Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(, > Е=)«ее(«м — г«> ~ Еге ' 'ь ' йГ. г,-ьг Считая, что амплитуда Ег мало изменяется в зависимости от Г, вынесем ее за знак интеграла, одновременно меняя переменную интегрирования на à — Г,: ~ — ( (- ~ (г-г,> Е Яе Е(, й>(ьо( — гм> ~ й « (1(à — Г,). -ьг Интегрируя, находим: Г(Ф В=21«е Ег е>'(мм — гв-"> ('о йм йà — ) лг] ь(п ( ( — ( — 2) ЛГ1 (6 124) йы — ( — « йГ >89 Таким образом, 5>п ( ( ( — «) ЛГ~ Е = 2Е ' соз (Ы вЂ” Гг). (ь>-ь>р) (6.123) — ( — г йГ Очевидно, что произведенные выкладки справедливы лишь при весьма малом бГ, т. е. при достаточно узком спектре сигнала.
Вместе с тем, это же условие дает право рассматривать результат (6.123) как волну, близкую к монохроматической. При этом функция описывает медленно изменяющуюся огибаюиую сигнала. Ее максимум соответствует обращению в нуль аргумента ов — г- — г (6. 125) и связан, таким образом, пространственно-временным условием. Скорость движения максимума находится дифференцированием этого выражения по г: ег йо (6. 126) Она называется групповой' ~коростою и характеризует распространение сигнала.
Доказывается, что в тех случаях, когда понятие групповой скорости сохраняет смысл, она может быть найдена как скорость движения максимума энергии по формуле (6.121). Легко убедиться, что в отсутствие дисперсии фазовая и групповая скорости совпадают. Действительно, взяв фазовую скорость ыгр не зависящей от частоты о = ь»)» =-сопз(, имеем т. е. Глава 7 ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Вслед за проблемой излучения наше внимание в предыдущей главе вновь было обращено к волнам плоским, рассматриваемым как предельный случай сферических волн, возбуждаемых источниками в неограниченной среде.
Именно эти простейшие волны представляют наиболее удобный объект исследования волнового характера электромагнитного поля. Однако в большинстве практических задач нельзя говорить о бесконечном однородном пространстве. Обычно существенное влияние на распространение волн оказывают границы, разделяющие разнородные области, Так, волны над землей следует изучать с учетом их поведения на границе земля — воздух; характер волн в линиях передачи определяется наличием границ между направляющими проводниками и промежуточным диэлектриком и т. д. Настоящая глава предшествует рассмотрению специальных задач подобного типа.
В ней ставится целью дать основные представления о распространении электромагнитных волн в пространстве, состоящем из разнородных областей. Электромагнитная волна, «падая» на плоскую границу раздела сред, частично проходит через нее, продолжая распространяться в измененном направлении — преломляется, частично же отражается от границы, которая при этом служит как бы источником обратной волны. Схематически этот процесс поясняется на рисунке 154, а.
Падение электромагнитной волны на тело ограниченных размеров представляет собой принципиально аналогичное, однако значительно более сложное явление, называемое дифракцией. Ни отраженная, ни преломленная волны здесь уже не могут быть плоскими (рис. 154, б). Практически важен класс задач, в которых одной из сред является идеальный проводник.
Такие идеализированные задачи цп Отсюда А † (А 1 В) р"о Оро (?. 6) ()-„(о) и е (о) с((г! е5 (о) л )о (о) л~'1 (7. ?) ! — о- —.) (г1 !+о=т (?. 8) откуда (7.9) Рнс. (87 Ряс. (88 (7. 10) г> О. (7.11) 1 1 ремо»*. (Зо ( зн Отношения комплексных амплитуд называются соответственно коэффио(пента»о отражения и коэффш(аентом прохождения. Вноси эти обозначения в (7.6) имеем ((оо (ро о(Г, о Е=п„, зго и т=,+',, Итак, электромагнитное поле в первой среде представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн Нй' = у,А (е-мм — йемп), г ~( О, Е',"=х»АЮ,'(е з" -'+йем ') а во второй — прошедшую волну Е'" = х А Ф оте-оо»» ~о= о Легко заметить, что амплитуда поля в первой среде периодически изменяется вдоль оси г. Переписав одну из формул (7.!0) в виде Еа'= х АЖое мхо(!+Ре>гоп), мы констатируем, что амплитуда Еа' пропорциональна модулю комплексного числа Считая я, величиной вещественной (в среде отсутствуют потери), воспользуемся векторной диаграммой„представленной на рис.
