Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Во всех случаях положить 1.Я= 3. 2. Добротность тороидального резонатора вычисляется по формуле получаем: оа 27л У е (9.90) Задание 1) В кубическом резонаторе существует поле основного типа. Получить выражение его внешней добротности при одном круг- 336 Переписывая формулу (6.37) с помощью (6.20) в виде ра ко (9.87) вычислим излучаемую отверстием мощность. Для этого надо внести с!ода (9.85) и учесть, что отверстие излучает в полупространство (дополнительный коэффициент 1,'2). В результате получается: — еэ 2!.т эо " ° 2 1Оа Г— е (9. 88) Совершенно таким же путем для случая, изображенного на рис.
260, б из формулы (9. 89) 4. Вычислить собственную частоту Рис. 26! и собственную добротность прямоугольного резснатора для основного типа колебаний. Материал— серебро, заполнение воздушное, размеры: з ~ !о 1 ! . 26 337 к.эк ' ! ! 2 см ! ..к 6. Произвести расчет и. 4, полагая, что резонатор заполнен диэлектриком с проницаемостью е = (4 — 10,001) е,. 6. Полый медный цилиндр должен резонировать на частоте 12= 3 10'Мгц. Выбрать его размеры, взяв поочередно колебания Нмо Ем и Н„„и вычислить добротность резонатора 1;1„„. 7.
Резонатор изготовлен из латуни. Как изменится его добротность Я„О после серебрения внутренней поверхности? (Считать, что гладкость поверхности не изменилась). 22 ааааа Х. 1141 го1 Е, = — 1»н„(»НР (9. 94) го1 Н; =- — )гв«»«Н*, а) Еив Ф' г) Ряс. 2ЕЗ ( «,еи~'-О 'г /«-е ) н,н.»«=о ! 1 (9.93) (9.95) Точно так же из уравнений го1 Е; = па«грН,*. го1 Н; = уыгиеЕ; (9,96) 8. Вычислить добротность (',1 коаксиального резонатора с размерами Й,=2 см, )«,=5 см и Т-=12 см для основного типа колебаний.
Резонатор изготовлен из алюминия и заполнен полистиролом. $ 74. Вынужденные колебания полого электромагнитного резонатора В подавляющем большинстве случаев на практике используются вынужденные колебания электромагнитных резонаторов. Резонатор присоединяется к направляющей системе в качестве оконечной нагрузки (рис.
262,а) или как а) промежуточное звено (рис. 262,б), а также параллельно (рис. 262,в). Элементы связи, служащие для возбуждения колебаний и вывода энергии, ничем не отличаются от рассмотренных в 9 66 и располагаются по тому же принципу. Ю) Несколько примеров связи с различными колебаниями дает рис. 263. Отметим также, что полые резонаторы электронных приборов возбуждаются электронным потоком (рнс.
263,в). Переходя к анализу вынужденных Ф) колебаний, рассмотрим сначала одно из важных свойств идеального полого резонатора, известное под названием ортогональности его собственных функиий'. В качестве «собственных (векторных) Ряс. 262 функций» резонатора фигурируют его поля, соответствующие различным собственным колебаниям. Указанное свойство ортогональности выражается следующими интегральными соотношениями: где )㫠— объем резонатора, а индексы у и 1 обозначают величины, принадлежащие собственным колебаниям 1' и 1 (каждый из этих индексов надо понимать как совокупность трех чисел, характеризующих тот или иной тип поля). Согласно (9.93), скалярное ззз произведение Е,Е*; и Н,Н;, образованное разными полями, при интегрировании по объему резонатора уничтожается.
Это нетрудно показать. Для собственных колебаний 1 и 1 запишем следующие уравнения Максвелла: Умножив первую строчку на Н"ь а вторую — на Е, и произведя операции, хорошо известные из 2 13 и 35, получаем: ы«ьи ~ НзН*;«(У вЂ” «»«гв ~ Е„Е,"дР = О. к« г» следует о<о е ~ Е,Е*, Л' о<р~ Н,Н;Л =О. (9.97) Будем рассматривать лишь невырожденные колебания, так что (9.98) <оо, Ф <ом прн ! эь < Объединяя (9.95) и (9.97), имеем: («<о< — «<о<! Р ~ Н<Н< «1'=О; (<оо< — о<ен)е ~ Е,Е;Л'=О, (9,99) чо При уФ! первые множители (9.99) отличны от нуля, а это значит, что равны нулю интегралы. Ортогональность собственных функций (9.93), таким образом, доказана при у' условии (9.98). <<о Установим еще одно важное соотношение.
