Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 48
Текст из файла (страница 48)
п. Не меньший интерес представляет аналогичная задача для волновода. Поле системы до появления указанных изменений обычно известно и называется «начальным», или «невоз мущенным», а исследуемый эффект рассматривается как «возмуще- "о "» Рис. 266 ние». К задачам такого типа возможен общий подход, который особенно легко приводит к количественным результатам, когда возмущение мало. Возмущение полого резонатора. Пусть в резонансную полость Уо (рис. 266,а) вносится тело У, с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью р или идеально проводящее тело У» (рис.
266, б). В частном случае речь может идти о деформации идеально проводящей оболочки полости. выделившей область У,' (рис. 266,е, г). Обозначив поле и собственную частоту невозмущенных колебаний в виде Е„, Н„и ы„, запишем для них уравнения Максвелла: го! Ео = — уо»ор»Н (9. 121). го!Н =!«веЕ Возмущенное поле и собственная частота в дальнейшей записи не имеют индексов: Е, Н н о». Рассмотрим сначала случай диэлектрического тела У,, После того, как оно помещено в полость, диэлектрическую и магнитную проницаемости следует понимать как функции точки наблюдения М, причем е(М) =е е(М) е )о (М) =р в области У, и в области ӄ— У,. !» (М) )«о (9. ! 22) З4'» Уравнения Максвелла для поля резонатора, измененного внесением тела ро т. е. возмущенного поля, имеют вид; го1Е= — ушр(М) Н, го1Й = усое(М) Е (9.
123) Возьмем первое из уравнений (9.12!), переписанное относительно комплексно-сопряженных величин Е;, Й,*, и второе уравнение (9.!23). Все члены первого помножим на Н, а второго— ва Е„*. После вычитания соответственных частей получаем: Н го1 Ео — Ео го1 Н = усоороНоН вЂ” усов (М) ЕЕо. (9 124) Точно так же из оставшихся строчек (9.! 2! и 9.! 23) находим: сох)хо ~ ННо с(à — со(е — еа) ~ ЕЕо су)г — сова ~ ЕЕй су)с = О, Уа Ус Уа — со(р-- ра) ~ НН,* су)г — р ~ НН*су)'+ Ус \а +сооео ~ ЕЕоюс()У=О (9.126) Отсюда непосредственно вытекает следующая важная формула: (е — еа) ~ ЕЕаасУУ+(ус усо) ) ННасУУ (9.! 27) е, ~ ЕЕ,"ссУЧ-!са ~ НН",Л' Уа Уа выражающая приращение собственной частоты резонатора в результате действия тела Ух. Не останавливаясь пока на ее применении, перейдем к другому случаю. 346 Но го1Š— Е го1Н„' = — усор (М) ННо+ уог,ее ЕоЕ.
(9.125) Проинтегрируем все члены уравнений (9.124 и 9.125) по области Г . Нетрудно убедиться, что левые их части при этом обратятся в нуль. Так, например, ~ (Н го1Ео — Ео го1 Н) сУ)г = ~ (Ео Н) с)5 = О з (5 — поверхность резонатора). Преобразуя, далее, правые части с помощью (9.122), приводим эти уравнения к виду: В резонатор помещается идеально проводящее тело )гх. Рассукдая прежним способом, нетрудно придти к уравнениям (9.124) и (9.125). ПРоинтегРиРУем их члены по области )Уо — Еш В силУ перпендикулярности вектора Е к поверхностям 5о и 5, в левой части (9.125) будет по-прежнему нуль. Этого, однако, не может оыть в уравнении (9.124) (Нго1Е; — Е;го1Н)су)у= ~ (Е,*„Й]д5ФО, (9,128) Г'а-Ух Ях гак как начальное поле Е, ориентировано произвольно относительно поверхности 5,.
Если возмущение мало, то в среднем возмущенное поле мало огличается от начального, поэтому (Н го1 Е; — Е,* го1Н) с()г = ~ (На го1 Е; — Е,* го1Н,) сУ)г =- а а-Ух Уа — Уа = усоп ~ (усоННа еоЕЕо) с!1' = у2соо ()Всоах )Ршах)уа — у: Уа- Уа (резонанс), имеем следующее равенство: ((ушах )у шах)уа — ух = ()ушах )ушах)ух (9. 130) Таким образом, складывая интегралы левых частей (9.124) и (9.125), взятые по области )га — )гх, получаем: Усоо ~ (РойоНп еоЕаЕа) с()'. (9,!3!) Принимая во внимание, что в области )го — )У, е(М) =ее и р (М) = ра, легко находим сумму интегралов правых частей этих уравнений.
