Никольский В.В. Теория электромагнитного поля (1961) (1092092), страница 49
Текст из файла (страница 49)
О с н о в н ы е т е о р е м ы. а) Теорема Остроградского — Гаусса (П1.9) (П! .10) (П1.11) ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Приложение 2 В декартовой системе координат положение точки М(х,, у,, г,) в пространстве определяется пересечением трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис.
274) г' х= х„у =-у, и г=г,. Через точку М проходят три прямые, каждая из которых принадлежит =гз двум координатным плос- У костям. Это координатные прямые. Положение точки на любой из них зависчт только от одной коорди- з наты: х, у или г. Произ вольно перемещая точку М У в пространстве, можно построить сколько угодно координатных плоскостей и прямых указанных видов. При движении точки будет изменяться направленный отрезок ОМ=Й, соединяющий ее с началом координат О и называемый радиус-вектором. Понятно, что точка в пространстве может быть с тем же успехом определена как пересечение трех произвольных одно- 5. Некоторые тождества.
пгад фф = ф ягас! ф+ ф ига д ф. б(ч ф ч =ч пгад ф+ ф д!и ч М ч [а, Ь) = Ь го( а — а го! Ь. с(! ч го! ч = О. Рис, 275 Рис. 275 го! Егас1 ф = О. го! го1ч = пгад д!и ч — Ч'ч,, го! фч = [пгад ф, ч) + ф го! ч. 355 (П1 ЛВ) (П1.19) (П1. 20) (П! . 21) (П1. 22) (П1.23) (П1.24) значно заданных поверхностей. Так, в цилиндрической системе координат фиксируется пересечение поверхности кругового цилин- 24 заказ зи ы 44 357 дра и двух плоскостей, одна из которых проходит через его ось, а другая ей перпендикулярна (рис.
275). В сферической системе пересекаются две плоскости и поверхность сферы (рис. 276). Эти координатные поверхности в общем случае можно описать урав- нениями д,(х, у, г)=сонэ!, дз(х, у, е)=сопз1, дз(х, у. г)=сопз1, (П2.1) где д,(х, у, е), д,(х, у, г) и да(х, у, г) — некоторые однозначные функции декартовых координат. На линии пересечения двух координатных поверхностен (рис. 277) справедливы одновременно два равенства из (П2.!), и, следовательно, ее точки определяются только одной из функций д,-силы д, езлз! д,, д, и д . Поэтому рассмотренная линия называется координатной, а эти функции — криволинейныМи координатами.
Для произвольной точки М в системе криволинейных коордид, нат мы должны установить обознад чение 54(д,, дм дз). Единичные векторы, касательные д =сап = сэпм координатным линиям н направленРнс. 277 ные в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными оргпами н обозначаются а,,а,и аз Мы будем рассматривать только ортогональные системы координат, т.
е. такие, орты которых в любой точке взаимно перпендикулярны; а,аз = а,а, = а,а, = О. (П2.2) Перемещение точки М (рис. 278) выражается приращением ее радиуса-вектора. Разлагая дифференциал Йлг по ортам а,, аз и ато имеем: натам — это векторы, параллельные их (П2.5) дп — =Ь,а, дч, зза Ж = азй!з+ азй)з+ азй!з (П2.
3) где й(„й!з и й!з' — дифференциалы длань! по соответствующим криволинейным координатам. С другой стороны, (П2. 4) причем, как это видно из рис. 279, частные производные радиуса-вектора по коорди ортам: др М Рнс. 278 Рис. 279 длины и приращения соответствующих координат идентичны, метрические коэффициенты равны единице. В цилиндрической и сферической системах координат эти коэффициенты легко определяются из геометрических соображений (рис.
