Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Полагая для этого случая в (7.148) е — » — ! с и, соответственно, (г',— О, имеем (7.15! ) Этот случай подробно рассмотрен в книге А. И. Потехина «Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн». На рис. 186 показана заимствованная оттуда диаграмма относительной интенсивности рассеянного поля для различных отношений Я/» (в данном случае построены величины, пропорциональные корню из плотности потока энергии). Пунктирная кривая соответствует предельной (» †» 0) задаче, рассмотренной в з 55.
как видно из диагз! Е'= Е', Н Но зко Р+Ро 2»в Н О /20 (7.152) (ср. з 28). У 27 21в' Примеры и упражнения Р .>вт (7. ! 54> Н'= Н' о 2«о Е'= Ео (7.153) граммы, дифракция приводит к появлению весьма резкого максимума интенсивности в области «тени». Отметим, что построение такой диаграммы по формулам (7.142, 7.! 50) требует большой вычислительной работы. .Ю о 220 Несложная проверка по- казывает, что в пределе зев при 1«!Х вЂ” » 0 соотношения (7.141, 7.142, 7.149, 7.!50) совпадают с получаемыми я» из электростатической и магнитостатической задач. При этом, например, ! . Воспользовавшись выражениямицилиндрическнх функций малого аргумента (ПЗ.! 2), получить формулы (7.152) нз (7.141 и мв 7.! 49). Рис. !86 2.
Если в формулах (7.141, 7.142, 7.!49, 7.150) сделать замену (6.46), то в силу принципа двойственности их новый внд будет выражать решение задачи дифракции волны, магнитный вектор которой (а не электрический, как это было) параллелен оси цилиндра. Найти это решение. 3. Показать, что в пределе при )с7Х вЂ” »О из результатов предыдущего, в частности, вытекает: 4 57. Дифракция плоской волны на отверстии Пусть на непроницаемый бесконечный экран с отверстием (рис.
187) нормально падает плоская однородная электромагнитная 232 волна. Происходящий при этом процесс, сопровождаемый излучением из отверстия в полупространство за экраном, называется дифрак»(ией на отверстии. Анализ этого излучения представляет интерес для теории антенн. В соответствии с з 44 можно считать, что поле излучения порождается якобы существующими в плоскости отверстия «эквивалентными источниками» вЂ” электрическим и магнитным поверхностными токами, связанными с полем в отверстии соотношениями (6.54), (6.55). Точные значения величин Е и Н неизвестны, и, таким образом, уже сама постановка задачи является приближенной. Будем приближенно считать, что отверстие «вырезает» участок фронта падающей волны, которая задана, например, в виде Е = х»Е„е'<"'-"~ и Н =- у Н е'<""-"о~, о гогда в системе координат рис. 187 поле в отверстии есть (7.! 55) и, согласно (6.54), (6.55), плотности эквивалентных токов имеют вид; = — хои„и»)" = — у»Е = — у»Ф»И (7 156) Внося это в формулы (6.57 и 6.65) и распространяя интегрирование на внешнюю поверхность экрана, получаем выражения векторных потенциалов А н А"', определяющих поле излучения; А» хо И» 1 йЯ и А'л уо Цо 1 йз (7 157) .х зв (поле Е, Н отлично от нуля только на отверстии 5 ).
= 'ггые — 2 (хх'+ уу') + х'+ у", (7. 158> причем Рпс. 189 Рнс. |ЯЯ 2 2 где Ф = "еФ " Ф =УоФ. |Ье ~ ' (яе (7. 165) (7.163) (7.165а) ЙЬ ып — д 2Я (7.164! ьь 2>! " Здесь г — расстояние от точки наблюдения М(х, у, г) до лежащей в плоскости отверстия точки Р(х', у', 0): Яе = — х2.1 уз Будем рассматривать поле лишь на очень большом расстоянии от отверстия, так что к'<<И и у'«)7.
