Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 36
Текст из файла (страница 36)
!. Рассмотреть направляемые волны в системе параллельных плоскостей, соответствующие вертикальной поляризации исходной падающей волны: а) найти векторы поля и выяснить его строе- нне, б) определить фазовую скорость и длину волны прн различных типах строения поля и в) выяснить условия распространения волн. 2. Пользуясь формулой (6.126), найти выражение групповой скорости волн, направляемых плоскостями. 3. Построить график зависимости фазовой и групповой скорости направляемой волны данного типа от частоты. 4. Построить график зависимости этих же величин от угла падения. 5.
Как это следует из ч 50, направляющей системой может служить также диэлектрический слой в свободном пространстве (рис. 203, а) нли на идеально проводящей плоскости (рис. 203,6). В обоих случаях должно быть выполнено условие полного отра.кения от границы диэлектрика. Толщина диэлектрического слоя на проводнике выбирается ыз следующих соображений. В диэлектрическом полупространст- 24З ве (рнс.
204) при полном отражении поле изменяется по закону (7.55). При этом существует ряд параллельных границе плоскостей, в которых Е,=О и г(„=0 (ср. стр. 244), так что любую из них можно заменить идеально проводящей границей. В результате получается система, показанная на рис. 203, причем толщина диэлектрика с( (расстояние между идеально проводящей плоскостью и границей диэлектрик— аустота) удовлетворяет равенству, следующему из (7.55), я,И сох <р+ ф/2 = пп. Здесь ф — фаза коэффициента отражения.
Направляемая волна перестает распространяться при нарушении условия (7.51), т. е. при Внося это соотношение в формулу (7.40), видим, что при «отсечке» волны фаза ф оказывается равной нулю. Учитывая это, нз (8,14) находим выражение критической частоты: Е помощью (8.15) эта формула приводится к виду й 60. Классификация направляемых волн Возьмем теперь произвольную однородную вдоль осн г направляющую систему (рис.
205), например, какой-нибудь волновод (а) или систему стержней (б), поверхностей (в) и т. п, Поставим целью выяснить, какого рода плоские волны могут распространяться в системе, и установить их общие признаки, а также постараемся найти связь между этими признаками и свойствами системы. В результате должна быть получена обоснованная классификация плоских направляемых волн. Потерями энергии в системе вначале имеет смысл пренебречь. Будем пользоваться так называемой обобщенно-цилиндрической системой координат (рис. 205). Ее криволинейные координаты д, и д» лежат в плоскости, перпендикулярной оси г, или, как будет говориться в дальнейшем, в поперечной плоскости.
Они выбираются так, чтобы контур поперечного сечения направляющей системы совпадал с координатной линией. 240 Векторы поля распространяющейся в системе волны характери- зуются комплексами Е=Е (до дз)е]!"'-гм и Н=-Н,„(]]„дз)е~!"'-' .
(8.18) ! а,,'йз а., й, я, й,йз го1 Р = д дд д д]]з — ]Г й Е, й Г, Е Ряс. 205 (]]» = а йз — 1 !' аз — ' хз). Внося (8.18) в уравнения Максвелла (5.15) и разлагая векторы по ортам обобщенно-цилиндрической системы координат а,, а, и ам получаем: дЕ. , з+]Гй.Е» — -] ]зйзй,. ]Гй, Е,; — '- == ]ы!зй, Н„. дЕ. дд, д д з 41 Чз ]8,19) д]]..., . ! д ~Ь ]«Н» — ! ддз ]Гй Н, + д — — !ыай,Е, дНз дч, дй»Н« дЬ,Н, з з ' '=]з>ейй Е, дд, дчз ' ! (8,20) Исходя из этих шести уравнений, нетрудно выразить поперечные компоненты Е„Е„Н, и Нз через продольные Е, и Н,. 250 Запись эта отражает тот факт, что фазы векторов зависят от одной продольной координаты г (плоская волна), а их амплитуды зависят от поперечных координат (о„]]з), т.
е. ожидается, что направляемая волна будет неоднородной. В дальнейшем круглые скобки ((]и д ) мы будем опускать, Дифференцирование комплексов по времени, как обычно Я ЗЗ), приводит к умножению их на ]зз, а дифференцирование л по г — к умножению на — ]Г. г' Так, например, выражение вихя Ф Щ в е) ря комплекса Е (см. Приложе- ние 2) имеет вид Так, например, исключая Н, из второй строчки (8.19) и первой строчки (8.20), находим: н т. д. В результате получается следующая запись; ]Г Г ! дЕ: и ! диз ~ Хз (. й, дд, йз джаз,l ' Е = — ( — — — ' +(Р' ]]' ' ! дЕ, и ! дН-' Хз ( йз д,]з й, д41 ГГ] ! ! дЕ- ! дНГХ Х' ! ]ГК йз джаз ]Ч доз,] ' (8.2!) ]'ГГ ! ! дЕ-, ! дН-'~ Хз (.]Г]лй,дЧ, ' й, доз ) где введены обозначения: х=й- Гз и (8. 22) ] ди +!Гй.н', ==]' й»Е, дчз Š— — — Н ын з Г Е,= — "Н, Г 'Гй,Н! 1 = = — ]ыйзЕ' (8 24) дН- дд, дй»Е, дй1Е1 дд, дяз йй,Нз ! дй»Н» дй»Н» дд, джаз зэ! (8.23) Множитель ] в правых частях (8.21) означает, что все поперечные компоненты сдвинуты по фазе относительно продольных иа 90'.
