Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В сравнении со сторонними токами их можно назвать евторичнымик. Действительно, сторонний ток, создавая электромагнитное поле Е, Н в проводящей среде, вызывает в ней и ток Ь =оЕ. Необходимо еще сказать о сторонних токах конвекционного типа, возникающих в результате переноса свободных зарядов в непроводящей среде.
Если заряд, распределенный с плотностью о, движется со скоростью тт, это означает существование тока, плотность которого есть Ь=Е . Заметим. что записанное соотношение, или, точнее, его модифи- кация го( Н, =- )веЕ, -)- Ь"~"' [ т го1 Е, = — уот)тН, (5. 42) совпадает по форме с полученным ранее выражением скорости движения энергии (2.27) и выводится совершенно аналогично. Как видно, при постоянной скорости движения заряда постоянен и ток; такой ток создает (строго говоря, в безграничном вакууме) поле, описанное в гл.
4. Переменное же электромагнитное поле в вакууме будет возбуждаться лишь зарядом. движущимся неравномерно (с ускорением). Сторонние конвекционные токи задаются обычна в виде уравнений движения зарядов, которые решаются вместе с уравнениями электромагнитного поля. Конвекционными токами создаются переменные поля в электровакуумных приборах. Л е м м а Ло р е н ц а. Пусть в линейной изотропиой среде существует поле Е„Н„возбужденное сторонним током ' Ь",и', которое, следовательно, подчинено уравнениям Максвелла и поле Е„Н„обусловленное сторонним током Ьз и подчиненное уравнениям го1 Н, = увеЕ,-1- Ь,, [ (5.
43) го1 Е, = — уврН',. Первое из уравнений (5.42) умножим на Е,, а второе уравнение (5.43) — на Н„произведем вычитание соответственных частей полученных уравнений и используем известное векторное тождество. Таким образом, получим: Йч [Ем Нт) = -Ь;"'Ее — ув)тНтНе — уввЕ,Е, (5.44) Аналогичные выкладки, произведенные с первым уравнением (5.43) и вторым (5.42), дают: Йч[Е,, Нт) = — Ьз Ет — ув)кНтНт — уожЕ,Е, (5.45) Вычитая (5.44) из (5.45), приходим к дифференциальной формулировке леммы Лоренца; Йч[Е„Н.,) — Йч[Е„Нт)=Ь1 Ет- Ьз Е.
(5.46) Интегрируя (5.45) по произвольному объему и применяя формулу Остроградского — Гаусса, получаем интегральную формулировку леммы: $ [[Е„Н.,] — [Е.„Нт)', т(5 = ~ (Ь! Ее — Ьз Ет) тУ(~. Я р (5.47) к Ь1 Е, Йт= '1 Ьз Етс((У. (5. 48) У Каждую из формулировок леммы Лоренца можно истолковать как «теорему взаимности». Поясним это на следующем примере. Положим, что сторонний ток Ь', локализован в области )го а тоь Ьз — в непеРесекающейсЯ с нею области (Уе (Рис. 103). Тогда на основании (5.48) имеем: Распространяя интегрирование на бесконечное пространство и полагая, что поля Е„Н, и Еен Не убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем 1уг, видим, что поверхностный интеграл в (5.47) исчезает, и это равенство принимает вид: )зч Вместо ток ниотности Ь» пулем гонория, квитко т~ л Ь.
~ Ь;-Е., У(У = ~ ЬГЕ, У)У. (5. 49) Пусть, далее, обе области совершенно одинаковы и имеют одинаковое распределение тока (например, две идентичные антенны). Если сторонние токи к тому же одинаковы по величине, то, как видно из (5.49), создаваемые ими поля Е, и Ее в обеих антеннах должны быть также идентичны.
Затем, всякое изменение величины тока Ь;" должно так же действовать на поле Е, в антенне 2, как и идентичное изменение тока р Ьз — на поле Ее в антенне 1. э, 1 Мы заключаем, что независимо от 'л свойств всего промежуточного про- странства (лишь бы оно не содерРис. (03 жало аннзотропных и нелинейных элементов) условия передачи из области У, область Уе совершенно таковы, как и в обратном направлении. В последующих главах будет показано применение теоремы взаимности к некоторым задачам, а также будут рассмотрены анизотропные среды, ей не подчиненные. й 88.
