Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Первая функг ) ция )~(à — — ), называемая запаздываюшей. представляет собой и сферическую волну, распространя!ощуюся от нсточникз со ског ростью и. Действительно, функция ),(1 — — ) в каждый данный и) момент Г на данном расстоянии г от источника имеет то же значение, которое она имела в момент (1 — 1) на расстоянии (г — и), т. е.
значеине величины ),~à — †) распространяется от источника пола и в виде сферической волны со скоростью и, Подобным образом можно убедиться, что и функция )э(Г+ — ), называемая опережающей, и представляет собой сферическую волну, сходящуюся из бесконечности к источнику с той же скоростью й (рис. Д-19). В случае точечного источника или в случае, когда все источники расположены в области г(гр, волны, сходящиеся к этой области, нг кнеют физического смысла и мы должны положить !э=О, вследствие чего решением (Д-6-2) будет: '('- —:) г (г,() = (при г>га). (Д-6-4) — 814— П и „функция (Д-6-4) вместе со своими производными должна плавно переходить в решение неоднородного уравнения с правой „а ю (Д.б.!), ДлЯ пРедельного слУчан точечного наточин"а (га-~ 0) решение имеет впд: х(г — — „) Г(г, Г)= " ДУ.
4п г Учитывая принцип суперпозиция действия отдельных объемов источ- нинов, получаем: х(г — — „) г (Д-6-5) 1 г"(г,г) = 4п где й ы/и. Решение этого уравнения, имеет вид: соответствующее решению (Д-б-б), ~ -~--) Е(г,у)= — ~ 1 Х е б)г, 4п ~ Г (Д-6-10) у е- 815— В случае малости величины сРг/с((а по сравнению с другими членами, уравнение Даламбера переходит в уравнение Пуассона Ь Р= — Х (1).
(Д-6-6) Решение этого уравнения получим нз (Д-6-5), пренебрегая запаздыванием, т. е. !' х(1) Р(г,1)= — ) — ц(l. (Д-6-7) 4п,) г й Если г и х ие зависит от времени, то ре- и шеиие уравнения Пуассона имеет вид: ~+-д1 г'(г) = — ) — Ю. (Д-6-7а) у 4п,) гг и Прн х=О уравнение Пуассона переходнт в уравнение Лапласа Ф бЕ=О. (Д-6-8) Рнс. Д-19. Сферичеполя нк и гу В частном случае монохроматического скис волны (к фу цию Г'(г, 1), соответствующую нию уравнения Да- н решенапряженностям или электромагнитным потенциалам, согласно (Д-5-1!) можно представить в символическом виде г(г,т)=грм(г)е! г а функцию ,"!(1), соответствующую плотности тока нли заряда, в виде х(г)=Хне!" ° При этом уравнение (Д-6-1) с учетом (Д-5-7а), будет иметь вид: бР+йар = Х, (Д-6-9) д'г дз г дз Р + —,+ —,+ йз Е =О, длз дх~ ~дхз Частное решение этого уравнения на основании (Д-6-12) представляем в виде (Д-6-13) ф = Хз (хз) Хз (лз) Хз (хз) .
(Д-б-12а) Подставив (Д-6.12а) в (Д-6-13) и разделив полученное равенство на Х1Х2Хз, получим, 1(Х1 1 '! '12 1 д Хз Это равенство возможно, если каждое из слагаемых прелставляет собой постоянную величину Таким образом, уравнение (Д-6-14) распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами вида ! Х . 1 дзХз — — — = — (з; Х, д„х ' Х,,з дз Хз = — /г Хз длз где йь йз н йз связаны соотношеняем йз+ йз+ йзР й ° (Д-6-! 5) (Д.6-16) решения уравнений (Д-6-15) имеют следующий вид: Х, = А, соз й, лз + Аз з)п йз хб Х, = Вз соз й, лз + Ва з!п йз хз; Хз Сз соз йз хз + Сз з! п йз ла.
(Д-6-17) 816— При )(=О уравнение (Д-6-9) переходит в однородное волновое уравненве, называемое уравнением Г ел ьмгол ь на. б Р+йзР=О. (Д-6-11) Это уравнение и уравнение Лапласа (Д-6-8) при решении задач злектромагннтного поля в каждом конкретном случае записываются в той системе коорлииат з)1, дз, лз, в которой граничные поверхяостн совпадают с координатными поверхностями. При этом согласно и е т о д у Ф у р ь е частные решения этих уравнений прелставляются в виде произведения трех функций, каждая из которых является функцией тольно одной переменной, т. е.
