Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Учитывая, что Р ш! гпог зги! Чв! Вв! Вв! 7в! Вв! Ввг т — ~ соз'(йво! — ор )о(г= —; Рнс. Д-26. Лииейчатый или дискретный спектр амплитуд (и) и фаз (б). 53 — 552 а,! ;(1) = — + т а!сох(Ьы,1), 2 ь=! (Д-7-(а) ! 1' — ) саз (Ьы,г — !рь) л(( =О, т~ о где где ш и л — целые числа, можно показать: т 2 ло ! чч (1))о !(1 = — + — ~ А'. 4 2 Я() (Д-7-3) ь ! -7. у. г О 2~ тттй Е 1 (1) = хл ьь 5!п (ьол! 1) ! ь-! (Д-7-)б) где Т/2 4 Ьь= ~ ) (1) л!н("ы! 1) а1. т, ! соз (ллы! 1 ойт) соз (ны! 1 оРо) о(1 = О! о представляющие частные значения числа Ь, Рис.
Д-27. Четаая (а) и нечетная (б) функции. Если функция ((1) представляет, например, ток в электрической цепи, та это выражение согласно закону Джоуля — Ленца, пропорционально средней мощности, поглощаемой в этой цепи. Следовательно, средняя мощность в цепи, в нагорай протекает ток, являющийся сложной периодической функцией времени, равна сумме средних лющностей всех гармонии. Сумма в правой части выражения (Д-7-2) представляет бесконечный ряд, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настольно малы, что ими можно пренебречь и прантичесни реальный периодичесний процесс представляется функцией с ограниченным спентром, Интервал частот, соответствующий ограниченному спентру, называется шириной спентра.
Если периодичесная функция Ц1) является четной (рис. Д-27, а), т. е, удовлетворяет условию ((1) =7( — 1), то в выражении (Д-7-!) Ьь=б и эта выражение будет содержать только косинусоидальные функции, т. е. ты 4 по ) )(П о(1 т а Т1! 4 Г т,) а Рис. Д-28. Периодическая последовательность нря- моугальных импульсов. Если )(1) — нечетная функция (рис. Д-27,6), т, е 1(1) = — 1( — 1), то по=а!=О н выражение (Д-7-!) будет содержать только синусондальные составляющие: Последовательность прямоугольных нмпульсон (рис, Д-28) при выбранном изчале отсчета является четной функцией; спектр ее содержит только постоянную и косинусоидальные составляющие и !12 4 Г т а = — ) Е,„л(1 = 2 — Еж = 2рЕж; т,')" т е ч=! в котором р Т (Д-7-4а) (Д-7-5) 1 1 — = — (п=1,2,3 ° ° .), (Д-7-7) можно представить в виде е!мз ! + е !"'"г е!»чьг — е па +Ьа 2 2/ ໠— /Ь» .
а» + /Ь» е'»"'г + — е 2 2 — 836— — 837— тгп и» = — Ем соз (»ы! /) !// = 2р Е,„ Поэтому ряд Фурье такой фупкпии имеет вид Г Чч з!и (»пр) /(Г)=Ем р+2р У соз(»ы,/), (Д-7.4) »пр » ! .— скважяость импульсов. Спектр амплитуд данной фуикции определяется выражением ~з)их ~ ~згп (»пр) ~ а спектр фаз (рис. Д-29,6) — выражением з!п (»пр). (Д-7-5а) »ы,т При значениях»пр = — з шп(т=!, 2, 3 ...) амплитуды соотве- 2 тствующих гармоник равны нулю, т.