Волновой характер электромагнитного поля Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Это хорошо изученное теперь свойство электромагнитного поля было предсказано Максвеллом задолго до того времени, когда экспериментальная техника оказалась подготовленной к его открытию, сделанному Герцем.
При распространении периодического процесса с конечной скоростью (см. Введение) происходит запаздывание его по фазе; следствием этого является волновой характер распространения. Обнаруженные Герцем электромагнитные волны вскоре благодаря работам А. С. Попова стали одним из важнейших обьектов человеческой практики. С целью установления волнового характера электромагнитного поля рассмотрим гармонический во времени процесс в области, ие содержащей источников. В основу анализа положим уравнения Максвелла в форме (5.15), опустив в их записи точки над комплексными проницаемостями е и ри го1Н =- (твеЕ (5.50) го1 Е = — (ы)хН ) Применив к обеим частям первой строчки оператор го1, получаем го1го1Н =. (ые го1Е. Гае Отсюда легко исключить Е с помощью второй строчки: го1 го1 Н = в'е(хН (5.51) Привлекая известное тождество го1 го1 Ч = дгаб б(е Ч вЂ” Т*К и учитывая, что расходимость вектора Н равна нулю (5.16) запи- сываем УЙН+ ййй = О, (5.
52) где (г' = ы'ер. (5.53) Аналогичные выкладки приводят к такому же уравнению относительно комплекса Е: УеЕ+ИЕ=0 (5. 54) Однородные уравнения типа (5.52, 5.54) называют волновыми н обычно связывают с именем Гельмгольца. Исключить вектор Е или вектор Н можно и непосредственно нз уравнений Максвелла (17, !.8). Лля непроводящей среды при этом получаются волновые уравнения э' т'Н вЂ” ер,(, — — 0 (5.52а) и гйŠ— е)х —, .—.— О, (5.54а) ~~Е ! дм Ряс ~О4 яз которых уравнения Гельмгольца (5.52) и,(5.54) вытекают сразу же прн переходе к комплексам. Получим простейшее решение волнового уравнения и выясним его физическое содержание. В системе координат, принятой на рис.
104, через источник О и исследуемую область У проходит ось Ог. Пусть эта область лежит так далеко от источника, что любые две ее точки, расположенные на перпендикулярной к Ог площадке, можно считать находящимися на одинаковых расстояниях от О. В пределах этого допущения отрезки ОМ, и ОМе равны и параллельны (ОМ, = ОМ,), т.
е. точки М, и Ме по отношению к источнику совершенно равноправны, А это значит, что электромагнитное поле не изменяется от М, к М, (точнее говоря, эти изменения вполне пренебрежимы), и, следовательно, во всей области У процесс не пм зависит от координат х н йс — =0 и — =О. д д (5.55) дх ду Отсюда вытекает существенное упрощение оператора Лапласа 7 д Р» д77 и волнового уравнения. Так, (5,52) принимает вид: д»ц —,+ й'Н = О. дг» Решение подобного дифференциального уравнения известно, и мы имеелг: ' (5.56) хорошо Н = )гь (А'в ри Р В'е'"-') (5.57) Здесь А' и В' — произвольные коэффициенты, включающие множитель е', свойственный комплексам (9 33), а )гь — единичный ь вектор, указывающий направление Н. Выделяя временной множи, тель, пишем Н = Ь 'Ае''"' им ' В ""'+"*г) (5.57а) и, отделяя вещественную часть, получаем выражение вектора Н: Н = )г, 1А соз (ы1 — яг) + ) + В сов (ыг+ йг)) (5.576) г — Лг й) (коэффициенты А и В считаем вещественными).