280, 28!). Основные данные указанных систем сведены в таблицу: Таблица П.! Скотски координат Сфсричсская Цилиндричссиая м чоордииатн с а О а Л, а 1 гс г ! Вг ЦО а Г ГВЦ зо г 1 цг ! ГО г вг дс д г дза ас а гми д гмцд ац Выразим в криволинейных' координатах дифференциальные операции векторного анализа. Градиент ср. На основании определения градиента (П!.!) дср дОр дср ягад, ср = —, цгада ср = —, угада ср = —, дгз ' ' = дгз или с учетол4 (П2.6) ! др ягад ср=- — — —, Ь,дч,' ! др ! д стада,Ор = Ь д йтадз ср = —— з дчз' Ьз дчз 24* 359 Сопоставляя равенства (П2.3 н П2.4) с учетом (П2.5), видим, что дифференциалы длины криволинейных координат отличаются от дифференциалов самих координат множителями Ь,, Ь, и Ьз: й(,=Ьзйдд, й!О=Ьзйдз и й!О=Ьзйдз (П2.6) Множители эти называются метрическими коэффициентами, или коэффициентами Ламэ.
Вообще метрические коэффициенты являются функциями криволинейных координат. В тех случаях, когда приращения Итак дгадф= — — +— и, д~р, зз дф 81 дд, нз дрз В соответствии с таблицей П.! в цилиндрических координанзах дф ао дф кгадф=гз а. + ° а з, ар Ьз ааз (П2.7) дф Х " дз (П2.8) в сферических координатах аф !Рз д(Р .
аа дф пгадзр= г — + — — + —. 2 дг г дб гз!пбда (П2.9) Рис. 281 Рис. 280 (озй182) г Ч1г(ЧздЧз д адз и через грани Ч и 71: — (озйзйз) «ЧздЧз«Ч1 д дд1 Сумма полученных результатов, деленная на 72У, дает в соответствии с (П1.3): — — (ознз "з)+ — (озйз"1)+ д (озй,йз)1. (П2.11) 818282 (. дч 1 з з доз 2 з 1 доз 360 Р а с х о д и м о с т ь и.
Применяя общее определение (П1.3) к бесконечно малому параллелепипеду, образованному дифференциалами длины криволинейных координат (рис. 282), имеем: й)г = «11д(зд(з =МзйздЧздЧздЧз. (П2.10) Поток вектора и через две параллельные грани 1 и 11 равен д озьзйздЧздЧ1 ~чз+ озьзьздЧзс(Ч1 ~из+лаз = д (озьзьз) дЧзс(ЧздЧь причем знак минус перед первым членом появился потому, что внешняя нормаль к грани ( не совпадает с направлением координаты Ч,, Подобным же образом определяется поток и через грани !11 и 1Ч: В частности (см. табл.
П.!), в цилиндрических координатах 1 д 1 дса азг д!Рг и = — — (о,г) + — — + — *; г дг г да дг (П2, 12) в сферических координатах ! д 1 д дз д 1 и и = —. — (о„г') -1- —.— — (оп яп 6) + —. — ' . (П2 13) гз дг " гз!п0 да гз!об да ' Оператор Лапласа. Формулы (П2.7 и !1) позволяют записать в криволинейных координатах оператор Лапласа, действующий на скаляр! Чзф = д!и нгад 1р: рг (П2.14) 22 4' 1 зГГР Снова обращаясь к таблице П.1, '.У пишем: !з в цилиндрических координатах 1 д / дф '1 ! д'1р д'1р Ч р= — — ~~г — !+ — — + —; г дг !. дг .7 гз даз дгз Рис, 282 (П2.15) в сферических координатах азр + г'япзд даз ' (П2.! 6) Вихрь и.
Вычислим циркуляцию в числителе (П1.4), взяв в качестве контура Е периметр боковой грани 1 параллелепипеда, изображенного на рис. 282: Суч д)= — оз!!з аЧз!21< взз+ оз"2дЧз!21 оА аЧ1 !22+ Е д д + оА дЧ~ !2 ~-вз. = ач, (о'й') дЧз дЧ~+ дчз (о!~1) дЧ~ ~Ч~ Здесь взяты попарно противоположные ребра грани l; минусы перед двумя членами промежуточного результата появились в тех случаях, когда направление обхода при интегрировании было противоположно одному из ортов.
