Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ской задаче можно сопоставить магнитостатическую. Круг явлений магнитостатики значительно более беден, так как в природе нет свободных магнитных зарядов (4.2а) фвй8=0 (4. 1О) (4.12) ш = 4 )ч>з "' "' Р Н Р Ч-2Р е н намагниченность вещества равна Рч Ре РеН~ Р> Г Ре (4.13) (см. 2 3). Удобным оказывается представление о связанных магнитных зарядах, аналогичных связанным электрическим зарядам (9 22), и соответственно, о магнитных диполях (см. подробнее стр.
109, 11!) Величина ш= д'1 (4, 111 (ср. 9 20) называется магнитным моментом днполя; 4)." формально является магнитным зарядом, но в это понятие вкладывается какое-либо содержание лишь в рамках дипольной модели. Понятно, что при этом не нарушается равенство (4.10). Из сказанного вытекает интерпретация намагниченности М каь магнитного момента среды, отнесенного к единице объема (ср. 9 22). Намагниченное тело на достаточно большом расстоянии ведет себя как магнитный диполь. Размагничивающий фактор.
Диэлектрический шар в однородном электростатическом поле (2 27) действует подобно диполю с моментом, определяемым формулой (3.147). Следовательно, в аналогичной магнитостатической задаче магнитный момент шара есть а/д=Л Рис. 67 Ж = ~ ' ' ') = О. (4.16) М / 7 7 Рис. 66 когда это поле близко к однородному. Сущест. венно. что Ж не зависит от свойств среды, а определяется формой тела. В последнем убеждает исследование размагни- 77з- Пользуясь результатом (4.9), нетрудно вычислить разность Н, — Нп где (ср.
9 27) Н, = хан, — первоначальное однородное магнитное поле, в которое номе. щается шар. Таким образом, речь идет о величине, показывающей насколько поле внутри сферы отличается от внешнего. Эту вели- чину можно назвать «размагничивающим полем» связанных маг. нитных зарядов шара. Соответственно этому отношение 7з!=не( ' ')= г ! — !' ( 3 !' !'р ! = — (4!4) носит наименование размагничиваюп(его фактора шара, Понятие размагничивающего фактора сохраняет смысл для тел с однородным внутренним полем и практически используется в тех многочисленныхслччаях, !ма чивающего фактора эл- липсоида, обладающего а) (как это доказывается) строго однородным внутРис, 69 ренним полем. )хля эллипсоида вращения (рис.
67) на рис. 68 показана зависимость размагничивающего фактора от соотношения его осей Х. При изменении )з от нуля до бесконечности (з( монотонно убывает от единицы до нуля. Как видно из графика, при Х = 1 (шар) У = 173. Предельные значения Х соответствуют вырождению эллипсоида в бесконечный цилиндр (Х вЂ” з со) и бесконечную пластину (Х = 0). Легко проверить приведенные для этих случаев значения (з(.
Внутреннее поле нормально намагничиваемой пластины (рис. 69, а) в силу граничных условий (4.5) есть Н.= — '"' Н. з, е' Учитывая, что, по определению (1.27), М =Р,Н,— Р,Н„полу- чаем „, Р, (Н,— Н, ! Р,На — Р,Н, (4.1 5) В случае цилиндра, намагничиваемого параллельно оси (рис. 69, б), внутреннее поле равно внешнему, не отличающемуся от первоначального поля Н,. Поэтому Полученные результаты согласуются с графиком (рис. 68). В заключение остановимся на некоторых Рис. 70 еще не отмеченных различиях между электростатическими и магнитостатическими явлениями.
В магнитостатике нет сред, которые можно бы было с полным основанием сопоставить электрическим проводникам. Правда, до известной степени сходно ведут себя в магнитном поле тела с высокой магнитной проницаемостью. Используя результаты Я 8, 9 (формулы !.49 и замечание на стр. 34), напишем соотношение 1иа, Р, (4. 17) (Яиз Рз ' характеризующее наклон магнитных силовых линий на границе раздела сред (рис.
70). При !за(Р,— >со угол а, стремится к 90' при любом (О (а, < 90') угле а,. Иными словами, внешнее магнитное ноле оказйвается нормальным поверхности тела, магнитная проницаемость которого бесконечна. Поверхность эта, следовательно, эквипотенциальна подобно проводящей поверхности в электростатике. Разумеется, эквипотенциальнымн будут и поверхности тел бесконечной диэлектрической проницаемости. Здесь, однако, нетрудно заметить существенное отличие от случая проводника: на его поверхности линии электрической индукции прерываются (поле в проводнике отсутствует); на границе же тела бесконечной проницаемости линии индукции непрерывны. Сред с бесконечной проницаемостью в природе не существует.
Все же магнитные силовые линии практически нормальны поверхностям ферромагнитных тел, проницаемость которых достаточно велика. Появились и диэлектрики с весьма высокой'проиицаемостью. заказ х Ы ез 97 Ферромагнетикам свойственно наличие не зависящей от внешнего поля (самопроизвольной) намагниченности — постоянные магниты. На достаточно большом расстоянии постоянный магнит действует как магнитный диполь.
Лранеры и упраэсненпя й = 1-(- — (1 — — ', ) ( — "" -1- — "' — 2) . (4.18) Ряс. т! Рекомендуется получить этот результат самостоятельно. 2. Найдем размагничивающий фактор цилиндра при поперечном намагничивании. На основании (4.7) внутреннее поле в этом случае характеризуется напряженностью 2кеп '= 1М+И. ' а намагниченность (как дипольный момент единицы объема) нетрудно найти, воспользовавшись результатом (3.135) и перейдя в нем к магнитным величинам: т"! 1е; — 1с„ М= — у =2 ' "!с Н,. я!!е о 1е.
