Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Преобразования Лоренца (Д-4-7) отличаются от преобразований Галилея (Д-4-3) следующны. Последние вытекают из постулата «дальнадействпя», т, е. мгновенного распространения возмущений; прн этом правые части выражений (Д-4-5) и (Д-4-6) всегда обращаются в бесконечность. Преобразования же Лоренца вытенают нз постулата «блнзкодсйствия», т. е. конечной скорости распрастраненпя возмущенна; при этом условии упомянутые два выражения однозначно определяют фронт возмущения.
Действительно, если в уравнения (Д-4-7) подставить с= са, то анн перейдут в преобразования Галилея (Д-4.3). То же получается и при «медленном» движении, т. е. когда Изменение длины. Пусть в системе К покоится стержень, параллельный осн кь Длина его, измеренная в этой системе, (Д-4-8) где х! и х~~ — координаты концов стержня, измеренные в системе К Длина стержня, наблюдаемая в момент /' з системе К', движущейся относнтельно системы К, определяется выражением Лх! — к( ! — х(т !, (Д-4.8а) Вычитая /ь пз !з, получаем: б/' б/ =- Гл — Гт == 1 ! — и'/с' (Д-4.11) Такам образом, с точки зрения наблюдателя, расположенного в системе К, ход часов, находящихся в движущейся системе К', оказывается замедленным в Зт! — из/сз раз.
Кроме того, часы, размещенные в различных точках системы К' и наблюдаемые из системы К, будут показывать разное время в зависимости от их положения. Чем дальше по осн к'ь от начала координат расположены часы, тем более где х, и х, — координаты концов стержня в системе К'. Под(а!' ы)' ставляя нх значения из (Д-4-7) в выражение (Д-4.8а), получаем: йх, = бх !т' 1 — из/сз, (Д-4-9) т е.
ллпна стержня, движущегося относительно наблюдателя со ско- ростью и, уменьшается в !К! — и'/с» раз. Этот эффект назынается Лоренповым сокращением длины. «Собственной длиной» стержня называется ега длина в той си- стеме отсчета, з которой он покоится; из выражения (Д-4-9) видно, что это наибольшая длина. Поперечные размеры тела пря его движении не меняются н объ- ем тела прп его движении, следовательно, сокращается до величины, определяемой по формуле )т =)те Ф 1 — из/с', (Д-4-10) где )те — «собственный об.ьем» тела Изменение времени.
Пусть в системе К' покоятся часы. Рас. смотрим два события, проигшедшнх в одном и том же месте к,, к, кз этой системы. Врслш, прошедшее в системе К' между этими собы- тиями, /Ь/'=/„— Г~. Найдем время б/, которое прошло между этими событнялш в системе К, относительно которой движется система К'.
Согласно последнему выраженша преобразования (Д-4-7а) находим; и и г, + — х, гз + —, х, гз = т ~: ч» )гт( — яз/сз Рнс. Д-13. Показания часов в движущейся системе К' и неподвижной К с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К отста!от пх показания с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К (рис. Д-13). Вместе с тем ход часов, находящихся в системе К, можно рассматривать с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К'. Тогда согласно последнему выражению преобразования (Д-4-7) и / — — х, с» Т/'= т. е. часы, находящиеся на положительной половине оси хь опережа- ют часы, помещенные н начале координат.
Временной интервал (Д. 4-11а) Следовательно, с точки зрения наблюдателя системы К', часы в системе К оказываются также за медленными. Время, которое показывают часы, движущиеся вместе с рассматриваемым телом, называется «собственным в р ем вием». 51 — 552 Сложение скоростей. системы К со скоростью получим: йхс и ив д/ дх, +ий/ ос+и и йг+ — йх ис и сз 1+ с' 0 0 — /и/с )/! — нз/сз 1 О 0 1/ 1 — из/с' О из т ~l сз (Д- 4-13а) 1(алс1! = дхз и,= — = л/ 0 ! 0 иск !+— сз /и/с 0 0 1 У( — '/с' 1 ! — '/ ' / (Д-4-12) и а= й/ ос и 1+— са (Д-4-14) х +1(н/с) х, х 1 1 — ссз/сз ха= з (Д-4-12а) Л', — /(и,'с) Ас Лс )с 1 — из/са (Д-4-15) А, -!./ (и/с) Ас Лл — — Лз, Лл=— нз/сз 1 0 0 )с 1 — и'/с' 0 /и/с из/сз 0 1 0 0 1 )(аса!) = (Д.4-13) О -/и/с 0 1 0 0 'сзс1 — пз/сз 1 — на/с 51' Пусть система К' движется относительно и, Тогда с учетом выражений (Д-4.7а), Форьсулы эти представлясот закон сложения скоростей в теории относительности, В частном случае движения тела параллельно оси хс.
из=из=О н из=и. При этом от = из — — О, и =ос и, следовательно: и'+ и и'сс 1+— сз Согласно этой формуле дае скорости, меньшие плн равные скорости саста, дают лри сложении скорость, не превышающую скорость свети Радиус-вектор в четырехмерном пространстве (4.радиус. вектор, проведенный из начала координат) — совокупность четырех величин хь которые при повороте системы координат преобразуются аналогично (Д-2-8) по формулам; кс —— аса х; ха= амхс (1=1 2 3 4). При преобразовании Лоренца согласно выраженияы (Д-4-7) матрица преобразования имеет видс Для обратного преобразования хь — — а эх, матрица преобразования согласно выражениям (Д.4-7а) приобретает вид: и 4-радиус-вектор преобразуется следующим образом; хс 1 (и/с)хл к, =- х =хсс а 1 — срс'с' Вектор в четырехмерном пространстве (4-вектор) — совокупность четырех величин А„преобразующихсн прн повороте координат аналогично (Д-2-7а) по формуле Ал =аь, Ас'.