е. з спектре последовательности 2тп прямоугольных импульсов частоты»ы!= — отсутствуют. При длительности импульса т=Т/ 2, т. е. когда р=!/2, выражение (Д-7-4) принимает следующий аид: /(/) = Ет ~ 2 + ~т соз [(2л — 1)гз! /] . (Д.7.6) ~ 1 2 гч( !)л+! л=! Этот ряд содержит только нечетные гармоники, амплитуды которых убывают по закоиу где» вЂ” номер гармоиоки. Н а ркс Д-29 представлены амплитудный и фазовый спек ы пследовательиости прямоугольных импульсов длительноств = — Т. !О Последовательность зиакоперемеииых првмоугольиых и у с д ительиостя (рис. Д-30). Рассматривая последовательы импульсов ность такого вида, как сумму последовательностей положителькых и отрипательиых импульсов, сдвинутых по времени иа т=Т/2, яз выражения (Д-7-6) получим: ! (/) = — ~ . (Д-7-ба) ФЕ„тч ( — 1)"+' соз (2п — 1) и, 1 Как и в предыдущем случае, амплитуды гармоник также убывают по закону (Д-7-7).
Форма импульсов, показанная на рис. Д-ЗО, получается при суммировании бесноиечно большого числа гармоник; приближение 0 и и/ Ряс. Д-29. Периодическая последовательность прямоугольных импульсон длительностью т Т/!О (а), ее амплитудный (б) и фа- зовый (в) спектры. к прямоугольной форме тем лучше, чем больше число учитываемых гармоник. На рис. Д-31 даио сравнение импульсов, получаемых в результате суммирования только первой и третьей гармоник, с импульсами идеально прямоугольной формы, Комплексный вид ряда Фурье.
Используя выражение (Д-5-2), общий член разложения (Д-7-!) а» соз Ьм, /+ Ь» згп»а! ! (Д-7-8) ~К б-,грт 2 /'я еТР» г (Д-7-! О) Аз = — 1 /(!) е !аи" пУ, 2» Т вЂ” т !Д-7-9) 3(/ )= ) /(!)е ' гпг, (Д-7-! !) — 839— — 838— Если обозначить аь — /йь=А» и аа+!Ьь А ь, то выражение (Д.7-!) вримет такой вид! /(!) - — ~, А„е'"", 2 где Аь — комплексная амплитуда й-й гармоники. Рнс. Д-30.
Знакопеременнаи периодическая после- довательность прямоугольных импульсов. Рис. Д-31. Сравнение знакоперемениой периодической последовз- тельности прямоугольных импульсов с суммой двух гармоник. Учитывая выражения (Д-7-2а), получаем: х Комплексная амплитуда характеризует не только величину амплитуды, но и фазу гармоники. Переход от тригонометрического к комплексному ряду Фурье можно интерпретировать каи замену вещественной величины Аа сов(йм, г — ~рь! двумя векторамн длиной Аь/2, вращающимися навстречу друг другу с угловыми скоростями йы, и — йа~ (знак указывает направление вращения вектора).
Мгновенное значение гармонической составляю. в!ей в атом случае равно геометрической сумме вращающихся векторов (рис. Д-32). Действительная частота кажной гармонической составляющей будет положительной. Используя выражение (Д-7-9), найдем комплексные амплитуды гармоник для последовательности импульсов, показанной на Аь = — ~ Ем е 'ашг А! = — ~(з!п ймг т — / (! = соз (йм, т))) . о Амплитуды )А»( образуют линейчатый спектр, расстояния между линиями которого а~=2я/Т. При увеличении Т эти расстояния Рис. Д-32.
К переходу от тригонометри- ческого к комплексному ряду Фурье уменьшаются, т, е. плотность линий спектра увеличивается. Но про- изведение 2 — А, Т = — За = ~ / (!) е " ' 3(, 2 и 2 соответствующее гармоникам с одинаковой частотой, остается неизменным, т. е, с увеличением Т амплитуды их уменыпаются (рис. Д-ЗЗ), При Т сс периодическая последовательность импульсов превращается в од и и о ч н ы й и м и ул ьс, расстояния между лпнняыи стремятся к бм, 5» переходит в непрерывное распределение характеризующее сплошной спектр. Величина Я(/м) называется спектр а л ь ной п лоти о с т ью или спектральной характеристикой функции /(!). Огибающая сплошного спектра (модуль спектральной характеристики (5(!га) ( одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра (Я»( периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.