— у (со — соо) ~ (еаЕ„Е'„+ раНаН,*,) с()г, Уо- Уа или, так как )'х мало в сравнении с )са, — у (со — соо) ~ (еоЕоЕ;+ раНай„") Н'. (9. 132) (9. 129) ГДЕ )У"шах И )У""ш — МаКСИМаЛЬНаЯ ЭЛЕКтРИЧЕСКаЯ И, СООтевтетВЕИНО, максимальная магнитная энергия невозмущенного поля. Учитывая, что в полной области У )Угшах = )Угшах~ ()оа) Приравнивая (9.131 и 9.132), приходим к следующему выражению приращения собственной частоты резонатора: — ео ( ЕоЕЗ ЕУ+Ро ( ЙоНоо Л' ю — ото У", йо (9.133) ео ) ЕоЕо ЕГ+Ро ) Нойо Л' уо Разумеется, эта формула справедлива и для случая деформации оболочки полости.
В ней достаточно заменить лишь 1Уо на )l,' (рис. 266). Некоторые применения полученных результат о в. Сделаем, во-первых, важные качественные заключения. !<ак показывает формула (9.127), внесение в резонансную полость обычного диэлектрика е > во )о = ро вызывает уменьшение собственной частоты. Однако, если последний обладает диамагнитными свойствами ()х<)х) и помещается в пучность магнитного поля (Е, = 0), то собственная частота увеличится. Обращаясь к выражению (9 !33), видим, что идеально проводящее тело, вносимое в полость, влияет двояко: вытесняя электрическое поле, оно уменьшает собственную частоту резонатора, а вытесняя магнитное — увеличивает.
Можно получить тот или . иной результат, помещая тело в область концентрации электрического или магнитного поля. Точно так же действует и прогиб внупзрь оболочки полости, рис. 266, в. Выгиб наружу(рис. 266, г) вызывает обратную реакцию. Перейдем к вычислительным примерам. Ограничиваясь малыми возмущениями, будем считать, что поле Е, Н в среднем (т. е. в большей части полости) чало отличается' от начального поля Е„, Н,.
Тогда ео т! ЕЕо о!)У ао ~ Еомс((У= 2(т'мах йо го о,( нн;от - х. ( х.,от= ох'„~ по т'о о м ГДЕ (У'юах = (т'юах = Ф'о — ЗаПае ЭНЕРГИИ НЕВОЗМУЩЕПНОГО ПОЛЯ резонатора. ' Последующне выводы останутся в силе н прн более широком допуще. ннн, а именно, что возмущенное поле лишь по распределению близко к начальному (в среднем), а по амплитуде векторы Е н Ео(Н н Н„] в каждой точке как угодно разлячаются. Обозначая ' = ' = —. записываем формулы (9.127 ю юо юо н 9.!ЗЗ) в виде: 4" (е — в,) ) ЕЕ,"а(/; (!х--ро) ~ НН,*Ю ) (9.127а) ~о т 1 и — в, ~ Е'„, с((Г -, ао ~ П,'о, ~(у ~ Ух (И.133а) Пример !.
Возмущение Н-доля цилиндрического резонатора диэлектрическим диском. Пусть в пучность электрического поля цилиндрического резонатора при произвольных колебаниях Н„п помещается тонкий (с(« Х р'а,~е) диэлектрический диск (рис. 267). Вектор Е непрерывен на поверхности диска, и поле внутри него практически ( о Рнс. 267 !'пс сбе однородно по оси г. Поэтому числитель формулы (9.!27а) принимает вид — (и — ао) 1 ЕЕ,*Ю = — с( ~ Е о ~юахсб (е — ео). рз 3! Лалее ь 4(т' о= 2во ~ х! Еото(юохз!и' ь с(Здз= во! ~ Еаза ~зоохс(З.
вз о Внося полученные результаты в (9.127а), находим соотношение, связывающее приращение собственной частоты резонатора с параметрами возмущающего фактора (толщина диска и его диэлектрическая проницаемость): ':, =-~( —:.-1) (9. 1 34) Этот окончательный результат весьма прост по форме, что характерно для анализа малых возмущений. Если диэлектрик обладает потерями (е=е' — !е"), приращение собственной частоты резонатора оказывается комплексным. При- 349 Рис.
27! Рес. 272 (9.140) г —— ( ) , пх, ЬГ (е — ео)ь с(ео опп о а 2( — о) ЕЕД„ео '1 ~ 2!по ' йх ду й о па попы. !9,14! 1 шор С(шор =. ш с!ш. и Рес. 273 ,- о) 2о —. Г 17 Го+ — ) =СОПЭ!. !9.142) Отсюда Оооо С(О222 Гс(1 =— Ро (9. ! 43) 23 Заноз Хс ! 122 Возмущение вол повода. Сопоставим бесконечный волновод и волноводный резонатор, полученный рассечением волновода идеально проводящими плоскостями, перпендикулярными его оси. Пусть в результате продольно-однородного возмущения (рис.
