Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(7. 76) координат с осью г, направленнов = и,'), перепишем (7.76) в скалярная Введя местную систему по внутренней нормали (х, форме: Е„ (7.76а) Е, )4' 2!! я, таким образом, )!2л,= )/1 ~~ = (1+ !) )/ — ~~ . (7.75) В силу непрерывности векторов поля соотношение (7.73) справедливо и на граничной поверхности (рис. 170): векторы Е и Н уходящей в проводник волны равны тангенциальным компонентам соответствующих напряженностей поля в примыкающей к нему среде. Итак, на границе проводника существует следующее соотношение: ° = —.= У' — „ й У озро' (7. 78) Глубвнв чрева«во»внял Л', мм 1члвтотв 1, в«1 Мол«ля Примеры и упразкнгния 64,2Ч 66,0 ! 82,6 ! 127,0 ! Серебро Медь .
Алюминий Латунь . 212 Соотношения (7.76), (7.76а) известны под названием приблизквнных граничных условий Леонтовича'. Они указывают, в частности, на тот факт, что электрическое поле на поверхности проводника (в отличие от идеального проводника, когда о — в со) имеет тангенциальную компоненту. Эта компонента очень мала и может не учитываться до тех пор, пока не ставится задача вычислить потери энергии в проводнике; ясно, что в приближении Е«=О не принимается во внимание уходящий в проводник поток энергии. Применение граничных условий Леонтовича к различным задачам непосредственно связано со степенью проникновения поля через границу.
Из 2 45 известно, что поглощение энергии средой вызывает экспоненциальное затухание волн. Согласно й' (6.81), на расстоянии Лв, определяРнс. 170 емом из условия ь Ле (7. 77) амплитуда волны уменьшается в е = 2,718... раз (затухание составляет 1 неп). Величина Ле называется глубиной проникновения поля. Волна, входящая в проводник, приобретет затухание в 1 неп на глубине (6.86) Для наиболее употребительных металлов приведем следующие данные: Таблица 3 Таким образом, например, при частоте 7'= 100 кгц глубина проникновения для меди составляет Л' = 0,2 мм, а при =10' Мгц уже всего 6,6 10 4 мм. На расстоянии нескольких Л' поле становится весьма слабым.
Так, на глубине !ОЛе амплитуда поля окажется в е"=22026 раз меньше, чем на границе. Оче- ' Употребляется также название «граннчные условия Щукина — Рытова— Леонтовича». видно, что существованием поля на большей глубине вполне можно пренебречь. Электромагнитная энергия в проводнике сосредоточена вблизи его поверхности; глубокие слои оказывают исчезающе малое влияние на электромагнитный процесс. Это явление называется повгрхноапным эффектом, или скин-эффектом.
Далее, мы должны заключить, что в сущности безразлично, ограничено ли электромагнитное поле в диэлектрике бесконечной металлической средой (рис. !71, а) или металлическим слоем толщиной в несколько Л' (рис. 171, Ь): волна, затухающая в металле, «не достигнет» другой его границы. В технике толщина металла часто намного превышает Л'. В ф таких случаях для нахождения поля в примыкаюпгем диэлектрике явно нет необходимости искать решения уравнений Максвелла в обеих средах и связывать их обыч- й ) 77) ными граничными условиями при разделе. Достаточно получить ре- Рнс.
171 шение для поля в диэлектрике, удовлетворяющее на граничной металлической поверхности условиям Леонтовича. При этом, однако, существенно следующее обстоятельство. К граничным условиям Леонтовича нас привел анализ преломления на плоской границе (8 51). В случае произвольной граничной поверхности эти условия применимы, если радиус ее кривизны значительно превышает величину Ле; )7 ~р Ло (7.79) Разумеется, Л" сохраняет смысл «глубины проникновения» также при выполнении этого условия. 1. Вычислить глубину проникновения для сред со следующими свойствами: а) )4=)»е, в' — — 100ге, о=2.10 * сим!м; б) )4=)сал в'=ее, 0=2.10»а сим!м1 в) )4 = ! 00)»„е' = в„о = 1 сим!м! г) р=)»„в'= в„о=10' сим)м.