Поэтому равна нулю вещественная часть поперечной составляющей комплексного вектора Пойнтинга, и передача энергии в поперечном направлении отсутствует, Магнитные и электрические волны. Как видно из (8.21), все поперечные компоненты поля могут существовать при Е, = 0 или при Н, = О. В первом случае плоская волна называется «магнитной» (Н-волной), а также «поперечно-электрической» (ТЕ-волной). Во втором случае — «электрической» (Е-волной) нли и поперечно-магнитной» (Тм-волной).
, ...'] Уравнения Максвелла (8.19, 8.20) образуют в этих двух случаях независимые системы уравнений: Н-волны Е-волны дЛ! . д — -! ЕТА»Е» —— — !«!РАЙ»Н дч! » ! дН,Р» дЛ,Р, дд, дд» (8. 25) днхн! д!!!Н! дд! дд! =1!веп!п»Е,, — = — = В' для Н-волн ел р и д =Г (8.26) Ел Г и — = — =- )«' для Е-волн, и (8.27) Š— )а!Е!+а»Е»(=1' Е,*+ Е,' Н =-(а!Н!+а»Н.,(=Р Й»+Н;'; — абсолютные значения поперечных компонент векторов поля. и н Величины («' и % называются волновыми сопротивлениями направляющей системы.
Легко проверить, что поперечные компоненты векторов Е и Н взаимно перпендикулярны: Е Н =(а,Е,+а,Е,) ( — а,—,„, +а,— ') ьяО. (8.28) Е» Е! '~ Поперечно-электромагнитные волны. Взяв в основу классификации плоских волн наличие продольной компоненты одного из векторов поля, мы теперь обратимся к случаю, когда обе эти компоненты отсутствуют: Е,=-О и Н,=О. Такие волны называются «поперечно-электромагнитными», или волнами ТЕМ. Простейший пример волн этого рода дает 252 Из уравнений (8.24 и 8.25) с учетом обозначений (8.23) находим соотношения: основательно изученная в предыдущих главах электромагнитная волна в свободном пространстве. Желая выяснить свойства ТЕМ-волн, положим в (8.21) Е, = Н, = О. Дальнейший анализ весьма несложен.
Видно, что при 7 Ф 0 все компоненты поля обращаются в нуль: ТЕМ-волны существовать не могут. Зато при )( =-. О (8. 29) во всех строчках (8.21) получаются неопределенности вида О/О, и таким образом вопрос о существовании поперечно-электромагнитных волн остается открытым. Это значит, что (8.29) следует расценивать как необходимое условие существования ТЕМ-волн. Если же известно, что электромагнитное поле существует, то равенство (8.29) является достаточным признаком его поперечного (ТЕМ) характера.
Действительно, невыполнение (*) означало бы в этом случае обращение всех поперечных компонент поля в бесконечность, Ввиду (8.22 и 8.7) условие (8.29) равносильно следующему'. Г = и, оф = 11р ер и Л = Х, (8.29а) т. е. ТЕМ-волны всегда распространяются с фазовой скоростью о, свойственной волнам в неограниченной среде. Из (8.29) вытекает еще одно важное следствие. Взяв волновое уравнение (5.54) н применяя для простоты декартовы координаты, запишем: ( — ",+ —,',~Е+(й» вЂ” Т») Е=О. т.
е. с учетом (8.29а) (й+ Р Е= о. или РЕ=О, х (8.30) где индекс 1 означает, что операция производится только в поперечных координатах. Получив из (5.52) таким же путем (8.31) «»К=О, .1 констатируем, что как электрическое, так и магнитное поля ТЕМ-волны в поперечной плоскости подчинены уравнению Лапласа. В то же время хорошо известно (гл.
3 и 4), что уравнение Лапласа описывает поля статические. Отсюда следует, что (8.35) Е-еалны Примеры и упражнения (8.38) 7 ! Е+ т»Е = 0 г,н+ х»й = о. (8.33) (8.34) 254 а) поперечная структура электрического и магнитного полей ТЕМ-волны в конкретной направляющей системе не отличается от структуры соответствующих статических полей этой же системы; б) ТЕМ-волны не могут распространяться в системах, не допускающих существование статических полей.
Так, задачи о цилиндрическом конденсаторе (2 23, пример 4) и о коаксиальном кабеле постоянного тока (3 30) дают полное представление о поперечном строении ТЕМ-волны коаксиальной линии. Далее, мы должны заключить, что в полом волноводе (металлической трубе) ТЕМ-волна не существует. Из (8.19 или 8.20), а также прямо из (8.28 или 8.27) с учетом (8.29) вытекает, что волновое сопротивление направляющей системы для ТЕМ-волны равно (р« ~/ и (8. 32) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
