Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Диагональные элементы такой матрицы равны нулю. Пример: Всякая матрица может быть представлена как сумма симметричной и аитисимметричиой матриц: ПЬы'! =!)зы!!+Паж!1, ь!,+ь„ьы-ь„, згэ = 2 ' 2 =за:, ада= = — азы Матрица, некоторые элементы которой являются комплексиымн величинами и удовлетворяют условию а;ь=аеэ; (значок * означает комплексную сопряженность), называется с а и ос о при же иной или эр м и тоней матрицей. Пример: С у м м о Ь д в ух м а т р и ц одинакового порядка Па~эб и ПЬыП, элементы которых соответственно а;э и Ь,ю называется матрица ПсаЛ, элементы которой с,э=а, +Ь.ю Пример: !!':,:::! !!':;:!1= 1;",".',;"..",:!! Сложение матриц обладает свойством комл~утативности (независимостью ог перестановки), т.е. !! а э П + П Ь э !! = !! Ьы !! + П агэ !! и ассоциативности (независимостью от сочетаний): Паж Ц+(П Ьы П+ !! с;э П) =(Па!э !1-1- П Ьы П)-1-!! сы!!. (Д-! -6) Очевндно, что ЦАЦ=Ца!дЦ а ...а !а а а йы Ад! ° ° !)щ 611 1)ы ° ° ° йл1 61л Адл .
° ° Алл 1 ЦаиЦ ' = 1 и1 1Д-! -5) )а, д1 Уг — 767— Складывать можно только матрицы одинакового порядка. Произведением матрицы аи иа число р называется матрица, каждый элемент которой равен соответствующему элементу матрицы а,д, умноженному иа р. ЦаиЦр=Цра;дЦ. (Д-! -3) Ц аи Ц р = р Ц аи Ц = Ц раи Ц. Произведением двух матриц Цад)1 и 11Ьд(1 одного н того же порядка называется матрица !!с,д!1 того же порядка, элемевты которой определяются выражением л сгд = Х анЬи = а;1Ьгд. (Д-1-4) 1=1 Знак сумыироваиия можно опустить, так как повторение индекса 1 дважды означает суммирование от ! до л.
Таким образом, элемент с,д получаетси умножением каждого элемента, стоящего в гчй строке матрицы Цагдй, на соответствующий элемент из й-го столбца матрицы ЦЬгд!! и сложением этих произведений. Пример: В общем случае произведенве двух матриц ие обладает коммутатив. ным свойством, т. е. Цаи Ц Ц ЬгдЦ ~ Ц Ьгд Ц Ц ага Ц, (Д-1-4б) но имеет место ассоциативность: ЦаиЦ(ЦЬгдЦ ЦсиЦ)=(ЦаиЦ ЦЬгдЦ)Цс,дЦ и дистрибутивность (иезавнснмость от распределения): (Ц а д Ц + ЦЬгдЦ) Ц сгд Ц = — Ц а д Ц Ц с!д Ц + Ц Ьи Ц Ц с д Ц .
Любая матрица прн умножении на единичную матрицу (Д-1-!) не изменяется. Произведение любой матрицы на нулевую матрицу равно нулю, матрица 1)агд!! ' называется обратной матрице Цасдй, если выполняется условие 11агд11 ° Ца,дй-'=!16,дй. Такая матрица существует, если !ам! Ф О. Если алгебраическое дополнение элемента агд обозначить через А,д, то обратная матрица будет иметь структуру Алгебраическое дополнение элемента аи получается нз определителя матрицы путем вычеркивания строки и столбца, пересекающихся 1+Д иа этом э.чементе, и умноженного на ( — 1), В случае матрицы 1 Ц адд — ада второго порядка ЦагдЦГ = (Д-1-5а) !а;д! !! — ам ап Деле и не матрицы Цагдй иа 116116 ~редставляетси как умножение иа матрацу !1Ь1111 ', обратную ЦЬиЦ. — 766 Возведение матрицы второго порядка в степе н ь л.