Положив в (9.95) или (9.97) 1=<, находим (ч) / )< ~ Й<Й;"<((' = е ~ Е Е; <()<. (9.100) чо Рис 2бо Прн том или ином выборе постоянных коэффициентов в выражениях полей интеграл (9.100) дает вполне определенное число. Часто заранее задаются этим числом, приравнивая (9.100), например, единице и предопределяя, таким образом, выбор постоянных коэффициентов.
Это называется инормировкой». Задачу о возбуждении поставим так. В некоторой части полости )<„ которая будет названа Уе (рнс. 264), распределен сторонний ток Ь', гармонически меняющийся с частотой <о. Требуется найти поле резонатора Е, Н. Возбуждаемое поле Е, Н подчиняется уравнениям Максвелла (6.1). Поставив второе из этих уравнений на место первой строчки (9.94), имеем: го1 Е = — !«<)<Н, го1 Й," = — !оо<иеЕ; (9. 101) Заменив точно таким же образом вторую строчку (9.96) первым из уравнений (6.!), записываем другую систему: Интегральные следствия из (9.10! и 9.102), аналогичные уравнениям (9.95 и 9.97), выглядят так: <о)о ~ НН; Л< — ыо! е ~ ЕЕ,<(ч'= О, ча <ее ~ ЕЕ," Л' — ыо, )< ~ Н Н; Л' = ! ') Ь' Е; Л' ~ чо !'о (9 ! 03! (в правой части интегрирование ограничено областью Кх, так как вне ее Ь'" = 0).
Полагая, что в объеме (<о возбуждаются все возможные поля резонатора, представим Е и Н в виде их суперпозиции Н = ~ А„Н„, Е = ~ В«Е„. о=э и=! (9. 104) где Ао и Во — постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Уравнения (9.103) вместе с представлением (9.104) образуют основу анализа вынужденных колебаний резонатора. Следует, однако, отметить, что во втором равенстве (9.104) допущена некоторая неточность, равносильная пренебрежению сторонним зарядом, плотность которого, согласно (6.2), равна ос»а ! <1<ч Ьсоа <о (9.105) Йействительно, образуя расходимость вектора Е, получаем в правой части (9.104, второе равенство) нуль, нбо Е,— поля незаряженной полости, и б!ч Е„= О.
Левая же часть рассматриваемого равенства в соответствии с (6.3) должна давать (9.106) Д<ч Е = д' ,и. ас Е= ~ В«Е„-1- Е', (9. 107) <Нч Е' = Ос <'е Можно ликвидировать выявленное несоответствие, дописав справа. так называемый «квазистатический член» Е': (9. ! 02) 340 34! го1 Е< — — !<о<1<Н;, го1 Н = /«<еЕ -1- Ь'~ Но поле Е' не представляет интереса, так как оно не обладает резонансными свойствами и быстро убывает по мере удаления от возбуждающего источника.
В дальнейшем оно не принимается во внимание. Внося (9.104) в уравнения (9.105), учитывая ортогональность собственных функций (9.93) и используя равенство (9.!00), полу. чаем: о)А, — о)о»В» = О, 19, 108) где применено обозначение »(со1Е» сис Ьсо'Ес Л' »" о е ~ е,е,е с(») 1» ~ Й»Й1 як »'о »со Из (9.108) без труда определяются коэффициенты рядов (9. 104); (и) Еяоос Л' Рис збо — во( »ОО1 = О)О' — /— 1 (9.110) принимают вид: А.=- / и В..= " .
(9111) в — во» вЂ” (— о о .во; ° »ОО1 »)о о)о о1 0 коэффициентов А, и В, вблизи собственных частот о)» по хорошо известйол»у резонансному закону (рис. 265). и формулы Модули изл»еняются В=!Р", (9. 1! 0) во» Полученный результат со всей очевидностью свидетельствует о резонансном характере возбуждения; когда частота источника в совпадает с одной из собствен(о) ных частот системы вом амплитуды соответствующих колебаний (А, и В,) бесконечно возрастают. От обыкновенного колебательного контура без потерь рассматриваемый резонатор отличается тем, что собственных частот у него бесконечное множество.
