Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Конкретизируем 'для данного случая формулу (4.27). Внося туда закон распределения Ь, свойственный линейному току, пол)- чаем; При этом в силу тождества (см. приложение) го( тра = тр го( а + [дгаб тр, а], в котором мы полагаем 1 — и а=с((, подыитегральиое выражение преобразуется к ииду: го( — = — го(а!(+ !Сигай —, с((1 .
и'! 1 г Ввиду того, что элемент Л ие зависит от положения точки М (рис, 75), в которой вычисляется Н, первый член в праиой части ч ат В7 Механическое действие магнитного поля на ток удобно также описывать при помощи дифференциального соотношения ар=у(в1, в), (4.31) где ор — сила, действующая в поле В на элемент тока ! г!! (рис. 76,а). У и р а ж н е н и е. к в Рис. 76 Рис. 76 Рис. 74 равен нулю. Внося под интеграл значение второго члена получаем Н= —,', 1 —,', И(, г„]. (4.30) Механическое орояел ение магнитного поля. Как указы. валось в 4 1, механическое пронвление л~агнитного поля положено в основу определения его индукции В.
Согласно (1.2), см. рис, 2 момент силы К, испытывземый рамкой с током в однородном магнитном поле, есть К вЂ” -!Я (пч, В). ! ) Это интегральная формулировка так называемого закона Био и Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного поля с линейным распределением тока. В дифференциальной форме этот закон имеет вид дН 4 о ]с 1 го] (4.
30а) и характеризует магнитное поле г(Н, создаваемое в точке М элементом тока 7 г!!. На рис. 76, б изображена прямоугольнаи рамка с током С расположеннав в однородном магнитном поле так, что вектор В параллелен поперечнылг сторонам рамки (В=хоВ). Показать, что вычисление момента силы, действующего на рамку, по формулам (эК) н (4 31) приводит к одному и тому же результату: К=ха75В. й 30. Примеры магнитных полей Используя закон Био — Савара, мы можем теперь построить магнитные поля различных линейных токов. Впрочем, иногда бывает выгодно с чисто вычислительной точки зрения сначала определить векторный потенциал с помощью (4.29), а затем найти поле, применяя к полученному результату операцию (4.23).
В тех немногих, ио важных случаях, когда магнитные силовые линии искомого поля заведомо являются концентрическими окружностями, оио легко находится иа основании (4.20а). Таким способом в 3 3 (пример 3) было определено магнитное поле прямолинейного тока: 7 (о) В качестве примера покажем, как этот результат вытекает из закона Био и Савара. Пусть прямолинейный ток направлен по оси г цилиндрической системы координат (рис. 77), тогда (см. рисунок) формула (4.30) принимает вид Н = 4 ~ ~, Их, )4о] = а, 4 Учитывая, что г з(п д = вйп (л — д) =— д и !тз = «в+ зз, !ПЗ Как видно, голо и,' г поэтому Рис.
79 Рис, 78 '1 Г 0(г</г„ й1 <г (/со. Н=О, (4. 33) !')~ /со 80) Рис. 80 Рис. 81 О ( г < /с,. //,<г < Ро /~2 ~~ г~~ йо' (4.34) !Рэ г) Н= а о 2л (/7о — /74) г ' Н=О, г> Ро. щь нм сводим ее к следующему интегралу: 4л З (го 4 го) !о Э ! с ! Н=ао — — ~ =а —. 4лг у' о ).со ~ о 2лг Цилиндр, труба, коаксиальный кабель. Поле вне цилиндра (провода), несугцего ток /, дается формулой (о).
С помощью (4.20а) нетрудно найти и поле внутри цилиндра. При этом необходимо учитывать, что контур интегрирования /. в виде концентрической окружности, не выходящей за пределы поперечного г сечения провода (г < Я), охватывает не весь ток /, а лишь его часть / =/( — „")*.
.///и В результате получается (рис. 78): (4.32) Н=- а —, г>/с. о 2лг ' Рис. 77 Внутри провода поле растет вместе с расстоянием от оси. По этому же принципу легко находится поле трубы с током / (рис. 79): Н =. а ! (г' — /7о1] о 2л (/Ц вЂ” /7!) ! Н=а— о 2лг и поле коаксиального кабеля (рис !г Н=а —, о2 /7о ! Н=а —, о 2лг Внутри трубы нет магнитного поля (внутренние контуры интегрирования вовсе не охватывают тока).
Точно так же нет магнитного поля и вне коаксиального кабеля: внешние контуры заключают в себе равные по абсолютной величине и противоположно направ- ленные токи, и полный ток в правой части (4.20а) оказывается равным нулю. Двухпроводная линия. Для выяснения свойств магнитного поля двухпроводной линии (рис. 81) обратимся к выражению векторного потенциала (4.29). Вычисляя А в точке (см. рисунок), ( ), находящейся на расстоянии г, от одного провода (ток /) и го— от другого (ток — /), имеем: Отсюда откуда Ои с(у — Н„с(х = О, Рис. 82 Рис 83 Р, 88 Рис.
