Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким путем находится соотношение ') (кгаб Ьр)' А'=. ') Ьф (д — Ьр) о5, (3,100) Ъ Я исходное для дальнейшего. Здесь 5 — совокупность всех проводящих' поверхностей, а г' — полное пространство между проводниками. Первый случай. Заданы потенциалы проводников. Таким образом, на поверхностях проводников потенциалы однозначно определены условием задачи бч =-0 на 5. 7!ь Поэтому из (3.100) следует: ~ (цгада)'Л'=О. г Так как подынтегральное выражение неотрицательно, равенство (ЗЛ01) соблюдается только при условии, что ягаб бф = 0 во всем пространстве, или Ьр = сопз(.
Но на поверхностях проводников йф = О, поэтому везде бф == О, т. е. везде ф1 = фм н теорема доказана. Второй случай. Заданы полные заряды проводников. Ввиду того, что потенциалы ф, и ф, на поверхностях проводников могут быть только постоянными, должна быть постоянной и их раз- .ность йф. Рассматривая один из проводников, запишем. ф(д ф) фз(д д ) 3 3 причем, согласно (3.98а), дф, 5, дф дл с где $, и $,— плотности заряда для первого и второго решения. Будем считать, что диэлектрическая среда однородна, т. е. е = сопз1, тогда исходное равенство принимает вид: ~ Ьр( — да йф) й5 = ',ф ~ д, — ~,) й5.
(ЗЛ02) 3 а Правая часть обращается в нуль, так как полный заряд проводника задан, н, следовательно, д, и дс — это одна и та же величина: — ~~ (;с — с,)й5= —,(д,, -д,)=О. Произведенные рассуждения применимы к каждому из проводников, а это значит, что равна нулю правая часть равенства (ЗЛОО), представляющая собой сумму интегралов вида (3.102). Отсюда снова вытекает (3.101) и его следствие Ьр =- сопИ. Таким образом, решения ф, и фз отличаются лишь на постоянную, что, как известно из 6 16, не имеет значения.
Если же принять обычное условие исчезновения потенциала на бесконечности, то эта постоянная будет исключена. .8о Итак, теорема и во втором случае доказана. Теорема единственности имеет немалое практическое значение. Уже говорилось, что интегрирование уравнения Лапласа осуществимо лишь в сравнительно немногих случаях простой геометрической конфигурации проводника. Однако произведенное доказательство открывает путь различным косвенным, «искуственным» приемам нахождения поля. Действительно, независимо от того, каким путем получено решение той или иной конкретной задачи, удовлетворяющее граничным условиям, существует гарантия, что это решение, будучи единственным, выражает искомое поле.
й 26. Примеры специальных приемов решения задач злектростатики Метод зеркальных изображений. Если система точечных зарядов находится в соседстве с проводником, то можно подобрать такие дополнительные (фиктивные) заряды, являющиеся как бы зеркальными изображениями первоначальных, что полное поле — и истинных и фиктивных зарядов, каждый из которых рассматривается без учета сушествования проводника, — удовлетворит граничным условиям на его поверхности. 1 $ ' 3 ! с 1 'зсмк р Ряс. 55 Рнс.
54 Пусть, например, заряд о находится на расстоянии й от проводящей плоскости Р (рис. 54). Нетрудно найти поле, которое, будучи наложено на поле заряда д, удовлетворит требованию постоянства потенциала на Р. Это поле заряда д' (рис. 55), расположенного за плоскостью Р на том же расстоянии л, равного ему по абсолютной величине и противоположного по знаку. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что плоскость симметрии двух разных и разноименных зарядов эквипотенциальна (силовые линии пересекают ее под прямым углом). Мысленно заполнив полу- пространство по одну ее сторону проводящей средой, мы, очевидно, не нарушаем поля в оставшемся полупространстве с зарядом. Итак, для того, чтобы найти поле точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью, надо мысленно построить 3 «аз и ы44 3! Е = — 2 — п сох 0 = — 2 —,и„ в чс 4пем «2пег» (3.103) (3. 104) Рис.
57 а,— а,=д. (3,106) а) Рис. За в«зз по указанному способу его «зеркальное изображение» и искать поле над плоскостью как суперпозицию полей заряда и изображения. Подобным же образом — путем построения изображений отдельных зарядов — решается задача для системы зарядов над плоскостью. Фактическую причину влияния проводника на поле зарядов следует видеть в электростатической индукции Я 23). Так, в рассмотренном примере поле в плоскости проводника (рис. 58) равно (произведено сложение полей двух зарядов на основании (3.21) Следовательно, плоскость несет заряд плотности (3.58) са 2пгз Это заряд индуяированный расположенным над плоскостью зарядом д. Таким образом, с помощью метода зеркальных изобра- жений учитывается действие ин- +Д дуцированных зарядов.
