Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 33
Текст из файла (страница 33)
179), тогда П П а — = — соз — . По 2к 2 Построенная по этой формуле диаграмма интенсивности поля, рассеянного цилиндром, показана на рис, 181. Она имеет макси- мум в направлении, противоположном движению падающей волны. Угловая ширина «лепестка» тени т находится из простых геоме- трических соображений. Как видно из (7.25) т= 2Я/г, Эта величина неограниченно уменьшается по мере удаления точки наблюдения от цилиндра. В силу приближенности геометрического метода полученные результаты, в частности, не дают верного представления о характере поля на границе тени. В действительности эта граница вовсе ие является резкой, как на рис.
! 79 и 181: в ее области наблюдается сложное колеблющееся распределение интенсивности — «дифракционная картина». Для весьма коротких волн указанная область пренебрежимо мала, однако с удлипением волны она быстро увеличивается, видоизменяя в конечном счете поле во всем пространстве. Тогда ди- Х аграмма интенсивности (рис. 181) становится грубо неверной. Квазистационарный предел. а Обратимся к противоположному предельному случаю, когда длина волны значительно превышает размеры объекта дифракции. Уточняя это условие, потребуем также, чтобы оно относилось и к Рис.
18! длине волны в н у т р и вызвавшего дифракцию тела. Тогда можно пренебречь фазовым запаздыванием в различных точках рассматриваемой области и задача становится квазистационарной (см. Введение, Я 39 — 43). Волновое уравнение вырождается при этом в уравнение Лапласа: гак что нахождение электрического и магнитного полей сводится к решению двух отдельных задач — электростатической н магнитостатической. Возьмем в качестве примера падение плоской волны на шар с диэлектрической проницаемостью в и магнитной. проницаемостью а; диаметр шара 2)г значительно меньше длины волны в обеих средах: Электростатическая и магнитостатнческая задачи для шара а параллельном поле решены в Я 27, 28.
Остается только воспользоваться готовы»1и результатами. В данном случае в качестве начального поля (Е, и Н, в Я 27, 28) фигурирует поле падакицей волны (рис. 182): Примеры и упражнения 1. Дан эйконал Вне шара поле представляет собой суперпозицню начального (7.122) и «рассеянного» полей Е з Й Е'= Ее+ Е, г>7?, Н'=Йо+Н- ~ (7.123) а внутри шара появляется «преломленное» поле Е', Н' Е'=Е", Н'= Н' (7. 124) Рес. 182 е — ео йз Е- = Ео о з (2госаз 6 Фояп 6 ), г>Я.
Н- = Но Р ео з (2госоз 6" Фо зш !) ) Р+2РО сз о Ео Е«о Зео е+2е, ' г -,, )?. зво Р+2ио (?. 125) (7.126) Напомним, что формулы (7.!25) и (7.126) дают приближенное решение поставленной дифракционной задачи только при условии (7.121), т. е. когда диаметр сферы весьма мал в сравнении с длиной волны в обеих средах. Понятно также, что действие формул (7.!26), выражающих поле рассеяния, ограничивается, в свою очередь, квазистационарной областью (г « ? ). Пользуясь терминологией, введенной в 3 42, можно сказать, что определено лишь поле в ближней зоне рассеяния.
Эффект излучения в каазистациоиарном пределе не учитывается. 226 Сопоставляя (7.!23 и 7.124) с формулами (3.!42, 3.!43) и (4.8, 4.9) и сохраняя для простоты две сферических системы координат с общим началом О (рис. 7.28), находим: зр — ь) хз+уз ! ез Ео (7.! 27) Когда же электрическое поле параллельно аси (б). с той же точностью Е'=- Е". В соответствии с (5.35) запишем. (7, 128) (7. 129) 2 Отсюда а) при первой поляризации: 4Еоз рп= — птззозе а 2.10 з впз. (е 7«о+ 1) 6) при второй поляризации; рп, !»З "Еоз !З 227 Каков вид волнового фронта? Изобразить лучи. 2. Рассмотреть падение плоской волны на непрозрачную перегородку с отверстием (рис.
!83), наименьший диаметр которого значительно превышает длину волны. 3. Плоская волна падает на бесконечный диэлектрический цилиндр в направлении, перпендикулярном к 'его оси. Диаметр цилиндра равен 2)?=-1 гм, длина волны ? =2 м, а диэлектрическая проницаемость е —— = (4 — !0,05) е„. Вычислить мощность, поглоецаемую на участке цилиндра длиной в 1 м, при )) !с и) двух поляризациях волны: а) вектор Е перпендикулярен оси цилиндра и б) вектор Е параллелен аси. Амплитуда падающей 27мл волны равна Е' =!00 в?м. Так как диаметр цилиндра Рис. 183 значительно меньше длины волны в воздухе и диэлектрике цилиндра, внутреннее электрическое поле находится из решения статической задачи. В случае (а), согласно (3.! 34), й 56.
Дифракция плоской волны на цилиндре Излагаемый в этом параграфе материал дает пример строгого решения дифракционной задачи. Принципиальная постановка такой задачи проста. По существу здесь используется схема, известная из 9 49. На тело А (рис. 154) падает плоская волна Е', Н'. Внутри тела появляется поле Е', Н" и вне его поле Е, Н .
По аналогии с задачей 9 49 первое поле можно назвать «преломленным», а второе — «отраженным», а также «рассеянным». Все поля должны удовлетворять уравнениям Максвелла (волновому уравнению), а на поверхности Я тела А — граничным условиям Ет+Е«=Е« ( ( Оп+Оп=йп И;+И„-=О; ~ '!( В„'+В„-=В„ на Я э,, (7.!30) Кроме того (9 36), при введении слабого поглощения во внешней среде рассеянное поле должно убывать при удалении от объекта дифракции быстрее, чем 1!г.