гбв Чтобы учесть потери, заме- в иим в (9.110) в» комплексной частотой (9.72). )хобротность полого резонатора, как известно, весьма велика (см. 9 73) в сравнении с единицей, поэтому с большой точностью справедливо ра- венство Записывая (9.! 11) при в = во», имеем: А = )/ и В»= ' . (9 !!2) /( »со ° 'О1 ~ (в во») / 2 (со — ооо» ) ". ) — ' »7 При резонансе (в =- в„») Ао — Во = ЕЯ (9,!! 2а) »оо» а иа краях полосы пропускаиия (рис. 9.27).
по определению, (9,1 ! 2б) о)=о)о» ~ бв Внося (9. ! 12б) в (9.112) и сравнивая с (9. 112а), получаем следующее выражение добротности: 26в ' (9. 113) справедливое, как известно, и для обыкновенного колебательного контура. Вблизи собственной частоты в„ в формулах (9.104) достаточно учитывать только колебания типа (', так что Н= А,Н» и Е=В,Е»,' (9.!! 4) отброшенные члены пренебрежимо малы. В этой области, далекой от собственных частот во и,) и во(»+О, полый резонатор можно охарактеризовать эквивалентными параметрами В,С и И, в выборе которых, однако, существует неопределенность.
Дело в том, что в энергетических соотношениях (') фигурируют величины / и (/, устанавливаемые в данном случае условно. Взяв, например, в качестве / ток, пересекающий некбторую часть оболочки резонатора, можно найти с помощью (*) параметр Я и затем С из соотношения 1 )ЕС Эквивалентное сопротивление И вычисляется после этого по известной добротности на основании соотношений вЕ 1 Я= — или ()= — . И вся» ' Примеры и упражнения 1. Перечислить способы, с помощью которых можно возбудить следующие колебания полых резонаторов: а) Н„о, Е„„Е„, и Нво цилиндрического резонатора, б) Н„„Е,м и Н„„, прямоугольного 343 резонатора, е) основное колебание коаксиального резонатора я г) основное колебание тороидального резонатора.
2. Вычислим в качестве примера эквивалентные параметры цилиндрического резонатора для колебания Е„,. В этом случа в силу (9.26) Е =Е Е Го(ХГ) ~ В„2,4О6 Х вЂ” ~"- '„ Н~ = ао у '7» (Хг) ~ (9.! 15) Желая определить эквивалентную емкость, будем исходить из выражения электрической энергии СЦз ч« 2 2С' (о) Зная поле резонатора (9,115), с помощью (П3.27) находим: в )У,'„= — ' ~ Е,'.г!У=пЕеЕо~ 76(Хг) г о(г= " 2 "1,'(В«1). (9116) ко о Электрическое поле нормально основаниям цилиндра, которые, следовательно, несут заряд, распределенный с плотностью е = еЕ. Взяв в выражении энергии (*) в качестве 4! полный заряд одного из оснований, имеем: '7 = ~ "Г г!Б=2пеЕ« ~ 3«(Хг)гг(г= и / (В ) (9 !17! в о (см. Приложение 3, формула (П3.25)).
Внося в (*) результаты (9.116 и 9.117), записываем выражение эквивалентной емкости: 4зг!ое (9. 118) Далее, привлекая (9.28) ооо Во~.')7 1 е)" находим эквивалентную индуктивность: В ! Р!. ооо»С 4я ' (9. ! 19) Эквивалентное активное сопротивление вычисляется с помощью (9.83): о»оп »0 '=7= """' (!+ —:) (9.120) (предполагается, что среда, заполняющая резонатор, не погло-' щает энергии).
Задание. 1) Найти эквивалентные параметры прямоугольного резонатора для основного колебания. 2) Решить такую же задачу для коаксиального резонатора. 344 й 75. Возмущения полых систем В радиотехнике СВЧ нередко задаются вопросом, как изме. нится собственная частота полого резонатора при определенной деформации его оболочки или в результате помещения в полость металлического, диэлектрического, а также, например, гнротропного тела и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