157; по мере движения волны вдоль оси г условный вектор () вращается около фиксированного единичного вектора. Амплитуда Е" пропорциональна их сумме (рис. ! 58), периодически меняющейся с ростом координаты г. Соседние минимумы (или соседние макси- (94 мумы) В"' расположены на расстоянии Аг, соответствующем полному обороту о: 2й,бг= 2п, т. е., как видно из этого условия, на расстоянии половиньс волны: (7 !2) Когда волновые сопротивления обеих сред близки, коэффи- циент отражения (7.9) невелик, и оволнистость» поля в первой среде незначительна. При резком различии волновых сопротивлений коэффициент отражения близок к единице, и амплитуда поля периодически спадает почти до нуля. Рассмотрим два предельных случая.
а) Согласование сред. Если ЯГ»,=Ф",', что возможно лишь при соотношении прони- цаемостей (7. 13) Р» то, согласно (7.9), о=О, т. е. отражение отсутствует, а амплитуда поля в обеих средах (если не говорить о поглощении) не изменяется, б) Полное отражение. Если волна падает на границу с идеально проводящей средой (о » со), то (р;= т/, ". ° >/(и* -о, (7.14У г о,' — 1а»/оо в, т. е.
в соответствии с (7.9), т=О и о= — !. Поле не проникает во вторую среду, в первой же оно (см. 7.10) имеет вид Н)ь = у,2А соз й„г, Е'о = — хо(2АВ'", з(п й,г. (7.! 5) В отсутствие поглощения (вещественное я,) электрическое и магнитное поле во всем пространстве остаются неизменными по фазе и имеют фазовый сдвиг 90'. Таким образом, среднее зна- «ение вектора Пойнтинга в любой точке поля равно нулю, и передачи энергии нет. Магнитное поле при этом распределено косинусоидально, а электрическое — синусоидально от границы (рис. !59).
Это обстоятельство отмечается как «пространственный сдвиг» полей на четверть волны. Электромагнитное поле этого вида называется стоячей волной. Вычисление коэффициента отражения от металлической поверхности (см. пример 3) убеждает в том, что различие между реальными металлами и идеальным проводником вполне пренебрежимо, ,ут А« г2) пока не ставится задача учесть пот терн в металле.
Потери эти, возникающие в результате проникновения волны в металл, очень малы и практически заметны главным образом в системах с многократным отражением волн в волноводах и полых резонаторах (гл. 8, 9). Рис. 159 На практике возможны также случаи, когда поле, весьма близкое к стоячей волне, возникает при отражении от среды с резко отличающимся волновым сопротивлением.
В этом нетрудно удостовериться, заметив, что при (фа[ ~~ ] фа] и []его[ ч~ ]]гтго[ ~атласно (7.9), коэффициент отражения по модулю Е=+1. Механическое действие электромагнитной волны Электромагнитная волна, падая на накое-либэ тело, производит механическое диаление. Световое давление было обнаружено и измерено в 1901 г. П. Н, Лебедевым, и это сыграло значительную роль в обосновании теории электромагнетизма. Вычислим давление, производимое на идеально проводящую плоскость нормально падающей волной. Пусть ее магнитный вектор (рис. 160) есть Н,= у,А соз (юг в йг). Взяв формулу (1.556), легко убедиться, что з плоскости течет поверхностный ток плотности т) = [п„Н'1' — Н'з'] = Р .160 Рис.
16 2А [по, Уо) соз им=хо2А сов оМ, так как согласно (7,15) амплитуда поля в среде. примыкзющеи к проводнику, удваивается (Н'1'=2А), а в самом проводнике поле отсутствует (Н'з'=0), Выделеняый на рисунке элемент идеально проводящей плоскости ЛЯ= Лхбу можно рассматривать ($29) как векторный элемент тока ! Лх=хо2АЛЯ созе( 99 в магнитном поле Н=уо 2А соз юп В соответствии с (4 31) на этот элемент действует сила ЛР= ! [Лх, РН]=49В«1ЛЯ [х„, у,] созоЫ, и, следовательно, производится давление ЛЕ '= ЛВ направленное по движению волны и равное р=хо 4А'р сваты«.