Несмотря на несложность постановки задачи, нахождение ее решения возможно лишь в сравнительно редких случаях; в с г,/» при этом оно требует громоздг кой математической процедуры. а Причина здесь кроется в том, что для удовлетворения граничным условиям все поля должны Л быть выражены в системе координат, геометрически родственной рассматриваемому телу А.
1 Рассматриваемая ниже задача Рис. )84 дифракции на круговом цилиндре наиболее проста. В то же время она хорошо иллюстрирует общие особенности задач этого типа и достаточна интересна с практической точки зрения. Пусть на бесконечный цилиндр (рис. 184) падает в направлении перпендикуляра к его оси плоская волна (7. ! ЗЗ) Ео х Еое)<п' апт), Н = — у Л'ег!п(-»оп), (7!31) электрический вектор которой параллелен оси.
Характеризуя среды, запишем: в, )а и 7« для цилиндра (г <)7); е„)ао и /го для внешнего пространства (г > Я). (7.132) При переходе к цилиндрическим координатам (рис. 185) в (7.131) делается очевидная замена: Е-мох = Е-гй ог соэ а Для выполнения граничных условий на поверхности цилиндра заведомо необходимо, чтобы и рассеянное, и преломленное поля подобно полю Е', Н' были однородны вдоль оси г и имели параллельный ей электрический вектор: д)'да= О и Е*=хоЕ*. (7.134) При этом волновое уравнение (5.54) можно записать в скалярной форме: т »Е + 7«'„,Е~ = О (7.! 35) (число й выбирается в соответствии с (7.132)), т.
е. в цилиндрических координатах: дг ( д )+ о дао + )тю,Е = О. (7.136) Применяя метод разделения переменных (9 27) положим Е* = Х (г) )' (а). (7.! 37) Рис. !88 Уравнение (7.136) после этой подстановки принимает вид г*д»Х г дХ ! д«Г — + — — + — — »+ Ф' г'= О Хдг* Хдг ' г' да» и распадается на два следующих (ср. 9 27); ",хо ' гтхт(о,п — ",')х — о,) до)г —,, +п«1'= О, дао (7.138) )г = Аегпа -1- Ве-гпа (7.
139) Первое же есть уравнение Бесселя п-го порядка, описанное в Приложении 3. Его решения — цилиндрические функции. г Конечно, коэффициенты А н В в (7.)39) не совпадают с поданными коэффициентами в (8.! )8). 229 где пэ — постоянная разделения. Второе из этих уравнений совпадает с хорошо известным уравнением (3.116), имеющим решение (3.! 18), которое в данном случае удобнее выразить «через экспоненцнальные функции: дЕ И»в а — мр дг (7.! 46) (7.140) где ,р„ /' и (р«г? и« Ео( Е-,.Е И."+И'-„=рИ: ~ (7.! 43) Н=- ~ го1 Е ми (7. 145) гго Полученный результат означает, что как преломленное, так н рассеянное поле можно представить в виде суперпозиция полей вида Л„(й<„г)(Ае!' +Ве-~" ), где ń— решения уравнения Бесселя.
В Приложении 3 разъяснено, что для преломленного поля в качестве г„ следует брать функции бесселя 7„(йг), а для поля рассеянного †функц Ханкеля второго рода И'„"(й,г). Вернемся теперь к полю падающей волны. С учетом (7.133) на основании данной в Приложении 3 формулы (П3.29) запишем Е' в виде ряда Е» = г«Е' ег»' ~,/„(й«г) еу (»-»!и Для удовлетворения граничным условиям рационально выразить поля Е' и Е в виде аналогичных рядов Е-ь = г,Е' еин ~~з ~Ь„/„(йг) ен» ~»-»~"-!, г < )7 (7,! 41) Е- = г,Е'елм ~ п»И„"(е,г) е!" <'- ~'->, г>я, (7.142) члены которых представляют решения (?.!37) нужного вида, причем постоянные коэффициенты а» и Ь» подлежат определению. Взяв первые два из равенств (7.130), запишем их применительно к данной задаче так: Внося (7,140 — 7.142) в первую строчку граничных условий (7.143) и приравнивая их почленно, получаем: а»И„" (й,Я) — Ь„l„(й)7) = — ?„(й Е).
(7.144) Далее, учитывая (7.134), из уравнения Максвелла в цилиндрических координатах находим, что Поэтому вторая строчка (7.143) принимает вид: а И(«" (й Й) — $/ — Ь 7 (ЬЮ = "г (йо!э). к е« Из системы уравнений (7.144), (7.147) определяем коэффициенты о»и Ь„: Вг«г„(г Д) 7» (Ьй) — теЧ» (а«К) 7» (ЬП) — тг и * (ь„п) !' (ьп) + ге н" ' (ьп) г„(и) — зг~ (ОР (а«Ю,Г» (ь«Ю — и»'и (а«8) г» (аеп)! (7.! 48) '»ГаН»ь (««») 7» (»»)+ В«~Н»» (гоп) «» (»») Формально задача решена. Остается только с помощью (7.145) выписать рассеянное и преломленное магнитные поля: (» Н'=! Е' — е~»' г', Ь„) г,~ 7»(йг) — а,l»(Ь.)) е ' (7.149) « » » ц =)Е' --,еян ~ч', а„~г,— ИТ(а,г) — а»И»" (е»г) ~ е 1 (7.150) Если цилиндр является идеально проводящим, то преломленное поле отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
