Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 17
Текст из файла (страница 17)
й 31. Магнитная энергия постоянного тока. Индуктивность Из главы 2 известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью и!м (4. 44) и в некоторой области )7 определяемая интегралом йгг'= —,' [, роЧ)7= —,', ~~ НВд)7. (4,45) 2 ! Заменяя в последнем уравнении В через го1А и преобразуя затем подынтегральное выражение в соответствии с тождеством Н го1 А — А го1 Н = д(ч [А, Н[, приводим (4.45) к виду Ж'я =- 1, 1 д)ч [А, Н"1 Л + ! 1 А го1 Н Л' ч ч Первый член справа с помощью формулы Остроградского— Гаусса преобразуется в поверхностный интеграл —,, ~ [А, Н) д8, (4.46) где 5 — поверхность, ограничивающая объем 17. Если все точки сосредоточены в ограниченной области, то при удалении границы 1!о в бесконечность записанный интеграл уничтожается.
Доказательство этого нетрудно произвести (см. аналогичный случай в 3 24), если учесть, что совокупность токов можно рассматривать на достаточно большом расстоянии как магнитный диполь. Итак, распространяя интегрирование в (4.46) на бесконечное пространство, т. е. учитывая полную магнитную энергию, мы приходим к ее выражению в виде )Р"= — ', ~ А (Нд1, (4.47) или, что равносильно, й:"= ', ~ Айд)7. (4.47а) Физическое содержание этого результата легко понять.
Интегралы (4.47, 4.47а) выражают магнитную энергию не путем непосредственного учета ее распределения в пространстве, как формула (4.45), а через связанный с магнитным полем ток. Эти интегралы обращаются в нуль во всех участках безграничного пространства, не содержащих тока. Если представить, что токов нигде нет, то, как видно, отсутствует и магнитная энергия, а следовательно, и магнитное Рис 87 поле. Это значит, что магнитное поле всегда существует при наличии тока. В частности, намагниченность вещества объясняется действием микроскопических токов (см. 3 30). Магнитная энергия линейных токов.
Обращаясь к важному для техники случаю линейных токов, рассмотрим сначала уединенный контур (рис. 87). Выражение связанной с ним магнитной энергии получается из (4гй?а) с учетом (4.28): Ю"'= —,, !~ Ад(. (4. 48) !. Фигурирующий здесь контурный интеграл преобразуется по теореме Стокса в магнитный поток $ А д1 = ~ го( Ад 8 = ~ В д8 = Ф, (4. 49) (4.51) пересекающий ограниченную контуром Л поверхность 5. Выражение магнитной энергии принимает вид (4.50) В силу линейности уравнений поля магнитный поток пропорционален току так что (Зги Ж! 'г (4.52) Мп -.— -,! ) А 411;. !.. ,)') г~ () 2 Х1,ЧАИ!.
(4.53) Но, согласно (4.29), Рис. ЗН Мсг =— Р ' СИ СС!сг ! . !.1, (4.60) (4.55) (4.59а) з! 11рпмеры а !1пражнения г=! з=! содер кит магнитную энергию 8Л%4 'гзипз М !!44 ! !2 Коэффициент Х называется индуктивностью контура. Напомним, что в практической системе единиц магнитный поток измеряется в веберах (вб), а индуктивность — в генри (гн). В случае и контуров ~, с токами 14 (рис.
88) иместо (4.48) получаем: д ы ъ~ " Отсюда следует: и Рис. 8а К" = —,, ~ 1;Фс, (4.54) 1=1 где Фс — поток, пересекающий поверхность ЯО ограниченную контуром Ьс. Каждый такой поток линейно связан с токами всех контуров: Ф! М!!1!+ М111з+ М!з1з+ М!41!+ ' " ' М!и1и Фз = Мм1! + Мзз)з + Мзз1з + ° ° ° М1111 г ° ° Мзи1и' )Соэффициенты Мм и М,, называются собственными и, соответственно, взаимными иидуктнвностями системы контуров. Символ Мп введен здесь для единообразия записи. В дальнейшем, как это обычно и делается, вместо Мп мы будем писать .Ке Внося 14.55) в (4.54), приходим к следующему выражению магнитной энергии системы контуров: и )р"= —,,' ~ ч:, м,.„111з= —.', ~ А!11+ г.=-1 и и +.1 Х Х Мс 111 (! — й) причем виже доказывается, что Мг = Мс,с. (4 Од7) Первый член в правой части соответствует собственной, а второй в взаимно!с энергии системы.
В частном случае .двух контуров (и = 2) )зггг ! ( 2 14 ) 2 14) ~ И 1 1 (4.58) Взяв среди п контуров два произвольных (с и 14), запишем Ф, = Мсг!„, (4. 59) где Фс,— магнитный поток, вызванный током контура (.„и проходящий через поверхность Яо опирающуюся на контур Ьс (рис. 89). Выражая Мс„с учетом равенства типа (4.49), записываем: Следоват!льна, взаимная индуктивность Формула симметрична относительно индексов с и я. Это значит, что совершенно такое же выражение будет получено и для взаимной пндуктивности Мзс, определяемой равенством Гдс Ф! .