Остается только подчеркнуть, что обосно» гз " '« ванне законности метода дает до- Р в казанная выше теорема единственности. В данном случае мы х Е и' имеем дело с заданными зарядами (в частности, полный заряд проводника обычно равен нулю). По доказанному, найденное решение единственно и выражает поэтому истинное поле системы. Параллельные проводящие цилиндры. В 3 21 были рассмотрены параллельные заряженные нити, Задача о проводя. щих цилиндрах конечного диаметра принципиально гораздо сложнее. В случае нитей речь идет об известном распределении зарядов в пространстве.
Здесь же плотность заряда различных участков цилиндрических поверхностей заранее не известна. Онз не постоянна, как это имеет место в случае уединенного цилиндра. в результате взаимного влияния разноименно заряженных проводников заряд накапливается на менее удаленных участках их поверхностей. Однако задача решается очень просто, если учесть, что эквнпотенциальные поверхности поля заряженных нитей имеют цилиндрическую форму (з 2!).
На основании теоремы единственности мы имеем право утверждать, что поле в пространстве между поверхностями цилиндров (рис. 57, б) ничем не отличается от поля между аналогичными эквипотенциальными поверхностями двух заряженных нитей (рис, 5?,а). Таким образом, нахождение поля проводящих цилиндров сводится к простому выявлению «эквива- лентных заряженных нитей», которыми якобы оно создается. Обозначив радиусы цилиндров через 1?, и 1?н нз (3.43) получим Д,' = а', — (1/2)е и 1?« = а', — (1/2)«, (3.105) где а, н а,— абсциссы осей цилиндров, их разность есть расстоя- ние между осями Если речь идет о поле между внешними поверхностями двух цилиндров (рис. 58,а), то а, и а» имеют противоположные знаки и обе эти величины одного знака, когда рассматривается поле между внешней поверхностью одного цилиндра и внутренней поверхностью другого (рис. 58, а).
При этом в первом случае д ) 1, а во втором д < 1. Из (3.105) и (3.106) легко получить: Я1 — Г',+па 2п' (3.107) 1!1 — и1 — ш 221 чем и определяется положение начала координат относительно осей цилиндров. Затем из (3.105) находится расстояние эквивалеитиых заряженных нитей от качала координат Р2, и искомое поле вычисляется как поле этих нитей. Примеры и упражнения !. Убедиться, что полный заряд, иидуцируемый иа проводящей плоскости расположенным иад ией точечиым зарядом д, равен — д. У к а а а и и е. Проиитегрировать вевичииу В (3,104) по всей плоскости, 2. Найти поле заряженной нити, расположенной параллельно проводящей плоскости, а также распределение заряда, иидуци'1 роваииого иа плоскости.
3. Решить аналогичную задачу для слу- 6 чая вертикального диполя иад плоскостью (рис. 59). 4. Емкость параллельных ции и и д р о в. Вычисляя по формуле (3.37) Рпс. 59 разность потенциалов двух точек М, и М„ находящихся иа поверхностях разных цилиндров (рис. 58). получаем 2ле 1 гт 1и, г, и„ 2 зль где, согласно (3.4!), — =/г2 и — '! =да Таким образом, емкость цилиндров, отнесенная к едииице дливы, равна: С'= (3.109) ЧЧ вЂ” ~рт, 122 йт На основании (3.43), (3. ! 10) где Рыз=аа,арпа, пРичем знак плюс (га) г,) беРетсЯ в том случае, когда цилиндр расположен справа от начала координат, а знак минус — когда цилиндр лежит слева.
Знаки в выражениях ит и !са будут, таким образом, одииаковыми, если один цилиндр находится внутри другого, и различными в противиом случае. На основании сказанного вывести следующие формулы: а) один цилиндр лежит внутри другого 2ле !п ре+РГр2 1 б) цилиндрические поверхности одна другую ие охватывают 1п (рг+У'Р1 — 1) (р,+Р и; "— 1) ' В частности. когда радиусы цилиндров одивакош, I ле С = 'ь2л Р (2л) (3.112а) Для т иких цили др в (пр в д в) ль С'— г! 1и (3.1126) В случае проводов одного радиуса С' = — "' 21 1и— р (3.! 12в) а1 цилиндр иад плоскостью (3.! ! 3) с 1п ~ — + фтт ( — ) — 11 ()2 — расстояние оси цилиндра от плоскости). Для достаточно тонкого цилиндра (провода! 2ле С'= !ив и (3.
113а) (эту формулу получить также методом зеркальных изображений); г) коаксиальиый коидеисатор (вывести из (3.! 09) формулу (3.75). 5. В каких пределах изменяется емкость коаксиальиого коидевсатора с отношением внутреннего и внешнего диаметров 1: 2 при параллельном смещении внутреннего проводиикао аг й 27. Цилиндрические и сферические тела в однородном поле Если незаряженное проводящее тело поместить в электроста2нческое поле, то на его поверхности возникнут индуцированные заряды, и вектор Е станет нормальным поверхности: первоначальное поле будет искажено, деформировано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