ч ь(з)1)з)(чз)ь(чз)' (Д-6-12) Для каждой из этих трех функций получаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, решение которых зависит от некоторого параметра и содержит произвольную постоянную. Варьируя параметр и постоянную, можно удовлетворить граничным условиям, но часто это не удается и приходится представлять решение в виде суммы частных решений вида (11-6.12). В прямоугольной системе координат уравнение Гельмгольца имеет вид: Таким образом, частные решения уравнений Гельмгольца в пря- моугольной системе координат представляются в виде произведеаия тригонометрических синусов и косинусов Если поле, описываемое уравнением (Д-б-!3), представляет вол- ны, бегущие в направлении оси (например, х,), то решение соответ- ствующего дифференциального уравнения 1 даХ, — — = — йз, — — 3.
представится в виде суммы экспоиенциальных функций Хз=Сзе 1~'л'+С,е'а'"'. (Д-6-18) Если поле зависит только от одной из координат кз, в направлении которой оно распространяется, н не зависит от других двух координат (так называемая плоская волна), то уравнение (Д-6-13) упрощается и принимает вид: дз à — +дар=О. дзз Частное решение этого уравнения представляется в виде суммы двух экспонеициальиых функций ф= А,е зхаз+Азезалз (Д-6.19а) Если плоская волна распространяется в произвольном направленни г, не совпадающем ни с одной из осей координат хо то частное решение (Д-6-12) имеет вид: ф = А, е зй~+ Аз езйг (Д-6-196) где й — волновой вектор, совцалающий с направлением распространения волны, г — радкус-вектор.
Уравнение Лапласа (Д-6-8) в прямоугольной системс координат формально можно получить из (Д-6-13), положив й=О. Очевидно, решения при этом будут иметь вид выражений (Д-б-!7), в которых йз, йз, йз, связаны соотношением йз + йт + йз = О. 2, 1 2 (Д-6-20) Из этого равенства следует, что если все его слагаемые — веществснные числа, то хозя бы одно из ннх является отрицательным. 2 2 1 Предположим, что йз.лО и йз>0, тогда йз(0, т. е.
йз — мнимое число. В этом случае ~э — !У йзч ~2=)!~з! н согласно (Д-б-!7) с учетом (Д-5-5) Хз Сг соз (! !йз! хз) + Сз з!п (! ! йз ! кз)— = С, сй ()йз ! 1) + !С, зй О йз (,), (Д-6-21) Таким образом, частные решения уравнения Лапласа в прямоугольной системе координат представляются в виде произведения тригонометрических н гиперболических синусов н носннусов. 817— Также (Д-6-38б) (Д-6-36) Б [и (х) е' Е гх е Е г'и(х) е (Д-6-37а) где (х) егк соз В е /пв дб 1 2п~ двр + йвг = О. даз + гв 5!Пз 0 (Д-6-39) е!к соз а й; 1~ у (х) е!пв (Д-6-37) Если ввести функцию (Д-6-38) Заменив 0 на и/2 — О, получим: (Д-6-41) (Д.6-38а) (Д.6.42) — 823— Любая цилиндрическая функция (Бесселя, Неймана или Ханкала) удовлетворяет соотношениям йп Зи т(х)+да+ (х) = — Ли(х); х д Хп ! (х) — 2п( ! (х) = 2 — [ди (х) [! 3 +! (х) ~ х + Лп (х) д» Экспоненциальную ф нкцию егксо' можно рассиатривать как !ксозв периодическую функцию 0 и представи~ь в виде ряда Фурье [см, ниже выражение (Д-7-8)) С учетом выражений (Д-б-30а) и (Д-6-36)' Применив формулу Эйлера (Д-6-1) и разделив действительные н мнимые части, получим: соз (х соз О) Ув (х) + 2 Е ( — 1)и Уви (х) соз (2п 0); и=! з)п(хсозО) = — 2 Е ( — 1)иУз„,(х)соз(2п — !) О.
и=! сов(хз)пб) = гз (х) + 2 Е 3зи (х) сов 2пО; и=! 3!п(ха!пО) 2 йк У и (х) в!о(2ч — 1) О. и=! соз(а+хсозО)= ~~„' г„(х)соз ~а+и~ — -~-0)~! 'т 2 гп з!п(а+ хсовО) = 7 гп(х) з1п
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
