Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Полагая сначала Э что внутри )г нет сторонних сил, и, следовательно, Р=Р есть гющность, расходуемая в области (например, мощность тепловых потерь), разделим в (5.32) вещественную и мнимую части: — Кеф П аЯ=Р, ) фпл-и ~э.— в~.~ (5.ЗЗ) Е= — — Е Ь 'ст о и интегрируя по (г. имеем: 15.34) нли Р Р" = Р'~ (5,34а) Пе вый член в правой части, обозначеннын Р" (величина вещественная), выражает среднюю мощность потерь. ервый чл второго члена (Р' ), то он оказывается комплексным, если Е' и Ь рею не совпадают по фазе. Вещественная часть Кер' = Р" называется активной мощностью источника, а мнимая часть !шР"' = Р' — его реактивной мощностью. Как видно, сред с е няя мощность (Р = Ке Р) в общем случае есть Р= Р" — Р" (5.346) (сравните с (2 5а). !З2 Как видно.
вещественная часть потока комплексного вектора Пойнтинга, входящего в область извне, в среднем уравновешивает происходящий там расход энергии, создает активную мощность. Мнимая часть потока вектора П, по определению, создает в области реактивную мощность, выражаемую разностью средних величин магнитной и электрической энергии, умноженной на удвоенную круговую частоту. Для выражения комплексной мощности при наличии источников в области !г привлечем (подобно тому, как это делалось в 3 12) закон Ома в форме (!.35). Внося в (5.30) вытекающее из (1.35) выражение напряженности П Введя в уравнение (5.32а) выражение комплексной мощности (5.34а), легко установить, что при наличии сторонних сил внутри (г вместо первой строчки (5.33) будет иметь место равенство: Ке ф П Ж = Р' — Р".
Я (5.33а) — / — еэЕвЕ с((l, 2 который оказался бы в правой части (5.32а), если бы исходные уравнения Максвелла были взяты в форме (5.15): ~ 2 ~ е Е Е "~ 1 = 2 ~ е Е с()г (5.35а) Прн этом вещественная часть аналогичного интеграла ! —,, ~ (НН*Л дала бы не учитывавшиеся до снх пор магнитные потери Р"=Ке ~! 2 ~ пНН*а(г ) = — ~ )ь"НыЛг, ' 15.36) т. е. мощность, расходуемую на периодическое перемагничивание среды. Примеры и упражнения !. Вывести формулы (5.29 и 5.30). 2. Исходя из уравнений Максвелла в форме (5.!5), получить частный вид уравнения баланса энергии (5.32) для случая, когда область !г не содержит сторонних сил.
Вещественная часть потока вектора П, которую согласно (5.28) следует интерпретировать как средний поток вектора Пойнтинга, положите.пьна при Р' > Р" и отрицательна при Р' < Р". Иными словами, поток энергии в среднем выходит из области, если активная мощность источника превышает внутренний расход энергии. Если же потери преобладают, то они покрываются входящим потоком энергии. Мощность потерь в среде (точнее: электрических потерь) можно выразить через комплексную диэлектрическую проницаемость: ь2 Р 2 ~ ьЛ' 2 1оа~д~Л/ 2 ~ е Ет(Л ' (535) р Ъ Это выражение, конечно, совпадает с вещественной частью интеграла 3, Рассмотрим изолированную систему (6 13), Полагая в (5.32а) П = 0 и внося туда (5.34а), имеем; Р"" = Р" + /2гв ()й'~ — (й"), (5.37) Разделяя в (5,37) вещественную и мнимую части.
получаем: Ра Р» Р' = 2ьх((Р' — У') Если при некоторой частоте ьа оказывается Р =О, то говорят, что имеет место резонанс. Тогда (5.37а! )у»м фэ Принимая во внимание очевидные равенства м ! м э ! э (э тпах И (» -- 2 и'э»ах 2 видим, что полная энергия Ф' = )й'"+ )й" равна при этом максимальной магнитной или максимальной элек трнческой: .м э (р = )рп»ах = ® »пах.