Правило умножения матриц можно использовать для возведения матрипы в степень. Прн условии !а,д! =1 и ао+а,д ~ Ш2 возведение матрицы в л-ю степень определяетсн формулой где з„=айва (л=О, 1, 2 ...), а аргумент а определяется соотноше- нием ам + адд ей и= = 2 Следует отметить, что во всех рассмотренных операшшх ранг матрицы не изменяется, Любую матрипу ~,'агдЦ можно рассматривать как составленную иэ несколькцх подматриц д-г;1, 1 г+1,2 а, М Матраца, кагклый элемент которой в свою очередь является ыатрицпсй, называется с л о ж н о й, такие матрицы складываются, псреыножаются н т.
д. кск обычные Матричное нсчпслс!и!с обчегчает решение сястемы линейных уравяеннй, особенно когда требуется найти только некоторые неизвестные. Действительно, систему линейных уравнений и, = аых, + . уд =- ад!х, +... +ада хж уд+,—— -а „,,х-г-...+а,,лх; у„=ал,х,+..... +л„лх, можно записать в виде х х з+! х л (Д-2-2) нли з Жв =- Х ах! (Д-2-1) !ьы 49 — 552 — 769 = Ф а а ...а 1 а, +!...а 1 аз! азз ..а„, ! а,,+,...а„л ~ а,, аз+! з... а +, ; 'аз+,,... аа+! „ !!У!! ! А А!!'1~х !1' =АХ А,Х Пусть требуется найти неизвестные х„..., хю Исключая нз этой системы Хз, получаем: 1'! — Аз Ав Уз — — (А! — Аз Ав Аз) Х!.
(Д-1-7) Это матрпчное уравнение пе содержит кензвестных хье! ... х н решение его упрощается. Д-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ТЕНЗОРЫ Обозначим оси прямоугольной правой декартовой системы координат х!, хь хв Тогда расстояние А( между двумя точками в этой системе определяется выражением з 2;А з, ! — ! где Лх! — соответствующая разность координат точек (1=1, 2, 3). Расстояние зто называется ннтервалом, а величина А( — длиной интервала. Прн переходе от одной снстемы координат к другой абсциссы и ордннаты точек изменяются.
Такой переход называется и р е о брав она пнем координат; опо может заключаться в измеиенни начала координат, повороте координатных осей нлн в одновременном повороте осей и переносе начала координат. Если при преобразования координат меняются абсциссы н ордннаты точек, по ие меняются расстояния между этнмн точками, то пространство называется з в к л яд о з ы и. Величины, не зависящие от преобразования координат, называются и н в а р и а и т и ы м и. Для эвклидова пространства свойство нивариантностн выполняется н в случае бесконечно малого интер- вала Рассмотрим вектор А в прямоугольной системе координат К(0, хь х,, хв). Обозначим компоненты вектора в этой системе через А!, Ав, Ав (рис.
Д-1). Компоненты того же вектора в системе К'(О, х,, хз, хв) обозначим соответственно через А!, Ав, Л! (рнс. Л-2) При этом связь между компонентамн вектора з обеих системах определят следующие выражения А,=А,сов (е,е )+Лесов (е,ев)+А сов (е,сз), А! = А, сов ( е! е,) + Аз сов (еее!) + Лесов( е! ез), А' = А! сов ( ез е!) + Ав сов ( ез е!) + Аз сов ( ев ез), где е„ев ев — орты (единичные векторы) системы К; ег, ев, ез — орты системы К'. Рнс.
Д-1. Разлонсенпе вектора А на состав- ляющие по коорднзатным осям Рнс Д.2. Переход от системы К к спсте- КЕ Чтобы упростить написание этих формул, косинусы девяти углов, образованных осями системы К' с осими системы К (направляющие косинусы), обозначим согласно табл. Д-!, Тогда выражения (Д-2-2) примут следующий впдс А, =яы А! + ищ Аг+ иш Аз, А, = аз! А! -1- явно Аз -н азз Аз, (Д-2-3) '!з = из! 4! + авз Аг+ ссю Аз. Таблица Д-! Обозначения косинусов углов в системах уравнеьий (Д-2-3) и (Д-2-4) Орты состоим «оорвчч«т К о; = сос( е,.
