
90) или Чь и Р~'З 4пвнс в Рпс, яз = У (сР. срс) = Усмр (3. 95) или -и д~р И" = у — 1=д1ягаб,~р= — рЕ, д1 (3.92) (3. 96) Лримеры и упражнения Соответственно этому перепишем (3.86): в в (Р --,—,'У, Р,Ув+ —,,'У Р;Ув, ,В й в 7в (3.90а) где первый член есть собственная энергия системы проводников, а второй — взаимная. Говорить о собственной энергии идеального точечного заряда (или системы зарядов) не имеет смысла: вместе с полем и потенциалом она обращается в бесконечность. В этом сказывается несовершенство представления о заряде, сосредоточенном в точке. Однако понятие взаимной энергии системы идеальных точечных зарядов сохраняет смысл, так как все потенциалы ~р конечны.
Рассмотрим еще энергию взаимодействия точечных зарядов с заданным полем. Работа, совершаемая при удалении из электростатического поля Е = — вагаб ~ заряда д, равна щ. Следовательно, в у~р выражает энергию взаимодействия заряда с полем Ф . В случае п зарядов ун= ~', д,фп 1=-1 где э, — потенциал поля Е в точке 1, содержащей заряд д, Возьмем диполь (я=2, а,=- — д и ав=-у).
Энергии взаимодействия дпполя с полем Е равна т. е. выражается взятым с обратным знаком скалярным произведением момента диполя на напряженность поля. 1. Путем непосредственного интегрирования поля найти электростатическую энергию проводящего шара в среде с диэлектрической проницаемостью е. Внося (3,64) в (3.82), записываем плотность энергии, связанной с заряженным шаром: (3.93) Элемент объема в сферической системе координат (рис. 53) есть б Р = г' з )п 0 Й с(б с(и. Интегрируя шв по всему объему, занимаемому полем (бесконечное пространство вне шара), получаем: и и й о 2.
Таким же путем найти энергию сферического конденсатора. 3. Определить собственную и взаимную энергию двух металлических шаров, за. ряды которых равны д, и дм а радиусы — й, и 14,. Расстояние между центрами шаров г значительно превышает размеры каждого из них. Собственные потенциалы шаров вычисляем по формуле (3.70): Каждый шар в поле другого можно рассматривать как точечный заряд, так что на основании (3.20) 4пег По формуле (3.90) находим собственную энергию н взаимную энергию шаров: ((7 =-— э 414в 4пес Как видно, энергия взаимодействия шаров отрицательна, если они заряжены разноименно.
Это соответствует тому факту, что при соединении шаров в систему (прн сближении их из состояния бесконечного удаления) силы поля совершают работу, и полная энергия уменьшается. Наоборот, при сближении одноименных зарядов совершается работа против сил поля, так что полная энергия возрастает (величина У' положительна). 4. Вычислить изменение энергии плоского конденсатора при уменьшении расстояния между его пластинами вдвое: а) если разность потенциалов пластин остается постоянной н б) если остается постоянным заряд каждой пластины. 77 й 25. Задачи электростатики и методы их решения Прямой задачей электростатики является нахождение поля по заданному распределению заряда.
Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона (3.!4), решение которого имеет внд (3.23) 1 Ед'г' (3.97) чпв .1 г (считается, что все заряды расположены в конечной области пространства). Поле находится, согласно (3.4), как градиент потенциала. Обратная задача — выявление зарядов по известному. полю — сводится, согласно (3.2), к дифференцированию. Во многих типичных задачах электростатики требуется найти поле в однородном диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела. Если в самом диэлектрике нет свободных зарядов, то потенциал искомого поля подчиняется уравнению Лапласа (3.15). Совокупность всех проводящих поверхностей образует г)ззниг(у области существования поля, на которой, как известно нз 3 23, Е,=О, $ на 5.
(3. 98) Это равносильно следующим граничным условиям для потенциала. легко получаемым отсюда с помощью (3.4): дч дт д~р на 5, (3.98а) дл е Итак, для определения потенциала надлежит решить уравнение Лапласа при граничных условиях (3.98а). Это достижимо лишь при достаточно простой форме проводника (проводников системы), когда могут быть подобраны подходящие криволинейные координаты. Простой пример такого рода рассмотрен в 3 23. Однако для указанной постановки задачи часто не хватает данных, так как практически бывают известны лишь полные заряды проводников либо их потенциалы, а не распределение заряда Впрочем, задание потенциалов или полных зарядов проводящих тел принципиально достаточно для нахождения электростатического поля, т. е. единственным образом определяет решение уравнения Лапласа.
Теорема единственности. Доказательство этого положения составляет содержание вгеоремы единственности электросгпавчиксс. Начнем с того, что запишем, формулу Остроградского — Гаусса относительно вектора А= фягаб ф Йч(чййгабф) Ыг=- ~ фягаб ф85. г б Но ввиду тождества (см. приложение) 8(ч (фА) = Аягабф+ ф Йу А, мол но написать 8(ч (фйгаб ф) =- йгаб ф йгаб ф+ чР7'гг.
Под знаком интеграла в правой части уравнения сделаем преобразование йгабфй8=ягабьфй5=-. д 85. д<р Подставив найденные результаты под знаком соответствующих интегралов, получаем равенство ') (йгайфйгаб ф — , 'чрев'ср) Л'= ~ ф д о5. (3,99) У б Это одна нз формулировок теоремы Грина, играющая в доказательстве вспомогательную роль. Теорема единственности состоит в следующем: В диэлектрической среде расположена система проводников, известны их потенциалы, либо полные заряды. Требуется доказать, что заданные условия единственным образом определяют потенциал в любой точке поля. Допустим противное, а именно, что для каждой точки диэлектрика существуют два различных решения уравнения Лапласа ~р, и ф, Разность их назовем 'рг 'Р2 = бф и положим в формуле (3.99) ф- ф- бф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