Рис гол Найденное решение исследуем в отсутствие поглощения (е н р — вещественны). В некоторый момент гг магнитное поле, выражаемое первым членом (5.576), распределено вдоль оси г косинусоидально (рис. 105а) по закону А соз (ы17 — йг), А соз (ыгг + мог' — йг), т. е. окажется смещенным в положительном направлении (рис. 105, 6) на расстояние Лг, которое легко определить из условия ьэИ вЂ” яйгг = О. Ыг а по прошествии времени И в момент 77 = 77 Р Ж это распределе- ние примет вид Отсюда с учетом (5.53) находим скорость обнаруженного З7 перечещения чг и (5.58) )7 «Р Как видно, эта величина зависит лишь от свойств среды. Итак, гармоническое распределение поля непрерывно перемещается в направлении положительной оси г с постоянной скоростью о.
По определеииго, это бегущая волна, или, просто, волна, а и — ее фазовая скорость. В вакууме (в=е и )7=)гь) волна распространяется со скоростью и == с = 1,')7' зьр» =- 2,998 ° 10'мосек, (5. 59) а в среде с проннцаемостями е и р медленнее в )7 е(лг'вйхь Раз. Ближайшее расстояние Х между точками поля с одинаковыми фазами, определяемое из условия й (г+ Х) — нг = 2я называется длинои волны. Привлекая (5.58), находим: 2п 2пь ь Л вЂ”..— г» (5. 60) Величина й (5.531 (5.6!) именуется волновым числом, а также постоянной расггространения волны в неограниченной среде. Второй член решения отличается от исследованного первого (см.
5.576) только знаком при й, а потому, согласно (5.58), он соответствует волне, распространяюгцейся со скоростью — и, т, е. в противоположном направлении. Очевидно, что в рассматриваемом примере обратная волна должна отсутствовать (В = 0). Найденная волна является и:юской и однородной.
Смысл первого термина состоит в том, что в любой плоскости г = сопз1 в заданный момент времени фаза процесса постоянна, т. е., как говорят, колебания во всей плоскости синфазны. Можно отметить, что наблюдатель, двигающийся в такой плоскости, нс обнаружит волнового процесса. С течением времени плоскость постоянной фазы перемещается в направлении распространения волны со скоростью о, она называется фронтом волны. Термин «однородная» волна отражает тот факт, что амплитуда волны не зависит от координат, она постоянна. В рамках нашей задачи, не учитывающей способа возбуждения волны н мощности источника, амплитуда А остается неизвестной. Однако соотношение магнитного и электрического векторов и их ориентация в пространстве подлежат определению. глз При этом з<о» вЂ” !к! Н=Ае (5.
64) дН„ — = — 1'ооеЕ, дг х дН вЂ” = — )озеЕ. дг (5. 65) дН„ — "=- роеЕ дг Отсюда д"-» д (5.62) дЕ„ — х = — /оз(ЛН дг (5.66) (ро Ела ~/ Н (5.67) Рис. 1об а средняя плотность— лзяго П= КеП =-х, о (5.70) (5.71а) го ч =- — =х,— ==' и У'»1! (5. 72) Е= х,Е и Н= у„Н (5.63а) 145 10 заказ нл ! !оо !о! С этой целью запишем уравнения Максвелла (5.50) в декартовых координатах прн условии (5.55): Мы видим отсюда, что ни Е, ни Н не имеют продольной состав- лающей; векторы поля лежат, следовательно, в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. !06): Й =- х„Н„+ у Н„и Е = х,Е„-, у,Е,.
(5. 63) Легко убедиться, что они взаимно перо!ендикулярно1, ибо скалярное произведение Е Н обращается в нуль. Действительно, согласно (5.62). ЕН = — —.— »Й„+ — — *Н 1 дН» 1 дН. 1озо дг " !ож дг»' Учитывая, что дифференцирование комплексов Н н Е по г (см. 5.57) равносильно умножению их на — )я находим: Простоты ради направим, ось Ох вдоль вектора Е (рис. 106, б), тогда и первое из уравнений (5.62) принимает вид; 1 д А,зпм — оа) — Роо дг В л Кш! — »0 л а/ !! !(хз-Оз! озе -"У о Отношение амплитуд Е„и Н,„равно и называется волновым сопротивлением неограниченной среды. Пля вакуума (»'о= 7 !' =120п [ом). / з, (5,67а) ео Учитывая взаимную ориентацию векторов Е и Н, запишем: Е (»' [Н, х1. (5.68) Вектор Пойнтннга направлен по движению волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
