Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 11
Текст из файла (страница 11)
), через еадаЕ н рассматривая Е и бесконечности как поле точечного заряда, видим, что Таким образом, потенциал, создаааемын днпольной моделью, т. е, саязаннымн зарядами диэлектрика, есть 6!а Р Фд " ') - — и!', 1:„а) У а полный потенциал, на осноаанпн (3.50, 351) имеет апд Прирааннаая даа раз.тнчных пыраа ения потенцкала (3.49) и (3 55) а это равенство есть не что зное, как определение полярнзозанности, данное з $ 5. Теперь, отмечая тождественность фораол (1.30) и (ЗМЗ), можно убедиться, что коэффициент пропорциональности (3.47) — это ааеденная а б Б электрическая восприимчивосгпа. Электрическая модель диэлектрика раскрынает физическое содержание этого понятия. Наконец, как это видно из сопостазления (3.49) н (3.46), взятая с обратным знаком расходимость поляризозанности играет роль плотности заряда дипольной модели, т е.
плотности связанных зарядон — ди Р=-о,„. 3. ПРОВОДЯЩИЕ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Ь 23. Проводники в электростатическом г.оле. Емкость электрическому полю в проводящей среде (о чь О) сопутствует ток (Ь Ф О). Поле неподвижных зарядов, электростатическое 1Ь = О), внутри проводника, таким сбразом, существовать не может. Свободно перемещаюгциеся заряды благодаря взаимному отталкиванию оказываются на поверхности проводника и занимают равновесное положение, при котором их поля внутри него взаимна уничтожаются.
Используя понятие, введенное в 3 8, можно сказать, что поверхность заряжается с какой-то плотностьк> $. Далее, совершенно очевидно, что электростатическое поле всегда нормалвно проводящей поверхности, ибо наличие тангенпиальной составляющей вектора Е привело бы к возникновению тока вдоль 5а 67 проводника Рпс. 42 Рпс.
41 (3.59) Рпс. 44 Рпс. 43 (3.62) поверхности (рис. 41), Применяя к поверхности проводника граничное условие (1,45а) и учитывая, что внутри него поле отсутствует, получаем соотношение 0=:пД, (3. 58) где и — единичная внешняя нормаль (рис. 42). Итак, электрическая индукция у поверхности равна по величине поверхностной плотности заряда. В виду того, что электрические силовые линии нормальны проводящей поверхности, она (з 17) вквипотенциальна. Это дает право говорить о потенциале проводника, подразумевая потенциал любой его точки.
Различие формы и размеров уединенных проводников сказывается в том, что для получения одного и того же потенциала им приходится сообщать разные заряды. С этой точки зрения каждое уединенное проводящее тело характеризуется емкостью С, определяемой как заряд, при котором потенциал проводника относительно бесконечности (3.10) равен единице. Ввиду линейной зависимости потенциала и заряда емкость равна отношению Гдиница измерения емкости с7гарада (ф) имеет размерность (кулон г вольт]. В системе проводящих тел наблюдается взаимное влияние— в.гектроспгатическая индукция — заключающееся в том, что распределение заряда на каждом из проводников обусловлено всеми остальными. Заряд некоторого проводника г' (рис.
43) линейно связан с потенциалами всех проводников системы Чг = "пфг + амфг+ ° иггфе ° + аегфх-'г агпфп. Это уравнение, однако, предпочитают писать в ином виде: Чг=-Сгг(фг — фг)+С.,(фг — сег) — ', ... СмсР4 - ... С,п(фг — ф„)+ ... ... Сгп(фг — ф„). (3.60) Коэффициент С„называется собственной емкостью проводника г, а коэффициенты Сг — взаимными емкостями.
вв Следует подчеркнуть, что собственные емкости проводников в системе отличаются от емкостей этих проводников в уединении. Точно так же взаимные емкости отдельных пар проводников определяются не только этими, но и всеми остальными проводниками системы. Если потенциалы и полные заряды всех тел известны, собственные и взаимные емкости находятся как решения системы уравнений Чг=С„гр,+С„(гр,— фг)+...
Сг,(ф,— р„)-г... Сгп(фг — фп), Чг = См (ф фг) ) Сггфг+... С х (фг фх)+... Сгп(фг фп)г Уп пг (ф» фг)+ пг (фп Чгг) ' Спх (фп фк)+' ' . Сппфп (3.61) провод- Система двух защищенных от внешнего влияния ников называется в электростатике конденсатором. В идеальном конденсаторе один из проводников В (рис. 44) представляет замкнутую полость, внутри которой находится другой проводник А. Положим, что последнему сообщен заряд д. Мысленно построим внутри проводника В замкнутуго оболочку В', охватывающую А, и применим к ней теорему Гаусса (3.2а). Поток индукции через оболочку В' равен нулю, так как она проходит внутри проводника, где нет поля. Согласно теореме.