Отношение а»%' !Гпих эа!Пп1ах (5. 38) ра ра ра называется добротностью изолированной системы. Заменяя в полученной формуле ьх через 2п1Т. мы отмечаем, что добротность Г! =- 2п — „=-. 2л— (5.38а) ным условиям удовлетворяет, то существует гарантия,. что задача решена правильно. В н у т р е н н я я з а д а ч а. Пусть требуется найти электромагнитное поле Е, Н внутри области )х, ограниченной замкнутой поверхностью 5 (рнс. 101), т.
е. как говорят, поставлена внутренняя задача электродинамики. Покажем что внутренняя задача имеет единственное решение, если на границе 5 заданы тангенци,!льные составляющие векторов: а) Е (Š— задача), либо б) Н 'Н вЂ” задача), либо в) Е на одной части и Н на другой части !.раницы (ЕН вЂ” задача), и в каждом из этих случаев Г,й ;!роисходит хотя бы очень слабое поглощение энергии внутри )'. Предположим, что су- 7,й ществуют два ре!пения по:тавленной задачи Е„, Н, и а) д) Еа На Исследуем разность этих решений. Рис !О! ~ Е .= Е, — Е,. Л Н = Н, — Н,. Ввиду того, что оба решения удовлетворяют оговоренным условиям. поле ЛЕ, ЛН обладает тем свойством, что в случае (а) ЛЕ, = 0 на 5, »» (б) ЛН,=О на 5, э (в) ЛЕх= О на одной части 5 и ЛН, = 0 на другой ее части. Итак, в каждой точке границы обэязательно отсутствует тан: енцнальная составляющая вектора ЛЕ или вектора ЛН.
Но это эначит, что на всей границе равна нулю нормальная компонента векторного произведения (ЛЕ, ЛНа), а потому, в частности, отсутствует поток комплексного вектора Пойнтинга через гранину есть увеличенное в 2п раз отношение запаса энергии системы (й' к количеству ее Л(Рт, расходуемому за период Т. й 36. Теорема единственности Установим теперь условия, при которых электромагнитному монохроматическому полю в некоторой области соответствует единственное решение уравнений Максвелла. Практический смысл такого исследования очевиден, Если выражение поля, найденное каким-либо способом при решении определенной задачи, указан- Если внутри )х нет сторонних сил (5.33) вещественная часть этого интеграла потерь в области, т.
е. Р" = Т ') оЛЕ~, Л/ -» (Š— 0) то согласно равна средней мощности О Отсюда видно, что прн отличной от нуля !сколь угодно малой) хдех!ьной проводимости срады о поле ЛЕ (а с ним в силу уравне- !зп ний Максвелла н ЛН) должно равняться нулю. Следовательно, Е,.=Е, и Н,=Н» н задача, действительно, имеет одно решение. Но этот вывод не изменится и при наличии источников внутри Р. таь каь сторонняя мощность поля ЛЕ, ЛН равна нулк> Р"" = —,, ~ ЛЕ""Ь*«07= — ~ (Е'"' — Е"") Ь*>117=0 (оба решения соответствуют одному и тому же заданному стороннему полю Е'»').
Легко показать, что вывод остается н силе и при замен~ электрических потерь магнитными. Вн ешн я я задача. Докажем теперь теорему единственности для случая, когда поставлена задача найти электромагнитное поле Е, Н вне )г (рис. 101, б), в бесконеч- з ном пространстве )г', простирающемся от границы 5. Потребуем, чтобы на 5 была известна тангенциальная составляющая вектора Е или Н (условие а, б или в), и в пространстве )г' среда обладала хотя бы весьма малой способностью поглощать электромагнитную энергию.