(7.159) При этом условии под знаком интеграла Ф='' (5, (7. 160> зз фигурирующего в (7.157), можно положить в знаменателе г=|ч н вынести эту величину как постоянную. Однако в отношении функции е >|а подобная операция недопустима (ср.
9 41), поскольку размеры отверстия не малы в сравнении с длиной волны. С целью дальнейшего упрощения разложим (7.158) в биномиальный ряд и ограничимся первыми степенями х' и у'. Тогда г = !с — — (хх'+ уу'), | й (7.161> н (7.160) принимает вид е ~еа Ф= ~е " 4(5. (7.162> В дальнейшем займемся отверстием прямоугольной формь (рис. 188), так что в е 2 ~ ( — М вЂ” еа Ф= — т 1 е " ах'ду'= Р 3 .> и, с учетом формулы Эйлера, Ьп е >ьн е|п 28 х ф=аЬ >>, йа 2>! ' С помощью преобразования х = >с з!п д соз а у=Из)пдз!па > (см.
рис. !89) этот результат нетрудно переписать в сферических координатах: >ен Мп ( — Мп дсоеа) 2>п ( — 2|п де>па) Ф = аЬ . (7.164а) 2> — 2|в д сов а 2 — 2!и д 2>п а 2 Функция Ф в поставленной задаче представляет значительный интерес н, как ниже будет показано, позволяет судить о налрав- яенноети излучения прямоугольного отверстия, Однако полное представление об исследуемом электромагнитном процессе можно получить, лишь определив векторы поля излучения Е и Н.
С этой целью выражения векторных потенциалов (7.157) перепишем в виде: А„=- ' — Ф" и А'" = — Ф", (7.157а> 4л 4л В сферических координатах, как легко проверить, Ф' = Ф (г, з> п д соз а+ (>е соз 6 соз а — а, з(п а) Ф = Ф(гез(пд з>па+4)есоз да(па+а,сова). Принимая во внимание, что векторы Ф', Ф" зависят от радиальной координаты по закону сферической волны е->ьн/!с (7.164а), можно показать, что в пределе при !« — » со справедливы равенства дгас( е(1ч Ф' '" = — г,А'Ф," " Внося с учетом (7Л66) выражения векторных потенциалов (7.187а) в формулы (6.66), находим поле излучении о 77т Е = )Ь)Р' —" Ф (1 Р соз д) (басок а — аа з!и а) ~т (7.! 67) Н = 1/г —" Ф (1+ соз д) (б„яп о + по соз и) Легко видеть, что для отверстия, размеры которого значительно превышают длину волны (см.
7.!64а), функция Ф, изменяющаяся гораздо быстрее, чем соз 6, удовлетворительно характеризует направленность излучения. Опустив в (7.164а) множитель аье-эияЯ, получим формулу, описывающую направленность излучения в плоскости, параллельной вектору Е (а=0) и называемой «Е-плоскостью», ьа 51П вЂ” 5!П О ~н(б) = ь 2 (7.! 68) — 5!пд 2 ' а также аналогичную формулу для перпендикулярной ей (а= 90') «Н-плоскости» ьь 51П вЂ” 51П О ) (7, 169) — 51П д 2 На рис.
! 90 представлена построенная по одной из этих формул диаграмма направленности прямоугольного отверстия в декартовых 2»Л ) ЯР/ т!о»ма 2 Рис. !90 (а) и полярных (б) координатах. Она, как говорят, имеет «много- лепестковую» форму. Угловая ширина основного лепестка (26* на рис. !90, б) уменьшается при увеличении размеров отверстия 236 в сравнении с длиной волны, Действитечьно, взяв, например, фор- мулу (7.169), имеем: 7ЬЬ .