МаГННТНЬ!Н НОТО! г ОгуеяоапгСННЫЙ ТО1 ОМ !гонт) ра и проходящей через поверхность, ограниченнук! контуром 1.„. Равенство (4,57) доказано. Формула (4.60) дает возможно:ть выч!ислять в конкретных случаях взаимные индуктнвности по одному лишь взаимному расположению контуров. 1. Вычислить магнитную энергию, сосредоточенную внутри единичного участка длины цилиндрического проводника, несущего ток 1. Элемент цилиндрического объема (рис.
90) Л! = г й! сйс а'1 !4.61) Рнс. 92 Рнс. 93 зд(д' !" 2!а (4.65) Рис, 91 Р .9О Рис 91 Рис, 98 !ттт М.,= р— 2! (4.66) Отсюда 'ид! Х вЂ” — !ив р. П !тз (4.67) 8* 118 Интегрируя это выражение, находим и ан !Р:"= "" 'т ( Ч ! = — "', алайа,! 5 !ба ' о о т. с. энергия нс зависит от диаметра проводника. Величина 8ч ' (4.62) определяемая из соотношения )рр= Жт(т,2, называется внутренней пндуктивностью единицы длины цилиндра. 2. Определить магнитную энергию и индуктивность, приходящиеся на единицу длины коаксиального кабеля (рис, 30). запол- пенного средой с магнитной проницаемостью р, (магнитнаи проницаемость проводника )са).
3. На рис. 91 показаны два концентрических витка, один из которых значительно больше другого (тса » 1ст). Найти их взаимную индуктивность. Вычислим поток Фмо созданаемый большим контуром (2) через поверхность малого (1). Считая поле кругового витка вблизи его центра однородным, пишем Ф,а=- В,В.„ где Вт = Ят,— площадь, огРаниченнаЯ малым витком, а В,— магнитная индукция большого в центре. Согласно (4.37), 1т В,=р —,-. и взаимная индуктивность контуров равна пгт'тз Мтт =-)ь — ' 2оа ' (4.64) 4.
Как изменится взаимная индуктивность предыдущей задачи, если ось одного из витков повернуть на угол д (рис. 92)? 5. Найти взаимную индуктивность двух коаксиальных витков, находящихся на большом расстоянии (радиусы витков — )7т и )7а, расстояние между ними 1), рис. 93. Ответ: 6. Круглый виток лежит 'в плоскости, проходящей через ось цилиндрического проводника (рис. 94).
Определить взаимную индуктивность системы. считая радиус витка !с малым в сравнении с расстоянием его центра до оси проводника 1, Ответ: 7. Найти индуктивность, приходящ>юся на единицу длины двухпроводной линии, при условии, что расстояние между проводами значительно превышает их диаметр (рис. 95). У н а з а н и с. Использовать результат (4АЗ). Ответ. 8.
Найти индуктивность тороида, изображенного на рис. 96, если его магнитная проницаемость Р значительно превышает внешнюю. Магнитный поток при заданном условии фактически сосредоточен в тороиде. Каждая магнитная силовая линия внутри тороида представляет собой в силу симметрии окружность, охватывающую все п витков намотанного на нем провода. Поэтому на основании (4.20а) 2псП =- п!, где с — расстояние от оси. Рис. 96 Рис. 97 Магнитный поток, проходящий через поперечное сечение тороида (т. е. через каждый из намотанных витков), равен на и !ш7Ь Г ас Рп!В К, Ф' = Ь ~ В Лс = — „~ — =- — !п — ' . 2п Э и 2п Л, и, п1 Поток же, проходящин 'н рез площадь всех витков, в и раэ больше: ф = пф'.
Индуктивность тороида равна (4.68) 9. Получить выражение нндуктнвноств торонда приближенно, полагая магнитное поле однородным в поперечном сечении. Ответ: Рп Б 2Ро'Ьда. -77, (4. 69) и да+8, 1О. Найти взаимную индуктивность двух обмоток тороида. Ответ: Ми =- — !и-— Ргпиь А' Здесь и — число витков одной 11. Как изменится индукт резать узкий зазор (рис.
97)? !16 Вычисляя циркуляцию вектора Н вдоль одной из силовых линий, на основании (4.20а) имеем (Н +с(Н„,.=- п), где Н вЂ” напряженность поля внутри тороида, Н,„,-- в зазоре. Магнитная индукция при переходе через границу зазора не изменяется: Учитывая, что В = РН И Ваа. = РаНааа заменяем Н через В в выражении циркуляции и получаем: В( — + — =- и!. сс Д Ра У Поток, проходящий через пло|цадь одного витка, равен Ф'= ВВ= —" 7 .,'- — В Ра и, следовательно, индуктивность тороида с зазором есть пФ' Рпад 1 Х= — = ! = ~,Рв ! — , '— —. Ра 1 (4.71) й 32.
Электрическое поле постоянного тока Г,=- — = 3,5 10 -' в'м б 117 В заключение главы вернемся к электрическому полю постоянного тока. На стр. 93 указывалось, что подобно полю электростатическому оно потенциально, однако, на проводящих границах потенциал уже не постоянен, и вектор Е не составляет с ними прямого угла. Таким образом. электрическое поле системы проводящих тел, несущих ток, отличается от электростатического поля этой же системы. Посл1отрим, насколько велико может быть на практике отмеченное различие. Пусть разность потенциалов двух параллельных токонесущих пластин из меди (о — 5,8 10 сил~,'л), лежащих на расстоянии д=! см, составляет суп — ~рх= 10 в, а плотность тока равна 6 = 2а,мм'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