Гаусса, равен нулю и полный заряд внутри В'. Это значит, что заряд а внутреннего проводника А индуцирует на внутренней поверхности проводника В равпьш по абсолютной величине заряд противоположного знака — Чг. Абсолютную величину отношейия одного из этих зарядов к разности их потенциалов называют емкостью канденспгпора: В этой записи обычно выбирают фл — фа > 0 и д > О, так что знак абсолютной величины опускается, 111лгзее1хи и !1л(гажнения 1.
Поля Из простейших по форме проводнико соображений симметрии следует, что поле равномерно заря- в. женкой плоскости однородно и параллельно нормали: Е= пи --. (3.63) Поле равномерно заряженной сферы имеет тот же вид, что к поле точечного заряда (3.18): пег! пи. ~,г П оле равномерно за(ияжснного цилиндра то же, что н поле вити (3.33): й 8, (3.65) В выражениях (3.64, 3.65) )7 означает радиус сферы и цилиндра.
Справедливость записанных выражений можно проверить н интегрированием уравнения Лапласа (3.15). Так, в цилиндрических координатах (см. приложение) оно имеет вид ! д 1 дф ! ! диф диф г дг '~ ду / ' ~"' даи дги д Так как в данном случае поле однородно по азимуту — = О ' д (, да,г к вдоль оси цилиндрической системы ( — = 0), то уравнение дг /' существенно упрощается; ( — вторая произвольная постоянная), а отсюда по формуле (3.4), и напряженность поля Е = -дгабф= — г,— ==- — г,—. дф Л (3. 68) дг г Согласно (3.58), электрическая индукция на поверхности ци,чиндра (г= )с) равна плотности повсрхностного заряда еь: А — е — —.— ~.
8 Откл да и Емкость шара, согласно (3.59), есть С= — '= 4пеЯ. гр (3.7!) Задан и е. 1, Определить емкость земного шара (11- — 6,37 10е м). 2. Найти диаметр шара, емкость которого риг ЛЗ и безграничном вакууме равна 1 чг. 3. Сферический конденсатор, изображенный на рис. 45. дает пример идеального конденсатора. Его поле также описывается формулой (3.64).
Разность потенциалов внутренней и внешней сфер на основании (3.9! есть а )7 (3.69) и мы пришли к ранее полученной формуле (3.65). За да н н е. Интегрированием уравнения Лапласа в сферических координатах показать справедливость формулы (3.64). 1. Емкость уединенного шара. Потенциал шара находим по формуле (3.10), внося под знак интеграла (3.64) н интегрируя по радиусу; (3.66) (3.79! или е(ф= А —, дг (зг67) 7! то Отсюда можно сделать вывод, что г — =А, дф где А — произвольная постоянная. Интегрируя, находим выражение потенциала ф= А !и г+В и, По формуле (3.69),находим емкость конденсатора: ха~Игле (3,73) Йи ~! 4.
Цилиндрический конденсатор показан иа рис. 46. Разность потенциалов внутреннего и внешнего цилиндров, согласно (3.9) и (3.65), находится как интеграл пи т Г дг т Яи фл — фа = —, ~ — =- — !и — '=. (3.74) 2яе 3 г 2яе П, ' гч Ответ; гг, Рис. 49 Рис. 47 Рис.
46 Рис. 51 Рис. ЗО а) Рис. 4К шэ, сЕэ Еээ 2 2 сэсэ8 нэ й+и, (э1- а) (3.82) (3.79) 7З Емкость, приходящаяся на единицу длины бесконечного конденсатора, 2ин (3.75) 1и — ' Р, Эта формула пригодна для расчета реальных конденсаторов большой длины. В случае короткого конденсатора (рис. 47) уже нельзя пренебречь искажением поля у оснований цилиндра, и формула (3.75) становится непригодной. 5. П.тоски й конденсатор. Поле между параллельными проводящими плоскостями определяется формулой (3.63).
На краях ограниченных пластин происходит искажение поля (рис. 48, а), однако нм можно пренебречь, когда площадь пластин достаточно велика (рис, 48,б). На основании (3.9) и (3.63) разность потенциалов между ними Ч>х — <Рв =- Ег), (3 76) а заряд одной пластины д = $5 =. еЕЯ. (3,77) Таким образом, .емкость плоского конденсатора выражается формулои: С = — „..
(3.78) 6. Ко нденсаторы с двухслойным диэлектриком. Определить емкость плоского конденсатора, показанного на рис. 49: между пластинами на расстоянии Ь от одной из них проходит плоская граница раздела сред, диэлектрические проницаемости которых е, н е, Ответ: Решить аналогичные задачи для случаев: а) цилиндрического (рис. 50) и б) сферического (рис. 5!) конденсаторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
