Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однако и скалярный потенциал ф представляет для дальнейшего некоторый интерес. Из (6.3 и 6.8) легко получить неоднородное волновое уравнение которому он удовлетворяет. Принимая во внимание соотношение (5.61) й=ю/о, отметим, что прн переходе к статическому случаю (а! —. О, А — > А, ф — >ф) волновые уравнения (6.9) и (6.1!) вырождаются в изученные ранее уравнения Пуассона (3.14) и (4.26).
Однако к такому же резултпату приводит и предположение о мгновенном распространении электромагнитного поля ибо при этом волновое число й также обращается в нуль. Иными словами, игнорировать время распространения электромагнитных воздействий — это значит свести электродннамическую проблему к статической. Волновой характер электромагнитного поля есть признак конечной скорости его распространения. Чтобы установить связь поля с источником излучения, надо найти решения уравнений (6.9 и 6.11).
С этой целью возьмем сначала статический (д,д) =- О) случай. Пусть при этом в области )г (рис. ! 12) распределен заряд (9 ' О) и присутствует ток (Ь эь О). Тогда в некоторой точке М существует электрическое поле, потенциал которого ф есть решение уравнения (3.14) н выражается формулой (3.23), а также магнитное поле, характеризуемое векторным потенциалом А (решенне уравнения (4.26), выражаемое формулой (4.27): ! ~ И !4 ~ 6 Рис. ! !в 4пе,! Т ' 4я У ч Очевидно, что этими формулами можно пользоваться и в то случае, когда заряды и токи внутри ч' меняются медленно-- настолько, что в течение времени распространения поля (от любой точки источника О до любой точки наблюдения М) их изменение пренебрежимо мало.
Тогда поле (см. Введение) называется квази- стационарным. Если же 9 и Ь изменяются быстро, то необходимо учитывать запаздывание процесса при распространении. Поле в точке М в данный момент ! будет определяться не величинами 9(!) и Ь(Е), а более ранними значениями 9(! — У) и Ь(! — Г ), где ! =-. г,'о есть время, в течение которого поле распространяется от данного элемента источника до М.
На этом основании (мы не приводим строгого вывода) электродинамические потенциалы определяются как где индексы ст поставлены с тем, чтобы подчеркнуть, что речь идет об источнике. Разумеется, 9"и и Ь' связаны уравнением (!.!6). Говорят, что формулы (6.12) выражают запаздывающие потепциалы. Для гармонического во времени процесса вместо о'"'= о". соз(ы! — , 'фо) и Ь = Ь„, соз(юг+фа) под знаками интегралов (6.12) следует писать г х и-=и" соз ~в(1 — — „1+~ро~ и его ет Г Г Г Ь = Ьо, соз 1Г в ( ! — — ) + ЧЪ ~ или, с учетом (5.61) Меьз Мегпе~~э (В1 йз +ф~) и Ь' = Ь' соз (в! — Ьг+ ра) Таким образом, в комплексной форме выражения запаздыва1ощих потенциалов принимают вид Это не что иное, как частные решения уравнений (6.9) и (6.11), соответствующие расходящимся от источника электромагнитным волнам.
Так например, рассмотрим поле, создаваемое одним лишь колеблющимся зарядом д'" = О„Л)г соз в! =- г)"" соз вг, расположенным в окрестности точки О' (рис. 113) '. Согласно (6.13), комплексная амплитуда потенциала этого поля есть Е„, Эр е-г" кгпв е-™ гр = — "'- — = — — ", (6.! 4) 4яг г 4нв г а сам потенциал равен , ми чг =- — '— " соз (вг — Ь). 4пег Рнс. 113 (6,14а) Не следует забывать, что с переменным зарядом связан ток (6.2)1 154 Поле имеет характер сферической волны, расходящейся из точки О'.
фронт ее — это шаровая поверхность (рис. ! 14), радиус которой возрастает со скоростью о. Легко проверить, что (6.14) действительно является решением уравнения (6.11). Запишем это уравнение в сферических координатах, положив д1дб=-О и д1да=О, так как потенциал (6.14) от угловых координат не зависит, а также о' =О, ибо поле ищется вне источника: (6.15) Подставляя сюда (6.14), убеждаемся, что уравнение удовлетворяется: Нетрудно проверить, что решением (6.! 5) будет также комплексная амплитуда Члп ег"" (6.16) 4лв г Однако (6.16) соответствует волне, сходящейся к источнику (распространяющейся из бесконечности, рис.
1!5); это решение в данном случае лишено физического содержания. Рнс. 114 Рнс. 11б Рассмотренный пример, конечно, еще не позволяет составить представление о поле излучения. Если, как это показано на рис. !!3, источники распределены в области )г, то для нахождения электромагнитного поля следует учесть действие всех точек этой области, т. е. произвести интегрирование в соответствии с формулами (6.
! 3). При этом, как уже говорилось выше, достаточно вычислять только векторный потенциал, так как скалярный исключается с помощью соотношения калибровки; это значит, что для определения поля излучения достаточно знать сторонний ток. Однако исследование поля при произвольном распределении тока является весьма сложной задачей. В дальнейшем мы ограничимся изучением так называемых алементарных источников. Ь 41.