11е е м Подстановка этих выражений в формулу (4.14) дает: д! = —. (4. 19) 3. Магнитная проницаемость малого н!ара, расположенного в воздушном зазоре постоянного магнита, равна 9=509 Считая поле пустого зазора однородным, найти наибольшее отклонение магнитных силовых линий на поверхности шара от нормали. 1. Поясним сущность лшгнитного экранирования. Как видно пз формул (4.7 и 4.9), при безграничном увеличении отношения (е;!!с„внутреннее поле Не в сферической обчасти стремится к нулю. ПРи достаточно большом значении (е,'Ре оно бУдет значительно ослаблено. Если внутри цилиндра или шара имеется полость, то следует ожидать, что и в ней поле будет l Н ослаблено в сравнении с внешним.
Внутрь полости можно поместить какое-либо тело, которое желательно защитить от действия ' Ъ магнитного поля. Путем решения граничной задачи (подобно тому, как этого делалось в 9 27) можно по,и еге казать, что поле внутри полого шара (рис.
71) будет ослаблено в сравнении с внешним полем 1ее Н,в(г раз, 4. Каков размагничивающий фактор бесконечной пластины, намагничиваемой параллельно поверхности? 5. Шар, обладающий самопроизвольной намагниченностью, создает во внешнем пространстве (воздух) иа расстоянии г= 1 м от центра магнитное поле, максимальное значение напряженности которого есть 1(е=! а м.
Найти магнитный момент шара. ф 29. Магнитное поле и постоянный ток Продолжим изучение магнитного поля постоянного тока, отказавшись от ограничений предыду!пего параграфа. С этой целью запишем в полном виде уравнения (4.1**) и соответствующие интегральные соотношения (4.!а) ф НЛ = 1; (4.20а) го! Н = 6; (4.20) с((ч В =- О. (4 2! ) В =- (еН. (4. 22) !4: В!15 = О. (4.2!а) Сосредоточим внимание иа связи магнитного поля и постоянного тока. Неоднозначность разности скалярных потенциалов. Нетрудно заметить, что разность потенциалов магнитного поля постоянного тока Лег'" не является только лишь функцией начальной и конечной точек пути, как это имеет место в случае поля электростатического (3.9).
Напомним, что в случае электро- статики фы1=0 ь то на пути АнВ это будет уже 1Аив Рв !л+ а при двукратном обходе вокруг тока (АрВ) а'раааа '= Ч>в — <рл+ 21 и т. д. 7* 99 — при обходе по замкнутому контуру работа не совершается. Согласно (4.20а), каждый обход по замкнутому пути вокру' тока вызывает приращение потенциала на величину тока 1.
Таким образом, если разность потенциалов на пути АтВ (рис. 72) есть ! Аеев ера (4. 23) и называемая векторным потении лом магнитного поля Правда, от многозначности величины Лор« можно избавиться, затянув все контуры с токами воображаемой «пленкой» (рис. 73), через которую якобы нельзя проникнуть при вычислении разности потенциалов. Однако более важно то, что с помощью скалярного потенциала нельзя решить задачу о связи магнитного поля н постоянного тока.
Вектор ный потенциал магнитного поля. С указанной целью вводится вспомогательная функция А, определяемая через магнитную индукцию соотношением В =.о1 А Это уравнение эквивалентно трем скалярным У»А„ = — РЬ„, Р'А =- — )оЬ, »»А, = — РЬ, (4.26а) не отличающимся по форме от уравнения Пуассона для электростатического потенциала (3.14). Это дает основание записать их решения в виде (3.23), т. е.
А„= 4 ~ — "Л', А» = -4 — ~ — "о()/; А,= 4 ~ — *«Л/ о' У У (полагаем р=сопь1). Отсюда следует векторная запись решения уравнения (4.26): Рис. 73 Рис. 72 Зато, сопоставляя (4.20, 4.22 и 4.23), получаем го1 го1 А = РЬ, (4. 24) или о»А — йгад Йя А = — РЬ. (4.24а) Из (4.24) следует, что в выборе А допускается известный произвол. Действительно, если А есть решение (4.24), то решением будет также функция А'= А-(-дгадор, где ор — некоторый скаляр. Лля удобства наложим на А дополнительное условие д)чА=О, (4.25) тогда (4.24а) принимает вид Ч»А = — РЬ. (4. 26) "ю Свойства векторного потенциала вытекают из необходимости удовлетворить исходным уравнениям (4.20 — 4.22).
Второе из них ,'4.21) не дает каких-либо сведений о характере А. ибо при любых А тождественно выполняется д)ч го1 А — = О. (4.27) лп ~ г И где 7 — путь линейного тока элемент его длины. )Келая, далее, определить и 4.22), имеем ~ о) ~-п5«(1= и ~ «в ~, (4 29) 3 Ь ь (рнс. 4.9) и а1=х Ж вЂ” векторный маги итное поле, согласно (4. 23 7 Г Л Н = — го1 А = — ~ го1— ь .с: Полученный результат позволяет по заданному току найти векторный потенциал А и затем по формуле (4.23) определить индукцию В и напряженность магнитного поля Н.
Можно доказать теорему единственности (срг Э 25), утверждающую, что заданным распределением тока Ь магнитное поле определяется однозначно. Маги итн ое поле линейного тока. Рассмотрим теперь пути нахождения магнитного поля в наиболее важном случае линейного тока, когда (рис. 74) ~ Ь«З .— о, ~ ЬдЗ = о«1. (4.28) Здесь 5 — поперечное сечение проводника (величина, малая в сравнении с квадратом его длины) н т, — единичный вектор, указывающий направление тока 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
