Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(Д-6-49) г(хе г(х Решения последнего являются сферическими функциями, которые представляются степенным рядом, состоящим из конечного ".псла членов, или полиномом порядка л, называемого п о л и н о м о м Л еж а н д р а. Полнномы Лежандра первых четырех порядков имеют оледующне значения: Ре (соз д) = 1 Р, (соз д) = соз д, 1 Р, (соз д)= — (3 соз 20 + 1), 4 1 Рз (соз д) = — (5 соз Зд + 3 соз д) .
8 Графики полнномов Лежандра разных порядков приведены на рис, Д-22, Рпс. Д-22. Графвки полииомов Лежандра. Подставляя 0(х) .=-(! — х')"' У(х) в уравнение (Д6-48), получим уравнение хзу' Л' (! — х') — — 2 (т + ! ) х — -',— (л — т) (т + л + 1) У = О, 8ха ох совпадающее с уравнением Лежандра (Д-6-49), продифференцированныв1 т раз. Решение этого уравнения рз 'г' (х) =- — Р (х).
(,ч Отсюда решения уравнения (Д-6-48) имеют вид: !и (м 0(х) =Р„(х) . (1 — х) — Р„(х) (хт и называются присоединенными функциями Леж а идр а. Если т>л, то присоединенная функция равна нулю. Если т<л, то согласно выражениям (Д-6-52) и (Д-6-50) Ра ( — х) = ( — 1)ч+т Р (х). (Д-6-53) Присоединенные функции имеют следующий вид: Р,'()=(1- )', Р1(х)=3(1 — х) х, Р,,'(.) =3(! — ), Р (х) = — (1 — х"-) ! Х 3 12 2 п( Х (5хэ — 1), Рз (х) = 15 (1 — хэ) х, е '=е — !Э«, — !ас со« О Рэ(.) !5(1 5)5,2 (Д-6-55) нлн (Д -6-55а) где — (гэ — ) = рэ)7; с( д)7 с(5Ф вЂ” = — таФ; диэ ! (. (О! „,) — — 5! и () — + реЕ = О. (Д-6-56) (Д-6-57) (Д-6-58) дР' 2 (Д-6-59) — 827— Р1(саад) = яп б, 3 Рт (са5 б)= — 51п 29, 2 Рт (соэ О) = — (1 — соа 26), 2 3 2 Ра (соа О) = — (яп О+ 3 8 + 5 яп Зб), 1 Рэ (саа б) — (саэ б 4 — соа Зб), 5 15 Р (со5 О) — (3 51п О— э 4 — яп ЗЕ).
Решения уравнения (Д-6-39а) с учетом (Д-6-52), (Д-6-46) и (Д-6-43) нли (Д 6-44) имеют такой вид: 1= )с йг С17 1 (йг)+Сей ! (йг) Х «+ ' «+— х Р",,' (соэ О) саэ ~ ти !'= р' йг ОН!11 1 (йг)+ (25Н<21 1 (йг) «+— +— 2 2 х Р~ (соа 6) саа ~ ти. Уравнение Лапласа в сферической системе координат получим, положив в уравнении (Д-6-39) 2=0.
Используя метод Фурье, ншем решение в виде (Д-6-4!). Прн этом получим уравнения. Решение уравнения (Д-6-56) имеет вид; 17 = С11 + Саг !"+11, Первое слагаемое обрашается в бесконечность, когда с= с«, а второе — если 1=0 Поэтому в зависимости от тато, входит в исследуемую область тачка с 1-.0 нли с г —. ю, необходима соответственно положить С, или С, равными нулю.
Решение (Д-6-57) имеет вид (Д-6-46), а (Д-6-58) — (Д-6-50). Таким образом, частное рещение уравнения Лапласа в сферической системе координат имеет вид: Р= [С,г" + Сэг ~" т 1~ Р~(сааб),.„~ ти. (Д-6-556) Экспоненпиальная скалярная функция е ! «' в сферической системе координат аналогично (Д-6-37а) может быть представлена рядом Г,) ( !) (2п + !) .! ! (йг) Р«(со5 О). -1~ "~"- «+в «=О '1 Векторные экспоненпиальные функпии е,е ' "' и есе 1 "' в сферической системе координат (рис, Д-10) представляются выражениями е,е ! "'= (е,яп б сов и+ еэ сааб саэ ос — еияп и) е = Х -(-!). 2л+1 ~̄— !)(„~; (Д 6 60) л(п+1) «+ « — * «=О е, е гэх' = ( е, 5!и б 5!и и + еэ соа О яп и -1- еи соэ и) е = ~ ( — !) ~М„' +!Э('„~~, (Д-661) л(л+1) «=О 1 "+ 2 р) =е — 2 (йг) Р,(соэ 6) !и+ / и п(л+1) 51П ! ЛХ ~/ 1 « Саа ! 2 (Д-6-62) (Д-6-62) Выраженчя зи (йг) = 1 — Л, (йг) и 2й и+— 2 (Д-6-62а) гл (Д-6-63) (Д-6-64) Т, (х) = 1, Т, (х) = х, Те (х) = 2х' — 1, Тэ(х) = 4хз — Зх, (Д-6-65) аи прн х=о, б(х) = 0 при х+О, )" б ( ) д = 1.