Элементарный электрический излучатель Рассмотрим отрезок 1, вдоль которого течет ток (е = 1 соз вг (рис. 1!6). Может возникнуть сомнение относительно реальности такого изолированного элемента переменного тока. Для выяснения сущности вопроса привлечем закон сохранения заряда в форме 1 ба (б 2). Поместив элемент тока на оси г декартовой системы координат (рис. 117,а), мы должны записать уравнение (6.2) в виде 'гго . ' со1 с))ч хо ' бго = !соЬл или азо, .
'сж ае = -!!оЕ (6.! 7) где д',„'" — комплексная амплитуда заряда малого участка стержня Лг. Умножив обе части (6.17) на Яйг, с учетом сделанной за- !!) е писи получаем: гз!с™ — !гоо", (6.18) а) т. е. амплитуда заряда каждо- 7 ) ! Рис. 116 а) Ра . !!7 го участка пропорциональна изменению на нем амплитуды тока ! !ого Ясж т Но, согласно условию, амплитуда тока вдоль всего отрезка постоянна. Лишь на концах происходит ее изменение от нуля до 1'„"" и от 1,"„'" до нуля, рис. 117, б. Отсюда, в соответствии с (6.18), мы заключаем, что на всем отрезке, кроме его концов, заряд отсутствует; на концах же сосредоточены равные по абсолютной величине и противоположные по знаку колеблющиеся заряды с комплексными амплитудами !!Го ~ )7Го! (б.
19) Иначе говоря, мы имеем дело с диполем (рис. 117,е), момент которого р= хо!оооо гармонически колеблется с частотой со и имеет комплексную амплитуду !ого! р, =! — х,. -(б. 20) 156 Приписывая отрезку ! некоторую толщину, т. е. фактически заменяя его проводящим стержнем поперечного сечения 5, имеем б"„',"Я = !' И Е'„'„о5Аг = Е".,, Рис. 1!й Рас. 118 выражается интегралом А 4 ~ Ь с(р — во ~ с((г и Ъ (6.21) Ограничиваясь расстояниями, значительно превышающими размер элемента (см. также 5 20) г)21, (б.
22) мы можем поступать с множителем 1гг под знаком интеграла, как с постоянной величиной. Положим также, что элемент мал в сравнении с длиной волны !«л, (6.23) так что величину г йг= 2л— л (б. 24) можно считать одинаковой для всех точек излучателя. С учетом сказанного перепишем (6.21) в виде !г!о, о Ра Р!!ог А =х " — )г=х е '"", и о 4л5 г о 4лг где )г = Я! — объем, занимаемый током. Первый искусственный излучатель, осу!цествленный Герцем, представлял собой именно подобие колеблющегося диполя, Два металлических шара (рис.
118) перезаряжались с высокой частотой во время импульса индукционной катушки. Подробное описание опытов Герца (см. курс физики) не входит в нашу задачу. Отметим лишь, что антенны, сравнимые по свойствам с излучателем Герца, применяются и в настоя!цее время. Изображенный на рис. 116, 117 элемент тока — колеблющийся диполь — обычно рассматривается в качестве элементарного излучателя и называется диполем Герца. Перейдем к анализу диполя Герца. На основании (6.13) комплексная амплитуда векторного потенциала элемента тока (рис. 117) Располагая диполь Герца в сферической системе координат, как это показано на рис. 119, имеем: А = (г, соз 6 — 4>о Яп 6) —, е 12 о» -12» (6.26) Кол>поненты поля, создаваемого диполем Герца в произволь.
ной точке М (г, О, а), определяются по формулам 3 40. Так, согласно (6.5), 1 ° Н' г е-зл» Н,„= — го! А,„4 го( ~ — (госоз6 — 4>ояп 6) ~ » (6.27) илн (см. Приложение) Ово Г Н с»с Н '" 4л (6.27а) 6 0 Как видно, вектор Н направлен азимутально. Раскрывая определитель, получаем: Н = а, 4 ( —, +1/г) е>1"' — л"1 5!и О. (6.28) Величину Е теперь проще всего найти из первого уравнения Максвелла: Г е-»Лг ; 1 т. е.
Оо Г 51ПО д дд "о гвяпд ао Г 1!со» Н„= — яп 6 соз вс и — 4лгв Нссс Е 1 4лве д дг д да (6.29а) »со»! »о Ро= в Е,= ~ созда!пв! г=ял.,в (6.33) 0 е 1л"( —,+1й) 5!пвб Еэ= ~ яп65!ив! 4лгг' Отсюда 1»со» Е = — 7'— 4лве ) г,—,( — +)я)созб+ . е 7' — — й') я и б ~ е> 1оп — л >. Г (6.30) 188 188 Го Г'яп д д дг е чл» вЂ” СО5 г Оо г о! п 4> д дд Е гх» б — г — яп Г Переходя в формулах (6.28) и (6.30) от комплексов к векторам поля, записываем: спсо» Н = — ( — соз (вг — йг) — 5|и (в( — йг) ~ 51п 6; 4лг 1 1сг спет Ег = " 2 5!п (пп — лг) + со5 (вг — Йг) соз 6; г е ~веге 1 ег (6.31) Ьвпсж 1 Еп = [ (,2 2 — 1) 5!П(вг — йг)+ 1 + —, соз (вт — йг) ~ я'и 0; Н,=Н>= Ее=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