Частота равна )=10 Мгц. 2. Полагая, что каждая из сред п. 1 отделена плоской границей от пустоты, указать, в каких случаях применимы граничные условия Леонтовича. 9 53. Потери энергии. Поверхностный ток и сопротивление проводника Рассмотрим практически важную задачу о поглощении энергии проводником при выполнении граничных условий Леонтовича, т. е. в том случае, когда проводящее (обычно металлическое) тело имеет достаточные размеры и допустимую кривизну поверхности. Магнитное поле на поверхности будем считать известныло Но (7. 80) тогда (9 35) на основании (7.75), (7.76) можно найти направленный внутрь проводника комплексный вектор Пойнтинга: Рис.
!72 П= — Е, Н*~= — 2ЦН', по) Н'*) =По 'Но' (7 81) и, далее (7.78), 3. Указать кривизну границы, при которой заведомо нельзя пользоваться граничными условиями Леонтовича для сред, выбранных в п. 2. До сих пор оставлялся в стороне вопрос о распределении тока при поверхностном эффекте. Между тем, ток 'убывает в глубь проводника по тому же закону, что и поле, ибо плотность тока связана с вектором Е соотношением Величину бо поэтому называют также «глубиной проникновения тока». Полный ток 7 (1), протекающий через единичный «брусок», мысленно выделенный в проводящем полупространстве (рис.
!73), определен равенством хо((1) = ~ Ь г(п'. (7.86) о з У В силу поверхностного эффекта этот ток сосредоточен в относительно ач=! тонком наружном слое проводника. Это дает основание рассматривать его о' условно как ток «поверхностный» (2 9), т. е. заключенный якобы в геометрической поверхности и не зани- Рис. !73 мающий объема. Интеграл (7.86) выражает при этол! плотность поверхностного тока: Полная комплексная мощность находится интегрированиел! этой величины по поверхности проводящего тела (рис. 172): (7.
83) а мощность потерь — как вещественная часть Р: 2 сто~ Я (7. 84) Этот прием значительно упрощает решение задачи и вместе с тем обеспечивает вполне достаточную точность расчета. 2!4 В пределе при о — + со (идеальный проводник) потери исчезают. Обычные металлы, как это уже отмечалось, близки по свойствам к идеальному проводнику, так что потери энергии в них часто можно не 'учитывать. Когда же это оказывается необходимым, исходное магнитное поле у поверхности Н' принимают таким, каким бы оно было при бесконечной проводимости: Но = Но! (7.85) о! = 1 Ь с(п'.
о Заменяя в формулировке закона Ома Е через Н с помощью (7.73) (7.88) 6=о(»7',(Н, по'] и внося полученный результат в (7.87) имеем: 41=а(5', ~ [Н, пДс(п'=о(47»о ~ ~ Нс(п', и,'~ . (7.89) о о Комплекс Н изменяется от границы по закону Н = Ное-4»о', где (6.86, 7.78) (7.90) 2!5 поэтому ?=ЧЕ, (7.91) а ток и (7.92) Рис. !75 Рис.
!74 проводника. Привле- (7.93) также важную фор- -а !+1 ооо (7.94) 2 !+1 Я 2' = — = 2л!7 2л47одо (7.98) Примеры и упражнения 2!7 2!6 — — ы ~Нс(п'=Йо~е ао "г(п ~' Но о Внося это в (7.89) и принимая во внимание (7.75), получаем следую!цее выражение плотности поверхностного тока Ч = 1Йо, и,') = (п„Но), где п, = — п, — внешняя нормаль к проводнику. Интересно, что для случая идеального проводника, когд в строгом смысле слова является поверхностным, ибо внутри роводника он отсутствует вместе с полем, формула (7.91) получается непосредственно из граничного условия (1.556), в котором следует положить Н,=О (см.