Т! (х) = 8х! — 8хз-1- 1, (Д-6-бба) Ть (х) = 1бхз — л)хз -1- 5х. — 829— сов ! ! !и.! и!1 . ' Фг дг ~~' 2 и!. ! дб д Г х'пйт ! з!п1 йгз!пб дг ~ ~/ 2 и(- — ' 2 называются сферическими функциями Бесселя. Полкномы Чебышева первого рода Т (х) и второго рода и (х) являются линейно независимыми решениями уравнения д'/ д/ (! — х') — — х — + лт/ = О, дхз дх где и — целое число. Эти палиномы используются при расчете электрических фильт. ров с распределенными постоянными.
Оии определяются выражениями; 1 — и —— Ти (х) = ( — 1)и 2и ) 1 — хз — (! — хз) (2и)' Нхи 1 и. (и — 1 л-— и. (х) = (-П'-' 2и' — ' (1 —.з) (2л)(дхи — 1 и удовлетворяют следующим соотношениям: Та!, (х) — 2хТ„(х) + Ти 1 (х) =0; ии„, (х) — 2хии (х) +ил, (х) =О При и=о, 1, 2, 3, 4, 5 полиномы Чебышева выражаются формулами; и (х) =о, и,(х) =У~ — хз, и! (х) йх )/ ! хи иа(х) = (4х' — 1) Х Х р'г! — хе, и! (х) .
(8ха — 4х) Х Х 3/ 1 !в зе иь (х) = (!бх' — 12хз-1-1) Х х У'~ — хз, Графики Т„(х) приведены на рис. Д-23. В интервале от — 1 до +1 график Ти(х) представляет собой проекцию синусоиды с периодом 2н/л и единичной амплитудой, находящейся иа цилиндре единичного радиуса, на плоскость, параллельную оси цилиндра. В интервале от — 1 до +1 функция совершает л — 1 колебаний от 0 до 1.
При х)1 функция быстро стремится к бесконечности. При исследовании некоторых линейных электромагнитных процессов используется б.функция (функция Дирака), определяемая интегральным соотношением /(х) б(х) дх=/(0), (Д-6-66) где /(х) — любая непрерывная функция, Из этого онределеиия видно, что из всех значений /(х) б.функция удерживает лишь одно, соответствующее х=о. Это возможно, Рис. Д-23. Графики палииамов Чебышева первого рода.
если на любом сколь угодно малом интервале ( — а, +е), содержа. щем внутри точиу х=О, е е ! /(х) б(х) их = /(0) ) б(х) Нх = / (0). Следовательно, длч того, чтобы выполнялось уравнение (Д.б-бб), б-функция должна иметь следующие свойства: Д-7. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА пли ао ! (!) =- — + ~ А» соз (й ш! г — ор»), 2 о. ! (Д-7-2) !ге Т ~'",+," зо 'р» = оо ты — ~ 7 (!) Вг! — от12 722 2 à — ! (!) соз й в,(2((! — Пг (Д-7-2а) по = Спентральный метод анализа в применении к радиоэлектронике состоит з замене сложной функции времени Е((), описывающей ка- кой-либо линейный электромагнитный процесс суммой простых гар- монических колебаний, образующих частотный спектр этой функции. Этот метод основан нз пспользаваппп рядов п питсграла Фурье.
Изучаемые методом спектрального анализа электромагнитные процессы могут быть как установившимися, так и переходными. К первым относятся токи и напряжения в электрических цепях или напряженности электромагнитного поля в средах, изменяющиеся по периодическому закону нли постоянные в практически бесконечном интервале времени. Переходные процессы возникают при перекопе от одного устзновизшегося састонния к другому, т, е, при включе- нии и выключении источника энергви илц прн изменении парамет- ров цепи. К переходным процессам относятся также электрические сигналы, служащие для передачи сообщений, Установившийся процесс может быть выражен периодической функцией, т.
е. удовлетворяющей соотношению !' (() = ) (г + т), которое действительно для любого значения й Наименьшая постоян- ная величина Т, удовлетворяющая этому соотноопению, называется пер иодом (рис. Д-25). Характеризую!цап электромагнитный процесс периодическая функция может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье; 'го да 7(() = — +~ (п»созда!,(+5»з!пйв,() (Д-7.1) 2 »=1 т)г 2 Г ба — 1 ) (г) з!п й воЖ; -т(г й=1, 2...
Физический смысл выражения (Д-7-2) состоит в том, что периодический процесс может быть представлен суммой сииусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте вь амплитудами Рнс. Д-25, Периодическая функция 7 (!). А» п начальными фазамн ф», которые определяются выражениями (Д-7-2а). Отдельные слагаемые суммы в формуле (Д-7-2) называют та р ыо пик а ми.
Число й является номером гармоники. Первая гармоника (й=!) называется основной, так как она имеет тот же период, что н функция 7(!). Гармоники следующих номеров (й= =2, 3, 4 ...) имеют частоты йооь кратные основной частоте в!. Нулевая гармоника равна среднему значению во времени или постоянной составляющей. Совокупность величин А» называется с п е к т р о м а м п л н т у д (рис.
Д-26, и), совокупность величин ор» — с п е к т р о м !р а з (рис. Д-26, б). Графически спектр амплитуд представляют з координатах А» А! и в. Вертикальные отрезки представляют амплитуды гармоник н называются спектральными лип н я м н. Спектр такого вида называется лннейчатым или диснретным. Каж- 0 по! гшг Ввг гкэ Ввг Вш! тв! Вш! Вш! $ а) лая периодическая фуннцня имеет единственные и вполне определенные амплитудный и фазовый спектр ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