84 или ~ пь А=໠— 1п ' ~ =хо — 1и —. (4 35) Р! г-1 1 с»»+с» ! Р! с» с ~ 1«с»+7» 2Я Г» Как видно, поверхности постоянного векторного потенциала определяются условием — = соп51 (4. 36) с» и, следовательно, имеют тот же вид, что и зквипотенциальные поверхности электростатического поля двух заряженных нитей (2 21). Магнитные силовые линии лежат в поперечных плоскостях и описываются дифференциальным уравнением (см 2 17) дв с»и г д« Внося сюда выражения компонент О„и Л„через А, приходим и уравнению д.4, дд — с(х: — Лу =- О, дх д» показывакяцсму, что магнитные силовые линии удовлетворяют условию постоянства векторного потенциала с(Л = О, Л = сон 51. Иными словами, линии Н совпадают с окружностями в поперечной плоскости, на которых векторный потенциал постоянен, н образуют совершенно такую же картину, как и эквипотенциальные линии заряженных нитей (рис. 82).
Весьма существенно, что распределение постоянного тока в проводе не изменяется под влиянием соседства других токонесущих проводников. Поэтому все сказанное применимо к внешнему полю цилиндров произвольного диаметра, если только их магнитная проницаемость не отличается от магнитной проницаемости внешней среды. Круглый виток и соленоид. Определим магнитное поле на оси круглого витка (рис. 83). Подынтегральное выражение (4.30), как это видно из рисунка, имеет радиальную и продольную компоненты с1Н =+[Н, 1(,] = !Нс —; (Н,, причем радиальная при интегрировании должна уничтожиться.
Таким образом, напряженность поля на оси есть си "и Г ии!пода ! с ! и» Н=х— 2 (,» ~-г») !» В случае соленоида (рис. 84) можно допустить, что ток непрерывно распределен по цилиндрической поверхности и в элементарном поясе ширины бг (рис. 84) равен с(! = л! ~Й, где и — число витков намотки, приходящееся на единицу длины соленоида, а 1 — ток одного витка. Отметим, что и! называют «числом ампервитков» на единицу длины. па Н = хо — (соз дс + соз д2).
л1 (4. 38) Отсюда, в частности, нетрудно найти поле в центре соленоида (д, = дс): Н = хоп(созд = х, л11. (4.38а) 'гг 4ас -'; — 1.' а также поле бесконечного соленоида (д, = д, — О): Н = х,п(. (4. 386) М а г н и т н ы й д и п о л ь. Покажем, что виток на достаточно большом расстоянии действует как магнитный диполь. Рассмотрим круглый виток, показанный на рис. 85. Обозначая расстояние от элемента тока витка до, точки наблюдения М большой буквой 1г, имеем, согласно (4.29), ь Учитывая симметрию системы, нетрудно сообразить, что векторный потенциал имеет одну лишь азимутальную составляющую А =-аоЛ. Проекция же элемента длины с(! на азимутальное направление в точке М, как видно из рис.
85, есть созаЖ, Поэтому 91 Г со2а от А =- а — ) о4л ) 11 Далее, видим, что с(! =- а аа и )сс = гс+ ас — 2аг 8(п д соз а. Следовательно, 2л 1с1 а сос а оа А =- а — ь 4а 4 (г'+ос — 2аг 21п 0 соз а)'1' о (4.39) Полагая, что расстояние от центра витка г значительно превышает его радиус а г.> а, 108 Поле на оси соленоида в точке М, создаваемое элементарным поясом, который виден из этой точки под углом 2д, выражается формулой (4.37) о2 (ос! дс!'1с 42 у'ос !2с г 42 Интегрируя это выражение от д, до и — д, (рис. 84, б), получаем выражение напряженности поля соленоида (т.
е. всех его витков) в точке М; раскрываем знаменатель подынтегрального выражения по формуле бинома Ньютона и ограничиваемся первыми членами: (г'+а' — 2агз!пдсоза)-'гс= — ) 1 — — ( — ! + а З 1 Г а + — згпдсоаа... ~ = — ( 1+ — з*'пдсоза). г г г Теперь нахождение векторного потенциала не представляет труда 2л А = а — зь — ( 1+ — 8!пдсоза ) созайа= а — 8!пд, (4.40) 1р Г ог о !р.ос очп ~,(, о 4гс о н напряженность магнитного поля определяется по формуле (4.23) в сферических координатах: В результате получаем: Н =- — „(г, 2 соз д + д, з(п д).
(4.41) Как показывает сравнение с формулой (3.27), магнитное поле витка по своему строению есть поле диполя. Виток ведет себя так, как если бы вместо него в точке О находился магнитный диполь 8 28), ориентированный по оси 2. Переписывая (4.41) в форме (3.27), имеем: Н = —,(го 2созд+доз!и д). Здесь величина т, подобно р в (3.27), представляет собой абсолютное значение момента диполя (4.11) гп = тхсг Сопоставляя (4.41 и 4.41а), находим ш, т. е. не что иное, как магнитный 24омент витка щ=х01рпа =хо(!4о, (4,42) 109 где 5 — его площадь.
В последней форме выражение может быть использовано для плоского витка некруговой конфигурации. Полученный результат позволяет понять происхождение связанных магнитных зарядов, о которых говорилось на стр. 95. Оставаясь в рамках классических представлений, можно сказать, что роль элементарных магнитных диполей вещества, обусловливающих его намагниченность М, играют микроскопические токи, образованные движением заряженных частиц материи. Упражнения 1. Вывести формулы (4.32 — 4.34).
2. Найти выражение напряженности магнитного поля двухпроводной линии в декартовых координатах (рис. 86). Ответ: (х-;.1!2 х- — !!2 ~ 3. Построить распределение поля на оси круглого витка и соленоида с отноРпс 88 шепнем диаметра к длине 1:1, 1: 2, 1: 5, 1:1О. 4. Найти магнитное поле, создаваемое током, равномерно распределенным в плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