При преобразовании Лоренца согласно (Д-4.13а) Можно показать, что квадраты 4-векторов и их скалярные произведения инвариантны, т. е. Лс =- Ас, Л В = А, Вс. (Д.4-16 ) Теизор второго ранга в четырехмерном пространстве (4-теи. зор) — созокупность шестнадцати величин, преобразующихся при по. воро~е системы координат согласно выражению (Д.2-9) Тса — — схн аат Тси При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умножения матриц (Д-1-4) С учетом (Д-4-13а), получаем: Ты ан аюа Тсю пли т„'-/ — "(т<4+ т', ) — ( — "', 'т„' т„'-/( — '< т<, 1 — и'/с' р' 1 — и'/с' ! — и'/сз )<г! — и'/са и т„'+1 — т„' , и т,', — / — т.,', т„' т,'с )< 1 — из/сз (Д.4-17) т<,= т„'+ / — т„' и т„'— / — т'„ 7 за 1<: <е т„'+/ — и(т'„+ т,'1) — ( —,) т'„ 1 — из/сз )< 1 — и'/с' т„'— / — и( т'„— т„'4< + Я т'„ 1 — и'/с' т' +(( — <~т„' „/и1 У ! — "/.* У1 — из/ ° (Д.4.22) д С< = — (1= 1,2,3,4), дх< (Д-4-19) Рис.
Д-14. Плоскость комплексно го переменного. При обратном преобразовании величина и заменяется на — и. Четырехмерный градиент — 4-вектор, проекции которого из осн координат имеют впд: Огай« р= — (< = 1,2,3,4), др (Д-4-18) дх< где ф — скалярная фуикпня четырех переменных ф=ф(х,), (<=1, 2, 3, 4.].
Формзлы<о четырехмерный градиент можно представпть как про- изведение четырехмерного векторного пространственно-временнбго оператора аналогичного оператору Гаь<нльтона (Д-3.10) в трехмерном пространстве, иа скаляр <р. Четырехмерная дивергенция — аналогично (Д-3-12) — скалярное произведение четырехмерного оператора (Д-4-19) на 4-вектор А<. дА< дА< дАз дАз дАа О!чА=П,А,— ' - + + + . (Д-4-2О) дх; дх, дх, дхз дх< Приняв в этой формуле в качестве вектора А четырехмерный градиент (Д-4-18), получим дифференциальное выражение С)з ф< где оператор дэ дз дэ дз Пз = + + + — (Д-4-2!) да< дз дхз здхач называется оператором Даламбера; он аналогичен оператору Лап.
ласа в трехмерном пространстве (Д-3-15). т„ '/( — ') т~ т„'-1.( — "'~(т тн'~+ Ят„ Четырехмерный ротор — антисимметричный 4-тензор второго ранга дА* дА< Но!<а А = — — —. дх< дха Его пространственные компоненты (1, й=1, 2, 3) совпадают с компонентамн го1 А в трехмерном пространстве (см. формулу (Д-3-13)]. Из выражения (Д-4-22) следует: Ко1и А = О; )(о1<е А = — ((о!а< А. (Д-4-23) Д-3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОН ПЕРЕМЕННОН Величина х=х+/у называется комплексной переменной, если х и у, называемые соответственно вещественной и мнимой ее частью, являются независимыми вещественными переменными, Вещественная и мнимая части обозначаются соответственно Не х н 1щ а, Комплексное число можно представить графически У точкой М с координатами .с, у на плоскости хбу.
Эту точку М назывэ<от также и з о б р а ж ением комплексного числа (рис. Д-!4). Плос- Р кость хбу аазывзется плос. костью независимого комп- еч лексного переменного, так как каждой точке этой плоскости ггч <и соответствует комплексное пе- В ременное Вещестденнаэ аса Из рис. Д-14 видно, что комплексное число х=х+/у можно представить в виде г+г'= 2х; гг" = «з -!- уз. е'е+ е сох ф = 2 (Д-5-2) е'е — е 51П ф = 2/ ее+с е спф= 2 (Д-5.4) ев — е 'з зпф= 2 (Д-5-5) (Д-5-5) А = Аа 5!и (юг+ ф); А = А„, соа (ю ! + ф). (Д-5«9) (Д-5-10) г=р со5 ф + ! р 5(п ф = р (со5 ф + / 5(п ф) . Согласно формуле Эйлера е/е =- соз ф + ! з !п ф. (Д-5-1) Поэтому комплексное число г можно записать также в следующем виде: г= ре'е, где р = (г!=Ф х'+ уз — модуль числа г, а гр = а.
с!й (у/х) — аргумент числа г. Если гр заменить на — ф, то формула Эйлера (Д-5-1) примет впд: е Ю=созф — /5(пф. (Д-5-(а) Складывая и вычитая выражения (Д-5.1) и (Д-5-1а), получаем." Согласно выражениям (Д-5.1) и (Д-5-1а) ! с=гзх= 1; ея/и= — !; е — ш/~= .+. Д е= гя/4=, (Д-5-3) 1' г Трпгопометрические функции связаны с гиперболическими функ- цяями следуюшими соотношениями; 51п/ф='/зпф; со5/ф=сйф; з!п ф = — / 5Л / ф; соз ф = сЛ ! ф. з!п ((5 — / а) х) =1' спза х — соззрхе ф = 18 ' С!8 8 х (Л а х; соз((8 — г а) х) = тг' слз ах — з!пз()хе ф=!и — '19()х! ак; ю аг- ю )ч -Лев* †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
