Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Налагая условие (8.74а) иа решение (8.75), находим, что Х = —.л ° Х. ="дЬл (8.76) где !и = 1, 2, 3,... и и = 1, 2, 3,...-- любые целые числа. Зиачеиия т=О и и = 0 исключены, потому что оии ие соответствуют существованию поля (Е,=О). С учетом этого результата (8.70) принимает вид: Х'=( —,) +(,— „). (8. 77) Š— — — !'à —, Е соз — 'х яп — "у, -х„ аьл .
ля .тх ХР Р а Ь л лл Š—.. - !à — Е 51п — х со5 — Д, р" Хр а а Ь (8. 78) Н =!' —, — 'Е яп — 'хсоз — у, Г Хр ° (ал лл Кхн Хх ь а Г Хх тл . лл Н„=- — !' —, — ' Е соз — 'х яп — "- у "Р 1Г!'ХР " а Ь 265 Итак, различиым решениям Е „соответствуют определенные значения поперечного волнового числа Х. Задав какие-либо числа т и и, мы однозначно определяем тип поля волиовода. Все компоиеиты поля данного типа нетрудна найти, подставив в общие формулы (8.21) Н, =- 0; Е, =- Е, яп Х„х я и Х„ув"" Ь, = Ьр = 1; а, =- х, д, =- у. В результате получается: ~вл . лл Ет — Е яп — хз)п — 'у, — р а Ь т)=(пы Н). 11 ~1 .1 ,оа хо 1 1Сн Е» Рис. 211 ' 11 11 111 11 1' Ц)1 11 ог Ф" о! хс )х 1'„~ х 0 1х 1х, о1", — -'.,х Примеры и упражнения Ряс.
210 2ЯО 1 .. ххх' ххххх ххх 1 ооо / оооо В оболочке волновода течет поверхностный ток, плотность которого определяется по формуле (7.91) Отсюда, например, видно, что в случае Е-волн существует лишь продольный ток. Распределение тока для волн Е„и Ны показано на рис. 211. Подчеркнем в заключение некоторые особенности волновода, выявленные произведенным исследованием. Направляемые Е- и И-волны образуют бесконечный ряд типов, отличающихся строением поля и скоростью распространения.
Однако одновременно существует лишь ограниченное число волн. При этом размеры сечения прямоугольного волновода выбираются обычно с расчетом, чтобы распространялась только волна основного типа Н1х. При достаточно малых размерах а<К,12 не может существовать н основная волна, и передачи энергии не происходит. Применение волновода оказывается, таким образом, практически допустимым на очень коротких волнах, обычно сантиметровых и миллиметровых.
1. Найти критические длины волн первых десяти типов поля прямоугольного волновода, заполненного воздухом, при размерах а=10 см и Ь= 5 см. Обратить внимание на постепенное сближение езультатов. остРоить гРафик зависимостей ве1 и с1,р ота длЯ волны основного типа пустого волновода. 3. Как изменятся результаты пп. 1 и 2 при заполнении волновода диэлектриком с е = 9е,? — — и ?' (8.94) Х" ?. — х+ Х (Х вЂ” ",' ) = 0, ~ ф 63, Круглый волиовод Е-волны (8.99) = — х'Е (8.91) при Пис.
212 (8.100) 270 4. Построить магнитные силовые линии в поперечном сечении прямоугольного волновода для волны Е„и в плоскости широкой стенки для волны Н„. 5. Проверить формулы (8.41 н 8.47) для прямоугольного волновода. 6. Найти постоянную затухания для поля О„ пустого прямоугольного волновода с размером а = 1 см при Х = 3 см. 7. В волноводе и. 1 напряженность электрического поля в пучности волны основного типа равна Е =- 1О' в7м. Найти амплитуды поперечного и продольного магнитного поля, а также передаваемую мощность при Х = 15 см. 8.
Построить линии тока в стенках прямоугольного волновода для волны основного типа. 9. Показать, что в волне основного типа прямоугольного волновода центр семейства магнитных линий совпадает с максимумом тока смещения. 10. Ввиду того, что поперечные и продольные компоненты поля направляемои волны сдвинуты по фазе на 90' 6 60), в прямоугольном волноводе, передающем волну основного типа, существуют точки, в которых вектор Н поляризован по кругу. Найти геометрическое место этих точек. Волновод круглого поперечного сечения показан на рис.
212 в цилиндрической системе координат. Буквой )х обозначен радиус волновода. Его изучение мы поведем по уже известному плану. Запишем уравнение (8.36) в цил линдрических координатах дг' . г дг г' да' и будем искать решение методом разделения переменных (9 27), положив Е =-Х(г) У(а). (8.92) Подстановка (8.92) после простого преобразования дает; + г + — гхХ2 х" х' х х (8.93) Ввиду независимости функций Х и У это уравнение распадается на два следующих: где и'- — постоянная разделения.