также упражнения 2 9, (1.57)). Величина, определяемая соотношением а Л = —. Ч называется поверхностным сопротивлением кая (7.76, 7.91 н 7.80), убеждаемся, что ха ((?о С помощью (7.75 и ?.78) легко получить мулу поясняющую смысл выражения «глубина проникновения тока». Действительно, активная часть поверхностного сопротивления й~= (7.95) такова, как будто бы ток, не уменьшаясь по амплитуде, проникает в проводник на глубину Л' (рис. 174).
Вычисляя комплексную мощность в проводнике как Р = — ~ Ч' 7~с!5 = — „1 ~ Ч' с(3 (7.96) в Я и учитывая, что, согласно (7.91), з Ооз приходим к полученному ранее выражению (7.83). Опираясь на имеющиеся данные, можно, наприлзер, найти сопротивление единицы длины цилиндрического проводника произвольного сечения (рис. 175) при условии, что его наименьший диаметр и радиус кривизны значительно превышают глубину про- никновения. Ток такого проводника определяется как где Š— длина контура его поперечного сечения, а 'напряжение на единице длины проводника есть П'= Е.
Поэтому искомое сопротивление выражается формулой Сы да (7.97) ь В частности, для цилиндрического проводника радиуса ?с эта формула принимает вид; Применяя ее, нельзя забывать принятого в выводе ограничения (??>>Ло). В следующем параграфе цилиндрический проводник будет исследован подробнее. 1. На плоский медный лист достаточно больших размеров. нормально падает плоская однородная волна длиной 1=10 см. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет Е =- 1000 вам.
Найти мощность, теряемую на нагрев 1 см' поверхности листа в средней его части. Условия задачи, как видно, допускают пренебрежение эффектом на краях листа (дифракцией). Чтобы пользоваться для расчета формулой (?.84), необходимо знать амплитуду магнитного поля на поверхности листа. При определении ее будем считать лист идеально проводящим (7.85). При этом, как известно из 2 48, в направлении нормали к листу устанавливается стоячая волна с удвоенной .амплитудой магнитного поля у его поверхности.
Таким образом, и 2Е,« 1 « Нп,= —.' = — 10 а чю В'и, бл Применяя (7.84) к площадке в 1 см«, получаем: — 10 4 10« Р" = — — 2 10 внн 2олп ' Зблп За да н и е. Проверить этот результат, вычислив мощность прошедшей волны на основе (7.9). 2. Выполнить расчет п. 1 при следующих видоизменениях: л) волна падает на лист под углом 45', б) лист свинцовый, в) длина волны ) = 1 лом.
3. Построить график зависимости активного и реактивного сопротивлений медного провода от величины )х/) в области значений этого аргумента, допускающей применение формулы (7.98), Какой характер имеет реактивное сопротивление? 4. Найти выражение сопротивления единицы длины трубы, полагая выполненными граничные условия Леонтовича. 4 54. Внутреннее поле цилиндрического проводника Цилиндрический проводник представляет интерес для техники н в тех случаях, когда условие (7.79) заведомо не выполняется и, следовательно, результаты предыдущего параграфа оказываются неприменимыми, Проведем исследование, свободное от прежних ограничений. Рассмотрим бесконечный цилиндриче- ский проводник (рис.
176), по которому ! течет неизменный по амплитуде ток /. На Н -м поверхности проводника существует, таким Рис. !7б образом, азимутальное магнитное пале, также имеющее везде одинаковую амплитуду, Электрическое поле при этом продольно: Е=г,Е. В этих условиях будем искать решение волнового уравнения (5.54), которое прямо можно записать относительно абсолютного значения комплексного вектора Е: и'Е+ /е«Е = О. В цилиндрических координатах с учетом очевидного требования д !дг = 0 и д/да = 0 (7.99) 218 оно принимает вид: (?.ПЮ) ' +'л«Е =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