е„) е оса иге я, ез изс ! дзз Таблица коэффгщнентов называется матрицей преобразовании. Угол между направлениями двух векторов А и () определяется формулой сов ф = сов (А()) = сов (Ае,) сов (()ес) + + сов (Ае,) сов (()ез) + соз (Аез) соз (()вз). С помощью этой формулы и табл. Д-1 получим следующие зависи- мости между направляющими косинусами. — 770— Орты систечы координат К' асс а„яа пм яы сссз азс явз нзз г ац+ а, 'г + 'з а,+а сов(е, ег) сов( ег вг) сов( езез) сов( е, ег) сов ( ег ез) сов ( вг ев) + а!в =1, г +пз =1 + а,'в=1, аш азг+ а з азз — — О, (Д-2-4) аы им+ аы аз, + а,тазг+ а,з азз — — О, аг! аш+ ягз азг+ игз азз=О. Система (Д-2-4) записывается сокращенно в следующем виде: з Е иняз,= бгз, (Д-2-5) с=! где бы — символ Кронекера (Д-(-1), Применяя условия Эйнштейна о суммировании, перепишем выраисенне (Д-2-5) в следующем виде; яи аы = йи. (Д-2.6) В треьзсериом пространстве согласно этим условиям: 1.
Индекс, встречающийся в произведении дважды, означает суммирование от ! до 3; 2. Индекс, вссречающийся в произведении дважды, можно заменить любым другим без изменения значения рассматриваемого выражения (по этой причине повторявшийся индекс часто называют «пемычз); 3. Никакой индекс не может встречаться в произведении более двух раз; 4 Неповторяюшнйся индекс называется свободным и щзннцмаег значения от ! до 3. Этн условия можно применить к сумме вида (Д-2-5), но ни в каких случаях онн це относятся к отдельным слагаемым, Учитывая этн условна, выражения (Д-2-3) можно привести к виду А.= а А (с=1,2,3). пз з (Д-2-7) Следовательно, компоненты вектора в системе К' янляются линейными козгбннацнязси иомпонент в системе К, Такие преобразования называются афнннымн ортогональными, а соотношение (Д-2-6) — условием ортогональиости (пересечення коордннатвых осей под прямычн !слави) Обратное преобразование осуществляется с помощью выражения А =из!А;.
(Л-2-уа) Два вектора, один иэ которых определен в системе К(0, хь хъ хв! и имеет проекции Ас, а другой — в системе К'(О, хг, хг, хз) и имеет проекции Ас, связанные с А„линейными соотношениями (Д-2-7), совершенно тождественны. Поэтому можно дать еще такое определение вектора. Вектором в трехмерном пространстве нозывоетси совокул- — 771— ность трех величин А<. лреобразующихся ири поворотах системы координат ло формуле (Д-2-7). Р а д н у с - в е к т о Р о м, представляющим собой вектор, проведенный пз начала координат в исследуемую точку, называется совокупность трех величин х<, преобразующихся при поворотах системы координат по формулам (Д-2-7), т.
е. (Д-2-8) Х; = а,г Хг, Х, = 11„1 Х,. Вектор является геязором первого ранга и определяется тремя проекциямп, т. е скалярными величинами нли тензорами нулевого ранга А < = (А <, А< А<) Обобщая данное определение, введем понятие тензора второго рзнга, Тензором второго ранга Ты в трехмерном пространстве называется совокупность трех в е к т о р о в — тензоров первого ранга. Так как компоненты вектора преобразуются согласно (Д-2-7), то компоненты тензора Т<ь преобразуются по формуле Т11 т„т13 тм т, т т, т т, т, (Л-2-10) Сходство между матрицей ((аы(! и тензором второго ранга (!Ты(! состоит только в том, что они представляются таблицамя нз девяти элементов.
Но в отличие от матрицы !(и;ь(! — таблицы козф. фпциентов, связывающпх две системы координат, тензор второго ранга определяет физическую илн геометрическую величину, которая представляется девятью величинами в одной системе координат. В другой системе координат тенззр второго ранга также определяется девятью, но уже другими величинами, связанпымн с первымн соотношением (Д-2-9). Нельзя говорить о преобразовании матрппы ))пы(! в системах координат, так как зто выражение не имеет смысла, В общем случае тензором г-ранга называется физическая или геометрическая величина, определяемая системой чисел изи функций Т, 1 <, которые преобразуются при повороте системы координат, <"-г' согласно формуле Т« ° — — и 'а '...а 'Т 1 1 2 2 <! <2-<< В трехмерном пространстве тензор г-ранга имеет 3' компонент. Скаляр можно рассматривать как тензор нулевого ранга, вектор — как тензор первого ранга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