Разделив найденную циркуляцию на !1в = г!162 дЧ1 дЧз, получим: 1 Г д д го(, и — ~ — (озй,) -- — (о Ь ) ) . Аз!11 ! дд, 1 доз з з (П2.17) (П2.! Уа) Точно так же го!5" ь г, ( д (пег!о) д (огй!) ~ Существуют и другие названия цилиндрических функций. Чтобы выяснить их роль и взаимную связь, привлечем хорошо известное линейное дифференциальное уравнение Я+у=О (о) го1! ч = — ( — (со!го) — — (о~ло) 1 Ьояз ( дно з о де (П2. ! 76) Окончательно.
о, оо оо а!до д ддо й,о, "оно азаг д д до! део йго! й,о, (П2. 18) го1ч= В цилиндрических координатах го! г . ао хо)Г д!дг д!да дада гоо оо (П2. 19) го1ч = В сферических координатах го!го гпп б оо!г 5!п б д/дг д1дб о„ гов ао/г д!да гз!пбоо (П2.
20) го! ч= Приложение д КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ !. Уравнение цилиндрических функций и его решения Лифференциальяое уравнение „,+ +(1,)у=О (ПЗА) называется уравнением цилиндрических функций (уравнением Бес- селя) и-го порядка. В данной книге оио возникает в процессе разделения переменных при интегрировании волнового уравнения в цилиндрических координатах — Я 54, 56 и 63. Индекс и всегда остается при этом целым.
Частные решения уравнения (ПЗ.1) — цилиндрические функ- ции — имеют следующие обозначения и наименования: ,Т„(х) — функция бесселя п-го порядка, Н„(х) — функция Неймана и-го порядка, Н„'"(х) — функция Ханкеля первого рода и-го порядка я Н'„"(х) — функция Ханкеля второго рода и-го порядка. и сделаем следующее сопоставление: Уравнение (*) Уравнение (ПЗ, ! ) 1-ый вид частных решений: СО5 Х, 5!и Х. 1„(х), Аг„(х) 2-ой вид частных решений: е'" е " Н„'!'(х), Н„" (х). Их взаимная связь: ег* = соз х+ ! 5!п х, Н'о (х) = 1„(х) + 1Н„(х), (П3.2) е '"=соз х — ! гйп х. НГ'(х) = Т„(х) — !Аг„(х). (ПЗ 2а) Как видно, существует известная аналогия между функциями ,)„(х) и !ч'„(х), с одной стороны, и тригонометрическими — с другой, а.также между функциями Ханкеля и экспоненциальными.
Вид цилиндрических функций показан на рис, 283. Отметим пока следующие их свойства: а) Функции Т„(х) и Н„(х) принимают значения, колеблющиеся около оси абсцисс с монотонно падающей амплитудой, б) Все функции Бесселя Т„(х), кроме го(х), обращаются в нуль в начале координат: у„(о) = о,,(, (о) = !. (ПЗ.З) в) Все функции Неймана Аг„(х) в начале координат терпят разрыв следующего рода: 1чп АГ„(х) = — со. х-~о 2.
Выбор общего решения уравнения Бесселя в задачах теории электромагнитного поля. Общее решение уравнения (П2.1) есть линейная комбинация двух цилиндрических функций, например, у = А,) (х) + ВЛг„(х) (ПЗ. 5) или у = А'Н„'" (х) + В'Н'„" (х). (П3.6) Напомним для сравнения аналогичные общие решения уравнения (о): у = А соз х + В 5гп х, у = А'е!" + В'е г' в ! Ф (ПЗ. 7) у = А,У„(х). у=Ве !", (ПЗ.8) у= ВН'„"(х). Рис. 283 (ПЗ й) 1 В частности, зб,' Зб4 На рис. 284 показаны поперечные сечения цилиндрических областей различного вида: а) область, ограниченная внешней цилин- а В б Рис. 284 ' дрической поверхностью, б) пространство между двумя цилиндрическими поверхностями и в) неограниченное пространство вне цилиндра. В случае (б) предпочтителен выбор общего решения в виде (ПЗ.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