272), например, при помещении продольного диэлектрического стержня и т. п. собственная частота резонатора изменилась на величину Лш. Представляя ноле резонатора как супер- позицию распространяющихся навстречу волн, вычислим изменение критической частоты этих волн в результате возмущения. Продольное волновое число Г, заданное длиной резонатора, остается неизменным: Составляя и приравнивая нулю дифференциал этой величины Теперь рассмотрим волновод. При таком же возмущении изменится его постоянная распространения Г, неизменной же останется частота ш, определяемая питающим генератором: Сопоставляя (9.141) и (9.143), замечаем, что изменение постоянной распространения волновода при продольном возмущении можно найти по изменению собственной частоты соответствующего волноводного резонатора, возмущаемого тем же способом.
Лля этой цели пригодны формулы (9.127а и 9.133а), в которых, как 332 видно, следует сделать замену —:". =-Ж ( — ")' (9. 144) Кроме того, в результате продольной однородности всей системы объемные интегралы перейдут в поверхностные, взятые по поперечному сечению волновода 5,. Так, получаем для диэлектрического возмущения: — = —, ( — 1 ~ [(е — е,) ЕЕ,*+ ()2 — ро) НН„*! с(5 (9.145) Го 4(772' Л, Го ) ас и для возмущения идеальным проводником: Г, = 427; (Г,) ) (' ~ +)2О ) "5 ьо Здесь 5, — поперечное сечение возмущающего диэлектрического стержня и 5, — поперечное сечение области, выделенной идеальным проводником (рис.
272), а ~ о 4 ~ (еоЕто )хо ото) ~5 В качестве примера возьмем прямоугольный волновод с волной основного типа, возмущаемый диэлектрической пластиной, параллельной узкой стенке (рис. 273). На основании 9.145 и после простых преобразований получаем: — = ' — — 1) — з(по — '/) 1 — ( — ) Д . (9.! 47) Таким же путем можно, например, исследовать и круглый волновод с коаксиальным ферритовым продольно намагниченным цилиндром, рассмотренный в й 65, если диаметр цилиндра достаточно мал в сравнении с длиной волны. В результате для постоянной Фарадея получается такое выражение: Г" — Г 2 Йо ! АонГо Роа (9 1432 2 '.(7 ) (А!2 — !) Ц(А22) ((2 —.(22)2 — а' ' При выводе его необходимо учитывать, что векторы основной волны имеют на оси волновода лишь поперечные компоненты, 333 Приложение 1 ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА й= "" й,= 3"".— й..
Иа+Иа Н+ ит Ра (П1.1) (П1.2) б1у у=!(ш лг- о (П(.З) го1„т = 1пп оз- о (П1А) (П1.5) ддо„доо до, (П1.6) в) Вихрь ч го1 у= (П1.7) (П1.8) 23" 333 изменяющиеся при переходе через поверхность ферритового стержня. Внутреннее возмущенное поле определяют «в квазистатическом приближении» (3 55), пользуясь готовыми решениями задач о цилиндре в параллельном электростатическом Я 2?) и магнитостатическом Я 28) поле. Так, согласно (4.7) и (б.104) !. Определения операций. а) Градиент скаляра ф пгабф=п, д дф и,— единичный вектор нормали к поверхности ф = сопз1. б) Поток вектора т через поверхность 5 Ф= 1 УЖ в) Расходимость (дивергенция) вектора и г) Вихрь (ротация, ротор) вектора т Формула (П1.4) определяет проекцию вектора го1У на нормаль к элементарной площадке ЬЯ.
2. Опе рации в дек артовых к оорди натах. а) Градиент ф йга" ф="о д +у д +хо д б) Расходимость т хо у« Хо д!дх д!ду д/дг о„ о„ о, 3. Оператор Гамильтона о д д д — +у — +х дг оду од« (у читается «наблао), к оор- дзф дзф дзф Ч'ф = — + — +— дхз дуз дгз (П1.12) (П1.1З) дхз ' ду' ' ', дхз ~ д!ччй)7 =~чу. (П1.14) б) Теорема Стокса ~ го! ч д5 = ~ч й1. (П1.15) в) Теорема Грина ((зззз+зс закс=~ з",з зз. (П1.15) ~ (фЧиср — фЧ'ф) д)7= ~ (фЯ вЂ” ср ~ф ) дЯ. (П1.17) а) Представлен ие основных операций. угад ф = Чф, д!чч=Ч.ч=(Ч, ч). го! ч = Ч х ч = [Ч, ч) б) Оператор Лапласа Ч' в декартовых динатах. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