яп! — яике ) =О, (, 2 причем речь идет о низшем корне (рис. 190, а) ьь — 51П дв = П, 2 а отсюда 26« 2 з1п Ъе = — ь— (7,170) В пределе при )ь — »0 угловая ширина максимума излучения становится бесконечно малой, что соответствует излучению «только вперед» вЂ” результат, вытекающий из правил геометрической оптики. Здесь уместно вспомнить, что электромагнитное поле было определено нами в бесконечно удаленной области (!« — э со), иными словами, окончательные результаты справедливы лишь для так назыВ »1 ваемой «дальней зоны» излучения (ср. $ 42).
Естественно, что абсолютные размеры излучателя при Рис. !9! этом безразличны: угол, под которым поперечник отверстии «виден» из точки наблюдения, пренебрежимо мал. Поле в «ближней зоне» обычно менее интересно с чисто практической точки зрения. Однако о нем полезно иметь хотя бы качественное представление, чтобы лучше позимать сущность дифракции как отклонения от законов геометрической оптики. диаграмма излучения в ближней зоне для широкого отверстия (поперечник значительно превышает длину волны) представлена на рис. !9! в декартовых координатах.
Приближение геометрической оптики соответствует результату, показанному пунктиром: излучение ограничено краями отверстия (резкая граница тени). причем его интенсивность! везде одинакова, так что диаграмма имеет вид прямоугольника; отметим, что для дальней зоны такая прямоугольная диаграмма означает бесконечно узкий луч. Действительная картина характеризуется непрерывной кривой.
Как впдно, в результате дифракции граница тени оказывается «размытой»: интенсивность спадает к нулю уже за краями отверстия. В области же самого отверстия интенсивность колеблется, причем колебания возрастают по мере приближения к краям. Решив задачу дифракции на отверстии, мы вплотную подошли к анализу поверхностных антенн, намеченному в общих чертах в $ 44 (пример 3).
Отверстие можно рассматривать как некую ' Имеется в виду плотиость потока эиергии П 237 идеальную поверхностную антенну с однородным синфазным полем в раскрыве. У реальных антенн (например, рупорной, параболической и т. п.) поле в раскрыве не синфазно и не однородно по амплитуде, что, в частности, приводит к расширению главного лепестка в сравнении с исследованным идеальным случаем. Формула (7.! 70) дает оценку предельной направленности поверхностной антенны.
Отметим еще, что по мере уменьшения отверстия все больше сказывается «эффект крае⻠— искажение поля падающей волны у краев отверстия, не учтенное в нашем изложении. По этой причине полученные результаты, например, нельзя применять к отверстиям, малым в сравнении с длиной волны. Граничные условия задачи 1 соответствуют тому случаю, когда плоскость Я за исключением области 8, является идеально проводящей. При этом Ят можно рассматривать как отверстие в непрозрачном экране (рнс. 193, а). Рнс !92 Примеры и упражнения 4 58.
Применение принципа двойственности Принцип двойственности (9 43) оказывается весьма плодотворным в области явлений дифракции, где он н был впервые применен А. А. Пистолькорсом. Положим, что неограниченное пространство делится плоскостью о на две части. В области Я, на этой плоскости задано тангенциальиое поле Е„в остальнои же части оно равно нулю Е,= 0 (рнс. !92, а). Пусть известно существующее при этих условиях в одном из полупространств поле Е, Н.
Задача !. условна на плоскостн ура н:яяя атаксвсл. а рсшснне в ! полуоростран стае го! Е = — ухну«Н, го1 Н = уыеЕ Е,=Е' на 5„ У, =-0 вне Ег !. Убедиться в справедливости выражений (7.166а). 2. Пользуясь формулами Приложения 2, вывести предельные соотношения (7.166). 3. Выписать выражения векторов поля излучения в Е-плоскости н Н-плоскости. 4. Размеры прямоугольного отверстия в экране а =!0 см и Ут = 24 см, длина волны, нормально падающей на экран, Ув = 2 см. Найти угловую ширину главного максимума излучения в Н- и Е-плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