По-прежнему предположим, что существуют два решения этой Рис ш2 задачи, и сохраним уже употреблявшиеся обозначен ия. Мысленно окружим область )> сферической оболочкой 5' бесконечно возрастающего радиуса (рис. 109), так что в пределе эту область в сравнении со сферой можно считать точечной и находящейся в ее центре. а пространство между 5 н 5' тождественным с )г'. Средняя мощность разностного поля ЛЕ, ЛН внутри )Г' равна вещественной части потока комплексного вектора Пойнтинга, выходящего через 5 и 5'. При этом (по доказанному) поток через 5 равен нулю.
Что касается потока через сферическую поверхность, то необходимо учесть, что он ей пропорционален. т. е. пропорционален квадрату радиуса сферы 'г'. В то же время поток пропорционален произведению амплитуд векторов ЛЕ и ЛН. Если по мере удаления от )г они убывают быстрее, чем 1>г, то в пределе прн г — » «, т. е. прн охвате всего бесконечного пространства )г' поток уничтожится, и мы будем иметь откуда ЛЕ = О, и решение, таким образом, однозначно. Итак, единственность обеспечена, если при выполнении всех оговоренных условий, кроме того, имеется уверенность, что 1зн предполагаемое разностное поле ЛЕ, ЛН должно убывать быстрее, чем 1>г.
Для этого достаточно, чтобы с указанной быстротой убывало найденное иоле Е, Н. ,' 37. Сторонние токи. Теорема взаимности Когда в среде с удельной проводимостью и существует сто1л>инее поле Е"' (обязанное своим происхождением преобразованию какого-либо вида неэлектрической энергии), отмечают также, что в среде распределен сторонний ток плотности Ь««а Е«ти (5.39) Ь оЕ - Ь»'" Наличие гармонически меняющейся сторонней напра>кенности Е"" (н, соответственно, стороннего тока плотности Ь' ) является непосредственной причиной существования гармонического во времени электромагнитного поля.
В этом смысле говорят об источникак поля, подразумевая присутствие Е«(и Ь' ). В ряде случаев использовать пон ятие стороннего тока оказывается удобнее. Казалось бы, наиболее естественным должно быть такое положение, когда сторонние токи локализованы в той области, где происходит превращение неэлектрической энергии в электромагнитную, т.
е. там, где расположен «неэлектрический источник». На практике дело обстоит иначе. Например, переменный ток антенны, создающий поле излучения, поступает от генератора электромагнитных колебаний. При этом влиянием самого генератора и соединительных элементов (линии передачи) на поле излучения можно пренебречь. Что же касается источника неэлектрической энергии, то он расположен где-то вне генератора; эта энергия «транспортируется» к генератору, будучи преобразована в электрическую энергию «питающего устройства» (батареи, сети промышленного тока н т. п.). Таким образом, создающий поле сторонний ток, распределенный в антенне, и источник неэлектрической энергии пространственно разделены.
Прн расчете поля исходят из заданного распределения тока, вовсе отвлекаясь от вызвавшей его причины. Рассмотренный пример наводит на мысль, что термину «сторонний ток» удобно придавать более широкое значение, чем это было сделано сначала. Обычно в электродинамике сторонним током называют всякий заранее заданный ток, фигурирующий в качестве исходного при расчете электромагнитного поля. Предполагается, что этот ток остается неизменным, т. е. в конечном счете поддерживается преобразованием неэлектрической энергии. Записывая с учетом (5.39) дифференциальную формулировку закона Ома (й 6) внося это выражение в уравнения Максвелла (5.9) и используя понятие комплексных проницаемостей Я 34), получаем систему уравнений монохроматического электромагнитного поля при наличии источников: го1 Н = уожЕ -)- Ь"". го1 Е = — уторН (5.4)) Токи, присутствующие в среде вследствие ее электропровод- ности (о ~ О), здесь, как и в уравнениях (5.15), учтень| под знаком комплексной диэлектрической проницаемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