Нетрудно также найти дав«ение, производимое на идеальный проводник произвольным электромагвитаым полем. Если напряженность магнитного поля на поверхности проводника есть Н, то, как это следует из (4.31), р 9 р [[по, Н], Н[ =- — пор НД 11ри,игры и упражнения (7,!6) где а=«р = У ] =(1+!) У 2« л 1 — весьма малая величина. Разлагая знаменатель (7.16) в биномиальный ряд ( ! + а) ' = ! — а -]- а' — а'-]-..., получаем с точностью до аз: (7,17) ]+ у' «КЛ+' к' «яЛ (7.18) 197 1. Плоская однородная электромагнитная волна нормально падает на плоскость раздела сред, магнитная и диэлектрическая проницаемости которых соответственно равны: е, = 5е,; )«о = ]о„ ео = е,.
Вычислить коэффициенты отражения и прохождения. 2. Решить такую же задачу при следующих данных: а) Р«=)оо е«=ее' )«1=5[«о во=во] б) Рч=)«о е«=8ео) )41= 1*5]«о ее=во) в) Рч=)оо е«=(5 — !092)ео' )оо=)оо во=во) ') )41=)ьо е«=ео) )«1=)«о ео=(5 — !005)ео. 3. Рассмотрим отражение волны металлической поверхностью. Формулы (7.9) перепишем в виде 1 — а 2п — и т= Для меди, например, 1ЩЛ вЂ” 1,04.10 те), и практически во всем диапазоне радиочастот о = — !. Задан ие.
а) Найти ошибку, совершаемую при определении коэффициента отражения о от меди по формуле для идеального проводника при частотах 1= 10' ге(; 1О'гг(; 10' гй и 10" гт(. б) При этих же частотах найти коэффициент прохождения и долю энергии, проходящую в проводник. в) Сделать такие же оценки для металлов с меньшей электропровод- (Е Н!' (г й) постыл. 4. Показать, что при наличии потерь (й, = й', — 1й",) формулы (7.15) приводятся к виду НЦ! = у, 2А (соз й,'г сй й;г+ К й) +15!и !е,'г Й й,"г, Е('! = — х,12АЮ",' (51п й;гсЬ й",г— Рис. !6! — / соз й;г 5Ыг",г).
(7. 19) 5. Чему равна плотность потока энергии поля (7.19) в напра- влении оси г. Пояснить результат расчета. 6. Волна, распространяясь в вакууме, нормально падает на бесконечный слой толщиной д (рис. 161), параметры которого суть )е и е. Показать, что комплексные амплитуды вектора Е отраженной и прошедшей через слой волн связаны с амплитудой падающей волны Е' соотношениями (Рао — РУЕ) (! — Е тяье) Š—— (Рео+Рое) (! — е ' е)+2 !' це(тоео((+е име) ~ лрероеое " (л е (!' Рео — 1 рое) е о~~-~-(рг(тео (;ргр,е)е еже (7. 20) 4 49.
Наклонное падение плоской волны. Общий анализ Предварительные замечания. Если плоская волна Распространяется вдоль оси г', не совпадающей ни с одной из осей декартовой системы координат (х, у, г) (рис. !62), и, следо- 498 Указан и е Рассмотреть граничные услоеия для оекторои Е н Н на обеих границах слоя. 7. Пользуясь результатом (7.20), подсчитать, какая часть энергии волны длиной Х = 300 л! (в вакууме), нормально падающей ма бесконечный медный лист толщиной в 1 микрон, проходит через него. Найти коэффициент отражения от листа и сравнить его значение с аналогичной величиной, найденной в задаче З,а. вательно, волновой аргумент имеет вид ео! — йг', (7. 22) Чтобы перейти в волновом аргументе к основным координатам (х, у, г), достаточно учесть, что " = йхо = й (хоье + уот) + хоьг) (7 23) где 9=со5(г, х), т(=-со5(г, д) н ь = соз(г', г) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