Реп?ение первого нз этих уравнений (3.118) У =-- Л соз па ?- В гй и па обычно обозначают так: (8.95) Вторая строчка (8.94) представляет собой уравнение Бесселя, решение которого для цилиндрической области, подобно изобракенной на рис. 212 (см. Приложение 3), есть Х =С(„(у'), (8.96) где С- постоянная. На основании (8.95 и 8.96) запишем: (8.97) Здесь Е,— неизвестная амплитуда, а в (8.95) положено Л =1. По смыслу этого решения мы должны потребовать его азимутальной периодичности Е„„(а) .— Е„„(а -1- 2п) — поворот на 360-" возвращает точку в прежнее положение. Отсюда 'следует, что и — произвольное целое число или нуль: п=0,1,2,3,....
(8.98) С целью найти поперечное волновое число !г, наложим на (8.97) граничное условие (8,40) Как видно, оно влечет за собой уравнение 7„(хг) =0, одним из корней которого должно быть произведение хК. Корней этих (см. Приложение 3) бесчисленное множество. Обозначая их символом В„, где пг = 1, 2, 3, ... (8. 101) 271 номер корня в порядке возрастания 01!сагумента, получаем выра жение поперечного волнового .числа: 17 (8П0 ) и, далее (8.49), выражение критической длины волны: (8.! 03) ти» Сочетание лги определяет тип Е-поля волиовода круглого поперечного сечения, которое имеет характер распространяющейся волны при Х < Хар По данным Приложения 3 составлена следующая таблица значений величины Х„рЯ для низших Е-полей: © Таблпца 4 2,612 1,640 1,223 0,0847 1,138 0,7260 О,а328 0,4716 а 0,8055 0 7464 0,6176 0 5407 0,4 46 0,3873 0,6436 ) 0,4827 Подставляя в (8.21) Н =0; Е =Еа1„(уг) .' псе'!'"-'"-1, 1 а 51П о, =.г, да=а н 7!, = 1, 7!ае г находим все компоненты гюля типа Е„ Е аиа Е41„()(г) .' па, à — 1 — Еа3„'(уг) .
ио, лГ. — 5 пз ь Еа (а (Кг) Ха!янс " соа Е„„=- Ета= (8.104) Г(та = Строение различных Е-полей круглого волновода показано на рис. 213. Привлекая для сравнения рис. 209, изображающий ' Е-поля волновода прямоугольного, сразу же находим черты сходства. Так, полю Е„прямоугольного волновода аналогично поле Е„ круглого, полю Е„прямоугольного — Е„круглого и т.
д. 272 18 Заказ Л ! ! 44 >» 1,640 3,413 2,057 1,495 0,8955 1,178 0,9369 0,7839 0,6176 0,7360 0,6302 0,5538 0,4716 0,5367 0,4770 где В и >(> =- агс(д —, А ' Р = 1/А» + В' то Л сов па+ Вз|ппа= Ае*", (8. 106, Н»У (Хг) . ла; — 1 — „Н»У (Хг), па' . пГП> и — 5!П > Хог о~~ (Х ) 1 — Но г (Хг),, ла, ГГ««05 (8. 109) Е „= Ео>а = 274 18» 275 Если л = О, то поле круглого волновода однородно (лишено вариаций) по азимуту. При построении полей, представленных на рис. 207, в линейной комбинации (8.95) СО5 Лсозла+Вз!ила= . па 5!П положено В=О. Легко проверить, что при В Ф 0 (А и В вещественны) строение поля остается прежним, а изменяется только его ориентация относительно начала отсчета азимута а. Лействительно, А соз па + В ебп па = Р соз (па — ф), т.
е. поле повернуто относительно начала на у.гол >р. Если же В=+ 1А, и в волноводе существует суперпозиция двух полей 'прежнего вида с относительным сдвигом на 90' по фазе и таким же сме- щением по азимуту. Результирующее поле вращается около оси г — «бежит по азимуту», его называют еще «полем круговой поляризации волновода». Н-волны Записывая решение уравнения (8.42) в виде Н, = Нодо (Хг), (8.105) налагаем граничное условие (8.46) '""'-о ~ дг при г=Н, Ц результате приходим к уравнению У„(ХН) = О, (8.'1 07 ! корни которого (см, Приложение 3) обозначены символом Л„»,, Сочетание чисел л = О, 1, 2, 3, ...
(индекс функции Бесселя) т = 1, 2, 3, ... (номер корня) определяет тип поля Н„,„круглого волновода. При этом поперечное волновое число Х равно (8.108! Значения величины Х„»Я приведены в следующей таблице: Таблица 5 Первая строчка данной таблицы совпадает со второй строчков табл. 4, и, следовательно, волны Н, и Е,„ по характеру распространения неразличимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