Прп Т ах ряд (Д.7-8) переходят в интеграл Фурье 1 Г ((1) = — ) 5 (!ю) е'"х с(ю. Эта выражение позволяет любую периодическую функцию !(1), опаеделенную в интервале — «1 «х, представить в виде суммы бес- 'шх бшх Эшх Бшх бш, Усох сз) я» б'ах ххХш' хгхсох Ыса ' хбш' б) Рнс. Д-ЗЗ. Увеличение плотности спектральных линий при увеличении периода последователь- ности импульсов. » — х, Т '»1; б — Т 2Т 2»/ч х конечного числа гармонак с бесконечно лхалымц камплекснымн амп- 1 литудамн — 5(!сэ) с(ы н с бесконечна малым интервалом х(ах по и частоте.
Формулы (Д-7-1!) и (Д-7-12! имеют симметричное строение н называются соответственно прямым и аб р а тны м и р со бр а з аз а пнем Фурье. Преобразования эти имеют смысл, если функция )(1) является абсолютно интегрируемой, т. е, интеграл )()(1)(х(1 имеет конечное значение. Формула (Д-7-11) позволяет найти 5(!га) по заданной )(1), а формула (Д-7-12) позволяет найти ((1) по заданной 5(!Рэ). Практически время изменяется в интервале 0«1«а; при этом выражения (Д-7.11) и (Д.7-12) будут иметь вид: Я (( ы) = ~ ! (1) е !чп с(Г» (Д-7-12) (1(1) при 1> Ох 2я ) 1 0 при 1<0.
— ( 5(!ы) е!2» схоэ=* 5 ()ю) ~) (1) е ! М. (Д-7-18) — 841— Итак, рядом Фурье может быть представлен любой реальный периодический процесс, а интегралом Фурье — непериодический, определяемый функцией ((О и удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости, Заметим, что последнему условию удовлетворяют не все применяемые на практике формы сигналов.
Средняя мощность каждой гармоники пропорциональна половине ее амплитуды Аа Ра » или согласно выражению (Д-7-10) 52 Ра э Следовательно, отданаемая всеми гармониками за период энергия й ,'1,Р„т »=а »=в Из предыдущего выражения находим выражение, определяющее энергию одиночного импульса (Т- са, юг- х(ю): (à — ) 5' (1ы) сйа.
1 Р (Д-7-14) 2п,) Отсюда следует, что спектральная плотность 5(!ы) определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса, В общем случае распределение энергии в спектре неоднородно; однородное распределение имеет место лишь в хаотическом процессе в так называемом «белом шуме», когда амплитуды и фазы составляющих частот изме. ияются го случайному закону. Одиночный импульс описывается выражениями ((1) ~ 0 при 1, «1 «1„ 7(1)=0 при 1>1» и 1<1, и согласно (Д-7.13) спектральная плотность энергии одиночного импульса откуда Е„, р' с е+ы' (Д-7-17) ы гр = — асс!б —.
ес (Д-У.)6) е " ! (Г) = — ~ 3 (! ы) е)вг Иы) ! 2п 3()ы) =4) 1(т)е~ев '"' сй Я ()ы + о,) = ~ ) (1) е-'"+~в! ' 4). Введя обозначение Р =пь+)ы (Д-7-18) получим: а.+1 ! )(г) ~ 5(р) е Лр: 2п! (Д-7.!9) импульса ~У(г)е — и бг (Д-7-20) — 842— Отсю да следует, что распределение зиергни в спект е о ии лительиостп с=Га†(ь Приблизительно 90"В п ямо у средотачена в спектп ямоугольного имп льса са определяется приближенно выражением Рис. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
